精品解析：福建省福州时代中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省福州时代中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1. 下列生活中的实例是旋转的是（ ）
A. 钟表的指针的转动B. 汽车在笔直的公路上行驶
C. 传送带上，瓶装饮料的移动D. 足球飞入球网中
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转变换和平移变换的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、钟表的指针的转动，属于旋转变换，故此选项符合题意；
B、汽车在笔直的公路上行驶，属于平移变换，故此选项不符合题意；
C、传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移变换，故此选项不符合题意；
D、足球飞入球网中，属于平移变换，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转和平移的概念，把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换；熟练掌握此定义是解题的关键．
2. 在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义进行判断可得答案．
【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
3. 如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（ ）
A. ∠AOCB. ∠AODC. ∠AOBD. ∠BOC
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋旋转角的定义即可判断．
【详解】把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，旋转角是∠AOC或∠BOD．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
4. 若中最长的弦长，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆中最长的弦是直径即可得到答案．
【详解】解：中最长的弦是直径，中最长的弦长，
的直径是，
的半径是，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦、直径等知识，熟练掌握圆中最长的弦是直径是解题的关键．
5. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆心上D. 点在圆上或圆内
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.
6. 如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【详解】∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的角度问题，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，，由勾股定理可得，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接、，
，
是小圆的切线，点为切点，
，
，
大圆半径为2，小圆半径为1，
，，
在中，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理，熟练运用垂径定理是解本题的关键．
8. 如图，中，弦于E，若，的半径等于6，则弧的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，根据直角三角形的性质求得，再根据圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接、，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴弧的长为，
故选：C．
【点睛】本题考查弧长公式、圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
9. 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A. 6B. 8C. 5D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB==8，
故选B．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
10. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过作于，根据圆的内接正十二边形的圆心角为：得到，根据含30度角的直角三角形的性质可得，最后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，过作于，
，
则，
由题意可得：圆的内接正十二边形的圆心角为：，
，
，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点关于原点对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．
12. 若圆锥的底面半径是5，母线长10，则侧面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
圆锥的底面周长是：，
圆锥的侧面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解本题的关键．
13. 如图所示，把图中的交通标志图案绕它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 _____．

【答案】120°##120度
【解析】
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
14. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则_________．

【答案】
【解析】
【分析】因为四边形内接于，所以，因为，根据邻补角性质得，即可作答．
【详解】解：因为四边形内接于，
所以，即，
根据邻补角性质得，
那么，
故答案为：．
【点睛】本题考查了内接四边形性质：对角互补；以及邻补角性质，难度较小．
15. 如图，中，，若为的内心，则的度数为_________．
【答案】##115度
【解析】
【分析】由三角形内角和定理可得，再由为的内心可得，，从而得到，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
为的内心，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形内心，三角形的内心是角平分线的交点，熟练掌握三角形内心的定义是解此题的关键．
16. 如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为2，为圆上一动点，为的中点，则的长的最大值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接OQ，作于H，首先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作于，如图所示：
，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在的延长线上时，的值最大，
在中，
，
∴，
∵，
，，
在中，，
的最大值为．
【点睛】本题主要考查勾股定理、含30°角的直角三角形、垂径定理的推论，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
三、解答题（共9题，共86分）
17. 如图，在中，，与相切于点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，由切线的性质得出，由等腰三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：连接，
与相切于点，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质和等腰三角形性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？
【答案】寸
【解析】
【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵
∴，
设圆O的半径的长为x，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：
所以（寸）．
19. 探究圆的面积时，我们把圆面积转化为近似长方形面积，其实圆的面积还可以转化为三角形面积，如图，是一个由若干粗细一致的麻绳围成的圆形茶杯垫，沿半径剪开，展开后得到一个近似的三角形．

（1）这个三角形的底相当于圆的______，高相当于圆的______．
A.半径 B.直径 C.周长 D.周长的一半
（2）如果圆的半径是r，我们也可以推导出圆形的面积公式：
圆形的面积＝三角形的面积＝______×____________．
【答案】（1）C，A （2），
【解析】
【分析】（1）根据转化过程选择即可；
（2）利用（1）中的关系补充公式即可．
【小问1详解】
解：由图可得，这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径，
故选：C，A；
【小问2详解】
解：由（1）可知，这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径，
∵圆的半径是r，
∴圆形的面积＝三角形的面积，
故答案为：，r，．
【点睛】本题考查对圆的面积公式的推导过程的理解，根据题意可得三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）画出关于原点中心对称的；
（2）画出绕原点逆时针方向旋转得到的，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，，，
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得到答案；
（2）分别作出三个顶点绕点逆时针方向旋转后得到的对应点，再顺次连接即可，再根据图象即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：如图，即为所求，

由图可得：，，．
【点睛】本题考查了作图—中心对称变换，作图—旋转变换，坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
21. 如图，正三角形A，B，C的边长为8，点D，E，F分别为的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，求图中阴影部分的面积，（结果保留π）

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据等边三角形的性质可得，，求得圆的半径都是4，再利用求解即可．
【详解】解：连接，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即三个圆的半径都是4，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、扇形的面积公式及勾股定理，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解题的关键．
22. 如图，为外一点．求作：过点的的切线，并证明．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，作的垂直平分线，以的中点为圆心，长为半径作圆，交于点，作直线，即为所求，由圆周角定理可得，由此即可得到结论．
【详解】解：如图，即为所求，
证明：为直径，
，
为半径，
是的两条切线．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线、作圆的切线，圆周角定理，切线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
23. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．
【答案】的长为．
【解析】
【分析】利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，于是可判断点G在的延长线上，接着证明平分得到，然后计算就可得到的长．
【详解】解：∵正方形的边长为4，点E是的中点，
∴，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得，
∴，，，，
而，
∴点G在的延长线上，
∵平分交于点F，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理．
24. 如图，在矩形中，，，分别是线段、上的点，且四边形为矩形．

（1）连接，请直接写出线段的长度的取值范围___________；
（2）若是以为底的等腰三角形时，求的长；
（3）判断与有怎样的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接、，由四边形为矩形可得，只要求出的最大值和最小值即可得到答案；
（2）由题意得，作于，则，根据求得，再由勾股定理可得，从而得到，最后由进行计算即可；
（3）连接，，记与的交点为，连接，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，，再根据三角形内角和定理进行计算，从而即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，连接、，
，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，，，
，，，
当与重合时，最小为6，
当与重合时，最大为，
；
【小问2详解】
解：是以为底的等腰三角形，
，
如图，作于，则，
，
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
理由如下：
如图，连接，，记与交点为，连接，
，
四边形和四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
在矩形中，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
25. 如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交于点G，，连结，．设．

（1）用含a的代数式表示：
（2）求证：；
（3）如图2，为的直径．
①当的长为2时，求的长；
②当时，求的值．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）①3；②
【解析】
分析】（1）根据，，即可求解；
（2）根据角的关系得出，推出，再由，根据即可得出结论；
（3）①用α表示出的度数，根据度数比等于弧长比即可求解；
②证，设相似比为k，，则可得、、的长度，根据比例关系得出方程求出k的值，在用x的代数式分别表示出和，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
又∵，
由得，，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问3详解】
解：①由（2）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴与所对的圆心角度数之比为，
∴与的长度之比为，
∵，
∴；
②如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设与的相似比为k，
∴，
∵，
设，则，，
∴，，
∴，
由，得，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴．