精品解析：福建省莆田市擢英中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省莆田市擢英中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，
如图所示：

故选D．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
2. 在△中，∠，如果，，那么cs的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.
【详解】∵∠，，
∴
∴
故选A
【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
3. 抛物线y＝x2－3x＋2的对称轴是直线( )
A. x＝－3B. x＝3C. x＝－D. x＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求出.
【详解】解：∵抛物线y＝x2－3x＋2，
∴a=1,b=-3,c=2,
∴对称轴直线为，
所以本题选择D
【点睛】掌握抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线是解题的关键.
4. 若点在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，列式计算即可．
【详解】解：∵点在同一个反比例函数的图象上，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于，是解题的关键．
5. 在一个不透明的袋子中装有5个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球2个，红球3个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用红色小球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：∵从中随机摸出一个小球，共有5种等可能结果，其中摸出的小球是红色的有3种结果，
∴摸出的小球是红色的概率为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6. 如图，中，，，，则的半径等于（ ）
A. 5B. 2C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，通过证明是等边三角形即可求解，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的半径为，
故选：．
7. 如图，中，，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，作于点，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：设圆的圆心为点，能够将完全覆盖的最小圆是的外接圆，
连接、，作于点，

则，
，
，
，
，，
，
，
即外接圆的半径是，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念、圆周角定理、垂径定理、解直角三角形是解题的关键．
8. 如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图（见解析），过点A作于D，过点B作于E，先根据同角的余角相等求出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后利用勾股定理列式求出BC的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得．
【详解】如图，过点A作于D，过点B作于E，设间的距离为
则
是等腰直角三角形
∵，
∴
在和中，
∴
∴
在中，
则
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、正弦三角函数等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
9. 已知，点，在反比例函数的图象上，则以下结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】C
【解析】
【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若，且、在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若且，则．故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
10. 如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过点、，顶点为，抛物线过点，，顶点为，若点在线段上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线；然后把把抛物线的解析式设为交点式，从而求出点的坐标为，求出直线的解析式为，在求出在直线上，得到，即可求解得到答案
【详解】解：∵抛物线过点，
∴抛物线的对称轴为直线
∵抛物线过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
抛物线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
同理点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，
故，
即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，正确求出，的坐标是解题的关键．
二、填空题
11. 若，则等于_______度．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值，根据即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
故答案为：15．
12. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，连接BD，
∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴．
故答案为.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
13. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点．若，则x的取值范围是____________________ ．
【答案】或
【解析】
【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值大于一次函数值时x的范围，根据一次函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围．
【详解】解：根据反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，
利用图象得：时x的取值范围是或.
故答案为或
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
14. 如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了米，则木箱升高了_____米．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，设木箱升高了米，根据坡度的概念用表示出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了米，
∵斜坡的坡度为，
∴木箱前进的水平距离为米，
由勾股定理得，
解得（负值舍去），
故答案为：．
15. 如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论．
【详解】解：设点，
，
D为的中点，
，
轴，
的面积为3，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且csα＝，则线段CE的最大值为_____．
【答案】6.4
【解析】
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴csB＝csα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
三、解答题
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】先计算二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值，再进行加减运算．
【详解】解：
【点睛】本题考查实数的混合运算，牢固掌握二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值等知识点是解题的关键．
18. 如图，在中，，，，求的面积．

【答案】的面积为．
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式．作交直线于点，求得，利用直角三角形的性质求得，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点B作交直线于点，
∵，∴，则，
∵，
∴，，
∴的面积．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，两点．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）连接AO，求的面积．
【答案】（1）直线AB：；反比例函数：（2）
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，即可得反比例函数解析式，将点B的坐标代入反比例函数解析式求得的值，然后运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）设一次函数与轴的交点为，则的面积=的面积+的面积，计算即可．
【详解】解：（1）∵直线与反比例函数交于，两点，
将代入中得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为：，
将代入中得：，
∴，
设一次函数解析式为：，
则，解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）设一次函数与轴的交点为，
∵一次函数的解析式为：，
令得：，解得：，
∴点坐标为：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类问题中，三角形面积的问题时，尽可能选择与坐标轴平行的边为底边，有利于问题的解决．
20. 为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四组（依次记为）．小西和小安两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）小安抽到组题目的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小西和小安两名同学抽到相同题目的概率．
【答案】20.
21. 小西和小安两名同学抽到相同题目的概率为．
【解析】
【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率．
（1）抽取项目有四组，小安抽取一组，根据概率计算公式即可求解；
（2）用树状图把所有可能的结果表示出来，再找出小西和小安不同题目的结果，根据概率计算公式即可求解．
【小问1详解】
解：所有可能出现的结果有种，小安抽到组题目的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：抽取一组，然后放回，抽取结果如图所示，
所有可能出现的结果有种，小西和小安抽取结果相同的有种，
∴小西和小安两名同学抽到相同题目的概率为．
21. 数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔的高度，如图，他们在地面上处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至处，测得仰角为60°，点、、在同一直线上．（身高忽略不计，结果不取近似值）

（1）求证：
（2）求塔的高
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用—仰角俯角问题；
（1）根据三角形的外角的性质可得，进而根据等角对等边即可得出；
（2）解，即可求解．
【小问1详解】
解：证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴该塔高为．．
22. 为了预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：

（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后关于的函数关系式；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）药物燃烧时，关于的函数关系式为；药物燃烧后，关于的函数关系式为
（2）消毒无效，见详解
【解析】
【分析】（1）设药物燃烧时，即时，关于的函数关系式为，将点代入求解即可；设药物燃烧后，即时，关于的函数关系式为，将点代入求解即可；
（2）当两个函数解析式的函数值为3时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可．
【小问1详解】
解：设药物燃烧时，即时，关于的函数关系式为，
将点代入，可得，解得，
∴药物燃烧时，关于的函数关系式为；
设药物燃烧后，即时，关于的函数关系式为，
将点代入，可得，解得，
∴药物燃烧后，关于的函数关系式为；
【小问2详解】
对于函数，
当时，可得，解得，
对于函数，
当时，可得，解得，
∴空气中每立方米的含药量不低于的持续时间，
∵，
∴这次消毒无效．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键．
23. 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的⊙O与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，易证，继而结合已知证明，然后利用角平分线的性质即可证得；
（2）由，可求出，再通过证明，利用相似三角形的性质求出，再根据求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵⊙O与边相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
【小问2详解】
解：在中，，
∴，
∵，
,
∴，即，
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质、解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理是解题的关键．
24.
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；
（3）若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，18．
【解析】
【分析】(1)将点代入解析式计算即可．
(2)分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可．
(3) 作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，从而得到点Q在以垂直平分线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
【小问1详解】
解：将点代入，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
令，则，
∴，
令，则，
∴或，
∴，
∵，
∴，
如图1，当P点在x轴上方时，设与x轴的交点为点G，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
∴，
∴，
联立方程组，
∴（舍）或，
∴；
如图2，当P点在x轴下方时，
∵，，
∴，，
∴，
解得（舍去），
∴；
综上所述：P点坐标为或．
小问3详解】
线段存在最大值，且为18．理由如下：
作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
连接，
则，
以G点为圆心，半径为5的作，点，
当点Q位于上时，作直径，连接，，，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴点G位于的第四象限部分的弧上运动，
故当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
∵，∴，
∴，，
∴，，
∴．