精品解析：福建省泉州市泉州五中桥南校区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省泉州市泉州五中桥南校区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 4，5，6，7B. 3，4，5，8
C. 5，15，3，9D. 8，4，1，3
【答案】C
【解析】
【分析】根据成比例线段的定义逐项判断得到得到结论．
【详解】解：A、∵，
∴4，5，6，7不能成比例线段，故不符合题意；
B、∵，
∴3，4，5，8不能成比例线段，故不符合题意；
C、∵，
∴5，15，3，9成比例线段，故符合题意；
D、∵，
∴8，4，1，3不能成比例线段，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的关系，正确的理解题意是解题的关键．
2. 若两个相似三角形的面积比是，则它们对应边的中线之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的面积比等于相似比的平方，它们对应边的中线之比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是，
∴两个相似三角形的相似比是，
∴它们对应边的中线之比为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3. 在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解．
【详解】解：，，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握余弦的定义是解决问题的关键．
4. 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ）
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵△ABC∽△AED
∴∠C＝∠ADE＝80°．
故应选C
5. 如图，．若，，，则的长为（ ）
A. 6B. 15C. 16D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，可得，即可得到．
【详解】解：，
，即，
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6. 如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意得出△DEO∽△CBO，△ADE∽△ABC，再根据相似的性质解答即可．
【详解】解：∵DE∥BC．
∴△DEO∽△CBO，△ADE∽△ABC
∵S △DOE ：S △COB ＝1：4，
∴ ，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
故答案为C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比叫相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
7. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度m,，m，则树高为（ ）
A. 4mB. 4.5mC. 5mD. 6m
【答案】D
【解析】
【分析】先判定，然后根据相似三角形对应边成比例求出的长，再加上即可求解．
【详解】解：
，
，
即，
解得：，
m，
（m），
即树高6m．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质,比较简单，判定出和相似是解题的关键．
8. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )
A. 15°B. 25°
C. 35°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A=35°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD=AD，再根据则等边对等角即可求得答案．
【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，
∴∠A=35°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=35°．
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，tan∠BCD值为（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ；
【答案】A
【解析】
【分析】根据余角的性质，可得∠BCD=∠A，根据等角的正切相等，可得答案．
【详解】由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得
∠BCD=∠A
tan∠BCD=tan∠A=，
故选A．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，利用余角的性质得出∠BCD=∠A是解题关键．
10. 已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知，那么的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12. 若点与点关于轴对称，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出、的值，然后计算即可得解．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，
任意摸出1个，摸到红球的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则与的面积的比等于___________．
【答案】1：4
【解析】
【分析】根据OE是中位线，得BC=2OE，BC∥OE，利用三角形相似的性质面积比性质计算即可．
【详解】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，
∴BC=2OE，BC∥OE，
∴△DOE∽△DBC，
∴=1：4，
故答案为：1：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质，正确运用三条性质是解题的关键．
15. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度为，则斜坡的长为______米.

【答案】
【解析】
【分析】先根据坡度的定义得出BE的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
【详解】在Rt△ABC中，∵i=，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：AB=米，
故答案为：
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
16. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______．

【答案】2
【解析】
【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，分别是边，中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点，分别是，中点，
；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算．
【答案】5
【解析】
【分析】先算乘方，零指数幂，化简绝对值，计算三角函数值，再算乘法，最后合并．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18. 在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点均在格点上，点B的坐标是，请在所给网格中按要求画图．
（1）将绕点A顺时针旋转90°得到，在图中画出；
（2）将以点A为位似中心放大2倍得到，并写出点B的对应点E的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）让的各顶点都绕点A顺时针旋转后得到对应点，顺次连接即可；
（2）延长至，使，延长至，使，连接即可．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求，．
【点睛】本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的位似作图，考查了利用直角坐标系解决问题的能力，分别按要求作出对应点是解题的关键．
19. 如图，等边三角形的边长为5，点P为上的一点，点D为上的一点，连接、，．若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形和得，，，，由此可得，从而证明 ，进而推出，从而可以求出线段CD的长．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵等边三角形的边长为5，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是推出．
20. 2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为A、B、C、D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好

（1）小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是B（冰墩墩）概率是______（直接写出结果）．
（2）小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式即可得到答案；
（2）根据题意树状图，再利用概率公式即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，共有4种等可能得情况，恰好抽到是B（冰墩墩）的情况有1种，
恰好抽到是B（冰墩墩）概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：树状图如图所示：

由树状图可知，共有12 种等可能得情况，其中抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情况有2种，
小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式以及画树状图法与列表法求概率．解题关键是把所有等可能的情况都列举出来．
21. 如图，在中，，D为的中点，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求出，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理求出，进而即可求出的值．
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
在中，；
【小问2详解】
∵且D为的中点，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了三角函数的运用和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22. 如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：EDC∽DAF；
（2）若AB＝3，AD＝2，CE＝1，求线段DF的长度．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得出DC的长及∠ADC＝∠C＝90°，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出∠AFD＝∠C，利用同角的余角相等可得出∠EDC＝∠DAF，进而可得出△EDC∽△DAF；
（2）利用相似三角形性质，列出比利时，进而可求出DF的长度．
【详解】（1）证明：∵AF⊥DE，四边形ABCD是矩形，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF＋∠DAF＝90°．
又∵∠ADF＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠DAF，
∴△EDC∽△DAF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．
∵CE＝1，
∴DE＝ ＝．
∵△EDC∽△DAF，
∴，即，
∴FD＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△EDC∽△DAF是解题的关键．
23. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以4cm/s的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，经几秒钟与相似？试说明理由．
【答案】2或秒，理由见解析
【解析】
【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案．
【详解】解：设经秒钟与相似，
则，，
∵，，
∴，
∵是公共角，
∵①当，即时，，
解得：；
②当，即时，，
解得：，
∴经2或秒钟与相似．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
24. 如图，一条直线与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，轴，垂足为.
（1）如图甲，求反比例函数的解析式与点的坐标；
（2）如图乙，若点在线段AD上运动，连接CE，作，交于点.试说明.
【答案】(1)y＝，D点坐标为（5，0）； （2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析式；再求出B点的坐标B(4，1)，即得n=1；利用待定系数法求一次函数的解析式，令一次函数的y=0，求得点D的坐标D(5，0)；
(2)要证△CDE∽△EAF，只要证明出△CDE和△EAF的三个内角分别对应相等，即可得证；
【详解】解：(1)∵点A(1，4)在反比例函数图象上
∴k＝4
即反比例函数关系式为；
②∵点B(4，n)在反比例函数图象上
∴n＝1
设一次函数的解析式为y＝mx+b
∵点A(1，4)和B(4，1)在一次函数y＝mx+b的图象上
∴,
解得,
∴一次函数关系式为y＝﹣x+5
令y＝0，得x＝5
∴D点坐标为(5，0)；
(2)证明：∵A(1，4)，D(5，0)，AC⊥x轴
∴C(1，0)
∴AC＝CD＝4，
即∠ADC＝∠CAD＝45°，
∵∠AEC＝∠ECD+∠ADC＝∠ECD+45°，
∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠AEF+45°，
∴∠ECD＝∠AEF，
∴△CDE∽△EAF．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；同时考查了相似三角形的判定，利用三角形外角性质证明∠ECD＝∠AEF是解(2)关键．
25. 在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接．
（1）如图1，连接与，交于点．
①求证：；
②若，求的长．
（2）如图2，当时，求证：，，三点在同一条直线上．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）①由，，，证；
②过M点作于点H，通过解三角形求出，再证明△∽△，推出，进而得出结论；
（2）过点作于点F，连接，，证，得MF=6，FN=，进而求AF=AM＋MF=＋6=，再证△ABC∽△AFN，最后得结论．
【小问1详解】
①证明：∵四边形是矩形，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
②证明：过M点作于点H，
∴，
，
设，则，，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
由①得，
，，
又∵，，
，
∴△∽△，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
如图②，过点作于点，连接，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，三点在同一条直线．