精品解析：安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，四条直线，分别于，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转后与原来的图形重合；由此问题可求解．
【详解】选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
3. 当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A. B. 或C. 2或D. 2或或
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【详解】二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选C．
4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
5. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，．已知木箱高，斜面坡角为度，则木箱端点距地面的高度（ ）

A. （米）B. （米）
C. （米）D. （米）
【答案】C
【解析】
【分析】过作于，交于，过作于，于，由锐角三角函数定义分别求出和的长，即可求出最后结果．
【详解】解：过作于，交于，过作于，于，如图所示：

则四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
中，，，
，
，
，
则木箱端点距地面的高度为，
故选：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
7. 如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于，则，，设圆形纸片的半径长为，则，，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，
设圆形纸片的半径长为，则，，
∵，
∴，
解得，
∴圆形纸片的半径长是，
故选：．
8. 函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（ ）
①；
②函数在处的函数值相等；
③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；
④函数在内既有最大值又有最小值．
A. ①③B. ①②③C. ①④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
【详解】如图，根据题意作图，
故a＜0，b＜0，c＞0
∴，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数在处函数值相等，故②错误；
图中函数的图象与的函数图象无交点，故③错误；
当时，x=-1时，函数有最大值
x=3时，函数有最小值，故④正确；
故选C．
【点睛】此题主要考查二次函数图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
9. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC =15m，CD =30m，则河的宽度AB长为（ ）
A. 90mB. 60mC. 45mD. 30m
【答案】B
【解析】
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
∴,
又∵BE=30m，EC =15m，CD =30m，
∴，
∴AB＝60(m).
故答案是B.
10. 如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结．下列结论：①；②；③；④若，则．其中结论正确的是（ ）

A. ①②③④B. ①②③C. ①④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；正方形的性质即可求解．
【详解】解：①在正方形中，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，故①正确；
②∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，故③正确；
④如图，过点作于点，与交于点，
设，则，
∴，，，，
由上述证明可知，是等腰直角三角形，则，
∴，故④正确；
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 如图，在中，，，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】解：过作，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，即，
根据勾股定理得：，
故答案为：．
．
【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点A、B分别作轴、轴，垂足分别为点C、D，如图，易证，则根据相似三角形的性质可得，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．
【详解】解：过点A、B分别作轴、轴，垂足分别为点C、D，如图，则，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．
13. 如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度约为_____（结果保留整数，）．

【答案】328
【解析】
【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，
∴BD=AD=120（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴CD=AD•tan60°=120× =208（m），
∴BC=BD+CD=120+208=328（m）
答：该建筑物的高度BC约为328米．
故答案为：328．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
14. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可．
【详解】解：如图，连接、，
令，则，
故点，
∵，
∴，
设圆的半径为，则，

∵点Q、O分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，
则此时最大，
此时，
故答案为：．
三、计算题（本大题共2小题，共16分）
15. 求下列各式的值；
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可；
（2）代入特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可；
此题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【小问1详解】
【小问2详解】
16. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,
（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.
【详解】证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A

∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴
∵AD=2, AB=5
∴
∴AC=
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.
四、解答题（本大题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．

（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
【小问1详解】
如图，为所作．
【小问2详解】
如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
18. 如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．
（1）若，则弧的度数为______．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出可求解．
（2）作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：连接．
，，
，
，
，
，
弧的度数为，
小问2详解】
如图，作于．
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【小问1详解】
解：在中，令得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
【小问3详解】
解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
20. 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．

（1）请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由．
（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，）
【答案】（1）不会，理由见解析
（2）7米
【解析】
【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；
（2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案．
【小问1详解】
解：过点作，交于点，

，，
，
不会碰到头部；
【小问2详解】
，
，
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
设，则，
段和段的坡度，
，，
，
（米）．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．
21. 中，，，点为边上一点，点为延长线上一点，，连接、，并延长交于，设．
（1）求证：；
（2）若恰好是中点，求的值；
（3）设，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）的值为
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）先计算出，再利用得到，则垂直平分，所以，即，从而得到的值；
（3）先利用，根据相似三角形的性质得到，再利用得到，所以，然后把代入计算即可．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，则，
，，
，
，
，
，
恰好是中点，
垂直平分，
，
即，
；
【小问3详解】
，
，
，
，
，
，
当时，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，利用比例线段计算相应线段的长．也考查了全等三角形的判定与性质．
22. 如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．
（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．
（2）若，
①若CD＝2，，求HE的长；
②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件即可证明；
（2）①根据已知条件结合（1）利用勾股定理即可求出HE的长；②设AB＝2a，根据，可得BF＝2ak，FM＝MA＝a−ka，BM＝a＋ka＝ME，证明△ADE≌△CDE可得∠DCE＝∠DAE＝∠FEM，利用锐角三角函数即可得结果．
【小问1详解】
证明连结EF，EC，
∵HE垂直平分FC，
∴CE＝FE
又∵正方形ABCD关于BD轴对称，
∴CE＝AE
∴EF＝AE；
【小问2详解】
①∵CD＝2，，
，，FC＝，
过点E作AB的垂线交AB于点M，如图所示：
由（1）知EF＝AE，
∴EM垂直平分线段FA，
∴FM＝MA＝，BM＝ME＝，
在Rt△EFM中，FE＝，
∵点H是FC的中点，
∴FH＝EF＝，
在Rt△EFH中，HE＝；
②证明：设AB＝2a，
∵，
∴BF＝2ak，
∴FM＝MA＝a﹣ka，BM＝a+ka＝ME，
由（2）知∠FEM＝∠MEA＝∠EAD．
∵EA＝EC，AD＝CD，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠DCE＝∠DAE＝∠FEM，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）二次函数的表达式为：；（2）4；（3）或.
【解析】
【分析】（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，设，则.用含有a的代数式表示出的长，再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC，过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC两种情况求点D的横坐标即可.
【详解】（1）直线，当x=0时，；当时，，
∴，.
∵二次函数的图象经过，两点，
∴解得
∴二次函数的表达式为：.
（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，
依题意设，则.
其中，
∴，
∴
，
，
，
，
，
.
∵，∴抛物线开口向下．
又∵，
∴当a=2时，有最大值， ；
（3）或
在轴上取点，使，则.
过点作∥交CD延长线于点，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
.
在中，，解得.∴.
当时，
∴.
∴.
易证∽.
∴.
∴,.
∴.
∵，
∴直线的函数表达式为：.
由，解得：，（舍）.
∴点的横坐标为2.
②当时，方法同①，可确定点的横坐标为.