精品解析：安徽省淮北市相山区淮北市第二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：安徽省淮北市相山区淮北市第二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共20页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
抛物线的顶点坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断即可，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．不是中心对称图形，故B错误；
C．是中心对称图形，故C正确；
D．不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
3. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得．
故选D．
4. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，
∵与的周长之比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5. 若是锐角，，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值．
【详解】解：是锐角，，
，
，
故选：B．
6. 已知点、分别在边、的延长线上，下列条件中一定能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，推出，进而推出或即可判断．
详解】解：如图：
根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，
∵，要使三角形，
∴，
即：．
故选：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定、平行线的判定，解题的关键是两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
7. 如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则的长等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过C作于D，利用锐角三角函数求得、、即可．
【详解】解：过C作于D，
由题意，，，
在中，，，
在中，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．
8. 如图所示的是二次函数（为常数，且）的图象，其对称轴为直线，且经过点，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号，再根据时确定相关式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点，
，，，
，
，故B选项结合正确，不合题意；
由图可知，当时，
，故A选项结合正确，不合题意；
由图可知，当时，
，故C选项结合正确，不合题意；
，，
，故D选项结论错误，符合题意；
故选D．
9. 如图，将边长为2的正方形绕点逆时针旋转到正方形的位置，且点在对角线上，与相交于点，则的长为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理；可求，从而可求，可证即可求解；掌握性质，求出，证出是解题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
由旋转得：
，
，
是对角形，
，
，
，
，
，
；
故选：A．
10. 如图，在中，D、E是边的三等分点，是边的中线，、分别与交于点G、H，若，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，过F作，交于P，过H作，交于Q，先证明，再结合三角形的面积关系可得答案.
【详解】解：如图，过F作，交于P，过H作，交于Q，

∴
∵是边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵D、E是边的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 点关于原点对称的点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查原点对称，关于原点对称的两个点的坐标特点为：横坐标、纵坐标分别互为相反数，由此可得答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为：．
故答案为：．
12. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠A的值为____．
【答案】
【解析】
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，设小正方形的边长为1，
AB==
在Rt△BCD中，∵BC=2，∠C=45°
∴BD=BC×sin45°=2×=，
在Rt△ABD中，sin∠A=== .
故答案为
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．
13. 如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义，熟练掌握比例系数的几何意义是解题的关键．连接，根据三角形面积公式得到，根据比例系数的几何意义计算即可．
详解】解：连接，
轴，
，
．
故答案为：．
14. 如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
（1）若，则正方形的面积为______．
（2）连接，，则面积的最小值为______．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE，根据S△DEC+S△DFGS正方形ECGF根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝∠ADC＝90°，
∵，
∴AE1
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．
故答案为5．
（2）如图，设，则
∵，
∴．
∵，
∴当时，的面积最小，且最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查特殊角三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
16. 已知实数x，y，z满足，试求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案．
【详解】解：设，
∴，
∴
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【答案】售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
【解析】
【分析】设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．
18. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上．
（1）请画出将向左平移6个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图，旋转变换，平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质找到对应点画图即可；
（2）根据旋转的性质找到对应点画图即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
（1）求的取值范围；
（2）若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可．
小问1详解】
解：由题意知，，
解得，，
∴的取值范围为；
【小问2详解】
解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，
∵，
∴，解得，，
∵，
∴，
∴的取值范围为．
20. 如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼的高度．小亮站立在距离楼底部米的点处，操控无人机从地面点，竖直起飞到正上方米点处时，测得楼的顶端的俯角为，小亮的眼睛点看无人机的仰角为（点三点在同一直线上）．求楼的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面米，）
【答案】的高度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．过点E作，分别过点A，点C作，．设楼的高度为x米，则米， 在中表示出，进一步表示出；在中表示出即可求解．
【详解】解：过点E作，分别过点A，点C作，．
设楼的高度为x米，则米，
由题意得，，，
∵
∴
在中，，，
∴，
由题意知，四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
答：的高度为米．
六（本题满分12分）
21. 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用理解求证结论．
（2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得 ，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
由（1）得：，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线的一部分．小球在距离点3米的点处抛出，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线的一部分．
（1）求小山坡的坡顶高度：
（2）若测得点的高度为3米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）
【答案】（1）小山坡的坡顶高度为米
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法以及将一般式化成顶点式是解题关键．
（1）将化成顶点式即可求解；
（2）把代入可求出点的坐标，根据“小球在距离点3米的点处抛出”可求出点的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
当时，有最大值，最大值为，
小山坡的坡顶高度为米；
【小问2详解】
解：点的高度为3米，
点的纵坐标为3，
把代入，
得，
解得，，
点在小山坡的坡顶的右侧，
，
即点的坐标为．
令，则，
米，
（米），
即点的坐标为，
将，两点的坐标代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
八、（本题满分14分）
23. 如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．

（1）求证：；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，平分，，得再结合正方形的性质可证，得，再证，得，进而即可证明结论；
（2）设正方形的边长为，则，，得，结合正方形的性质可证，得，再由等腰三角形的性质得，进而即可求解；
（3）由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得，设正方形的边长为，由（2）得，得，则，在中，可知，进而即可求解．
【小问1详解】
解：，平分，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
∴，
；
【小问2详解】
设正方形的边长为，则，
，
，正方形，
，则，，
，
，
，平分，
，
；
【小问3详解】
，
，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，由（2）得，
，
，
在中，，
．