精品解析：福建省福州第八中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省福州第八中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了 下列事件中，为必然事件的是， 抛物线 与 相同的性质是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每题4分，共10小题，共40分）
1. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、是中心对称图形，符合题意，选项正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键．
2. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪
C. 郑一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意；
B、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意；
C、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；
D、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念．
3. 抛物线 与 相同的性质是（ ）
A. 开口方向相同B. 对称轴是 x轴C. 有最低点D. 经过点(0，1)
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】A. 开口方向不相同，不符合题意；
B. 对称轴是ｙ轴，不符合题意；
C. 有最低点，有最高点，不符合题意；
D. 都经过点(0，1)，符合题意；
故选D．
4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的定义，画出位似中心，即可得出结果．
【详解】解：∵与是位似图形，
连接并延长，交于点，则点即为位似中心，如图所示：
由图可知：；
故选B．
【点睛】本题考查坐标系下求位似中心的坐标．熟练掌握位似图形的定义，确定位似中心的位置，是解题的关键．
5. 如图，以点为中心，把逆时针旋转，得到（点、的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由逆时针旋转，得到，可得，，即得，而，得，从而．
【详解】解：逆时针旋转，得到，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中的旋转变换，涉及平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
6. 已知关于x的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（ ）
A. 1B. C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把四个选项中的值作为x的值代入原方程，计算出方程左边的值， 看是否和方程右边相等即可得到答案．
【详解】解：A、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边不一定相等，则不是原方程的根；
B、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边一定相等，则是原方程的根；
C、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边不一定相等，则不是原方程的根；
D、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边不一定相等，则不是原方程的根；
故选B．
7. 如图，以为圆心为直径的圆过点，为弧的中点，若，则阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形特点可知阴影部分面积为扇形AOC的面积，故可求解．
【详解】解：是的直径，为的中点，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故选：．
【点睛】此题主要考查圆内阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式．
8. 若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为（ ）
A. 、B. 、
C 、D. 、
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根为2，得出，利用对称性求出坐标即可．
【详解】解：二次函数与轴的交点坐标纵坐标为0，
即，
关于的一元二次方程的一个根为2，
所以，，
解得，，
二次函数的对称轴为直线，
所以，二次函数与轴的交点坐标为、，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根确定二次函数与轴的交点坐标．
9. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，先求得圆内接正八边形的圆心角，再过O作于C，求得，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角，
过A作于C，则，
∵，
∴，
∴这个圆内接正八边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆、解直角三角形、三角形的面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形是解答的关键．
10. 已知抛物线过点，其中，以下结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，从而可得点B为顶点，由抛物线开口向上可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D；
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，顶点为，
∵，
∴为抛物线顶点，，
当时，抛物线开口向上，为函数最小值，
∴选项A，B错误．
若，则抛物线开口向下，距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考察二次函数的图象与性质，开口向下时，图象上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距离越大时，点的纵坐标就越小
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】可利用30°特殊直角三角形三边关系并结合余弦三角函数定义求解本题．
【详解】30°直角三角形三边比例关系为，．
故本题答案为．
【点睛】本题考查余弦三角函数，熟练记忆其定义即可，对于特殊角度的三角形函数值，可背诵下来提升解题速度．
12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据：
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为____________（结果精确到0．01）．
【答案】0.22
【解析】
【分析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，
估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22．
故答案为∶ 0.22．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键．
13. 一个圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是____________．
【答案】##180度
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，根据题意利用公式(其中C为底面周长，l为母线长，r为底面半径，n为侧面展开图的圆心角)，代入计算即可．
【详解】设其中底面周长为C，母线长为l，底面半径为r，侧面展开图的圆心角为，
根据题意，得，
，
解得，
故答案为：．
14. 若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 年9月日，大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为______秒．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
由题意得，由，可知当时，有最大值，然后根据题意作答即可．
【详解】解：，
∵，
∴当时，有最大值，
∵飞机滑行到最大距离时停下，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为秒，
故答案为：．
16. 已知曲线、分别是函数（），（，）的图象，边长为6的正的顶点A在y轴正半轴上，顶点在x轴上（B在C的左侧），现将绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线上时，点A恰好在曲线上，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作轴于轴于，根据反比例函数系数的几何意义求得，，根据等边三角形的性质得出，易证得，从而得出，即，求解即可．
【详解】作轴于轴于，如图：

将绕原点顺时针旋转，点在曲线上时，点恰好在曲线上，
边长为6的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上在的左侧)，
由旋转的性质可知，
即
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质及判定，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17. 解下列方程：
（1） ；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）运用公式法进行解方程即可；；
（2）先移项，再提公因式，然后用因式分解进行解方程即可．
【小问1详解】
解：，
则，
那么，
解得，；
【小问2详解】
解：，
移项：，
提公因式：
则或，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，涉及公式法和因式分解法，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
18. 已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】证明，可得，再代入数据求解即可．
【详解】解：∵，，
，
为AB边的中点，，
∴，
，
∴，
，（负根舍去）．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的对应边成比例建立方程求解是解题的关键．
19. 淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为15万元，7月份的盈利额达到万元，如果每月增长的百分率相同．求该烧烤店这两个月的月均增长率．
【答案】该烧烤店这两个月的月均增长率为
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该烧烤店这两个月的月均增长率为x，则6月份的盈利额为万元，7月份的盈利额为万元，再根据7月份的盈利额为万元列出方程求解即可．
【详解】解：设该烧烤店这两个月的月均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：该烧烤店这两个月的月均增长率为．
20. 电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡．某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成统计图表（不完整）：请观察下面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中____________；统计图中____________，D组圆心角的度数是____________．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．
【答案】（1）20；32；28.8
（2）从中任取两人，至少有1名女生的概率为
【解析】
【分析】（1）根据“A组”的有10人，占调查人数的20%，可求出调查人数，进而计算出m、n的值，求出“D组”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，从中得出至少有1名女生的结果数，进而求出相应的概率．
【小问1详解】
解：（人），
（人），
，因此，
．
故答案为：20；32；28.8．
【小问2详解】
解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中至少有1名女生的有10种，
所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为：，
答：从中任取两人，至少有1名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查扇形统计图与统计表的综合信息，列表法与树状图法求概率，理解题意，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键．
21. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．

（1）求当时，y与x之间的函数表达式；
（2）加热一次，水温不低于的时间有多长？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得；
（2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得．
【小问1详解】
解：设反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
则与之间的函数表达式为，
当时，，
即与之间的函数表达式为．
【小问2详解】
解：设当时，与之间的函数表达式为，
将点代入得：，解得，
则，
当时，，解得，
对于，
当时，，
因为，
所以加热一次，水温不低于的时间为．
22. 如图，在中，是的直径，是的切线，切点是A，连接，过点B作，与交于点C，连接．
（1）求证：是切线；
（2）若的半径为3，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质：
（1）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图2，连接，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∵，
，
∴，即，
解得：．
23. 如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；
（2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为．
【小问1详解】
解：如图所示，⊙A即为所求作：
【小问2详解】
解：根据题意，作出图形如下：
设，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又，
∴四边形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．
24. 已经过原点O的抛物线还经过、、中的两个点，且当时，y随着x的增大而减小．
（1）说明a的符号，求b的值；
（2）若．
①求抛物线的解析式；
②P为x轴下方一点，过点P作直线、（不与坐标轴垂直）与抛物线分别只有一个交点，过点P作x轴平行线交y轴于点Q，求证：直线关于y轴对称．
【答案】（1）；
（2）①；②见详解
【解析】
【分析】（1）由抛物线增减性即可判断a，利用二次函数对称轴为：可得b的值；
（2）①由（1）可知抛物线为，因为抛物线过原点即，再由即可求的点B坐标，将点B代入即可求解；
②联立直线与抛物线可得，，联立直线 、可得，即可求解直线解析式，在直线上任取一点设横坐标为m，可知其纵坐标，只需将代入求出纵坐标即可求证．
【小问1详解】
解：当时，y随着x的增大而减小，
抛物线开口向上，且对称轴在轴或在轴右侧．
，
两点横坐标相同，
点不能在同时在该抛物线上，
若抛物线经过两点，
则抛物线的对称轴为y轴，即，
若抛物线经过两点，
，且抛物线开口向上．
点在抛物线对称轴的异侧．
设抛物线的对称轴为直线，则，与抛物线的对称轴在y轴或y轴右侧矛盾，故舍去．
综上所述，；
【小问2详解】
①由（1）得抛物线的解析式为：，
抛物线过原点，
即，
将代入，
解得：，
故抛物线解析式为：．
②证明∶设直线，
联立，
整理得，
即可得：，
同理可得，
联立，
整理得，
由待定系数法得：直线的解析式为：
直线的解析式为：，
设直线上一点的坐标为，
则其关于轴的对称点坐标是，
将代人，
得，
直线与直线关于轴对称．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图像及性质，待定系数法求解析式，轴对称，解一元二次方程，解二元一次方程等知识；熟练掌握二次函数相关性质是解题关键．
25. 在等腰中，，是直角三角形，，，连接，点F是的中点，连接．
（1）当，点B在边上时，如图①所示，求证：；
（2）当，把绕点A逆时针旋转，顶点B落在边上时，如图②所示，此时（1）中的结论成立吗？请说明理由；
（3）当，点B在边上时，如图③所示，猜想图中线段和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）成立，理由见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得，则，证明，则，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得；
（2）由（1）知，是等腰直角三角形，如图②，取中点，连接，，连接交于，则，证明是的垂直平分线，由，可得，是的中位线，进而可得，证明，则；
（3）如图③，取中点，连接，证明是等边三角形，则，，可求，由，可得，是的中位线，则，证明，则，进而可得．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：（1）中的结论成立，理由如下：
由（1）知，是等腰直角三角形，
如图②，取中点，连接，，连接交于，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，即，
∴，
∴，
∵为中点，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，证明如下：
如图③，取中点，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
20
42
66
88
杯口朝上频率
0.2
0.21
0.22
0.22
组别
成绩
人数
A
10
B
m
C
16
D
4
男1
男2
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，女1）