精品解析：福建省龙岩第一中学锦山学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省龙岩第一中学锦山学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：魏洁 审核人：李俊、苏标容）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. x2+1=0B. y2+x=1C. 2x+1=0D. x+=1
【答案】A
【解析】
【详解】A. 是一元二次方程，故A正确；
B. 是二元二次方程，故B错误；
C. 是一元一次方程，故C错误；
D. 是分式方程，故D错误；
故选A.
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B. 某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C. 若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
D. “明天我市会下雨”是随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的定义进行判断即可.
【详解】A若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；
B. 某篮球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，不能断定他罚球命中的概率一定为50%，故本选项错误；
C. 若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D. “明天我市会下雨”是随机事件，故本选项正确；
故选D
【点睛】本题考查了概率的定义，注意区分必然事件、可能事件、随机事件的区别.
3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4. 如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则BC的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得再代入数据进行计算即可.
【详解】解： ，

，，，

经检验符合题意.
故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例”是解本题的关键.
5. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）

A cmB. cmC. cmD. 1cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解．
【详解】正六边形的任一内角为，
（如图），

，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
6. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据进行求解是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
故选C．
7. 如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A. 63°B. 126°C. 116°D. 117°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=63°，
∴∠A=∠DCE=63°，
由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=126°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程．
【详解】解：由题意得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
9. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设关于函数解析式为，由图象可把点代入得：，
关于的函数解析式为，
当时，则，
当时，则，
压强由加压到，则气体体积压缩了；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
10. 如图，是直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 如果平分，
C. 如果平分，那么
D. 如果，那么也是的切线
【答案】B
【解析】
【分析】A．由圆周角定理可得，便可判断正误；
B．由角平分线与等腰三角形的性质可知为等腰直角三角形，可得与的数量关系，便可判断正误；
C．由角平分线与等腰三角形的性质得，便可判断正误；
D．证明，得，便可判断正误．
【详解】解：A．∵、是所对的圆心角、圆周角，
∴；故选项正确，不合题意；
B．∵平分，是的切线，
∴
∵，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选项错误，符合题意；
C．∵平分，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
故选项正确，不合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（SAS），
∴，
∴也是的切线，
故选项正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的有关性质与定理，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 计算：_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值计算.
【详解】，
，
故答案为：1.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，在中考中经常出现，需要掌握特殊角的三角函数值.
12. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____（结果精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】根据用频率估计概率的方法即可进行解答．
【详解】解：由表可知：经过大量重复试验，成活的频率逐渐稳定到，
∴该种幼树在此条件下移植成活的概率是，
故答案为：．
【点睛】利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．
13. 关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，再根据根与系数的关系建立方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两根之积等于”是解本题的关键．
14. 已知二次函数部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性和图象性质判断即可；
【详解】∵抛物线的对称轴为，
∴点关于直线的对称点为，
当时，函数值y大于2；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．
15. 如图，内接于，，，则半径为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，连接，，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得出，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理得应用．
【详解】解：如图，连接，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 已知二次函数的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 _____（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
【详解】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x2．
∴2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如图1：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
三、解答题（共9题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接运用公式法解一元二次方程即可；
（1）直接运用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴，．
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，．
18. 如图，已知是坐标原点，、．
（1）以原点点为位似中心，相似比为2，将放大两倍得到，直接写出点的坐标为_____________；
（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．
【答案】（1）或．
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）利用位似图形的性质得出B、C点对应点的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点C、B绕点O逆时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据弧长公式列式计算即可．
【小问1详解】
解：如图：的坐标分别为：或；

故答案为：或．
【小问2详解】
解：如图所示：即为所求，B点所经过的路线长为：．
19. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少?
【答案】（1）100名，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次被调查的学生有名；
选择“足球”的人数为名，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率是；
20. 已知中，点为的中点，．
（1）在线段上求作一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由可得，根据作一个角等于已知角的作图方法作，交于点N，则点N即为所求．
（2）由相似三角形的性质可得，由中点的定义可得，则，据此即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∴如图，作，交于点N，则点N即为所求．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，即．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．
（1）求的面积；
（2）若，结合图象，直接写出对应的自变量的取值范围______．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）把点代入直线，求出m的值，然后把点A代入，求出k的值，再求出B点的坐标，利用三角形的面积公式，即可求出答案；
（2）结合图象，利用图象法，即可求出当时，自变量x的取值范围．
【小问1详解】
解：∵函数的图象与直线交于点，
∴将点代入有：，
∴，
∴将点代入有：，
∴，
设点B的坐标为，则将点代入，
可得，
解得（舍去）或，
∴
设直线交轴于点，则，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，点，点B，
∴当时，有
自变量x的取值范围为：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数图像和性质．
22. 如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．
（1）求证：是的切线；
（2）若与相切于点，，，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图：连接，由可得，则，所以即可结论；
（2）如图：连接，可证明四边形是正方形，则，设,则,由勾股定理得解得，最后根据图形即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：连接，
∵与相切于点G，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
设,
∵，
∴，且,
∴，解得（不符合题意，舍去），
∴，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23. 如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．

（1）求滑道所在抛物线的解析式；
（2）求甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离；
（3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制，，请直接写出长度的取值范围．
【答案】（1）
（2）米
（3）
【解析】
【分析】（1）点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出点坐标．又因为点为抛物线的顶点，且点到地面的距离为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出、的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．
【小问1详解】
解：依题意，点到地面的距离为米，
设点坐标为，，代入 ，
解得，
点距地面的距离为米，距点的水平距离为 米，
的坐标 ，，
由题意得：，，
故设滑道所在抛物线的解析式为 ，
将的坐标，代入，得 ，
解得：，
则 ；
【小问2详解】
令，，
解得： 不合题意，舍去，
又将 代入 ，
解得 ，
甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离为 米．
【小问3详解】
根据上面所得 ，， ，时，此时，
则点不可往左，可往右，则最小值为，
又，
，
．
长度的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
24. 将绕点逆时针旋转得到，且点落在的延长线上，连接．
（1）如图1，若，，交于点．①求的度数；②直接写出的值．
（2）如图2，若点分别为，的中点，连接并延长交于点，求证：．
【答案】（1）①；②
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据旋转得到，，，，从而
，，进而
得到；
②由，得到，
，再根据，得到，根据含直角三角形的三边关系得
到从而有；
（2）连接，如图所示，由，为的中点，根据等腰三角形性质到，
，则，进而，再由，是的中点，
根据等腰三角形性质得到，，从而四点共圆，由圆周角定理
得，从而确定．
【小问1详解】
解：①∵绕点逆时针旋转得，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②．
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，如图所示：
∵，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，是的中点，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何综合，综合性较强，涉及旋转性质、角度和差倍分关系、含直角三角形的三边关系、等腰三角形性质、四点共圆、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点，灵活运用几何性质推理是解决问题的关键．
25. 已知关于x的二次函数（m，n为常数）．
（1）若二次函数图象经过两点，求二次函数的表达式；
（2）若，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）k的值为或3
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断；
（3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值．
【小问1详解】
将代入，得
，
解得，
∴次函数的表达式是；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴函数解析式为，
∵，
∴，即，
∴该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，
∴当时，
当时有最大值，即；
当时有最小值，，
∵，
∴，
解得；
当时，
当时有最大值，即；
当时有最小值，，
∵，
∴，
解得或（舍去）
综上，k的值为或3．
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
移植总次数n
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
1335
3203
6335
8037
12628
成活的频率