精品解析：福建省莆田市中山中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

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1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣2，﹣3）B. （﹣2，3）C. （2，﹣3）D. （2，3）
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式可直接进行求解．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，3）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3. 若抛物线有最高点，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据的大小确定函数图像的开口方向以及最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得二次项系数小于，二次函数图像开口向下，据此根据选项即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线的图像开口向下，
∴，
∴的值可以是，
故选：D．
4. 如图，已知扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，则此扇形面积为多少平方公分？（ ）
A. 100πB. 20πC. 15πD. 5π
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形面积公式计算即可得到结果．
【详解】解：∵扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，
∴S扇形AOB＝＝15π（平方公分），
故选C．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
5. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．
故选：C．
【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
6. 如图，已知，下列条件中不能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，由得出，再逐项判断即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：，
，即，
A、，，故此选项不符合题意；
B、，，故此选项不符合题意；
C、，，故此选项不符合题意；
D、，无法证出，故此选项符合题意；
故选：D．
7. 已知⊙O的面积为4，则其内接正三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
【详解】解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为4π
∴⊙O的半径为2，即：OB=2，
∵△ABC为正三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
8. 如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有4种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为，
故选：B．
【点睛】此题考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
9. 如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先由题意得到ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，再将方程变形求解即可．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，
ax2+bx+c＝﹣x变形为ax2+（b+1）x+c＝0，
∴ax2+（b+1）x+c＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是理清一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象和一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况的关系．
10. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（ ）

A. 5秒或7秒B. 5秒或19秒C. 5秒或17秒D. 7秒或19秒
【答案】D
【解析】
【分析】依据两块三角板斜边平行，即可得到旋转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋转运动的时间．
【详解】解：如图，
当斜边ABDC时，∠CFE=∠B=60°，
∴∠BED=60°-45°=15°，
∴旋转角为90°+15°=105°，
105°÷15°=7；
如图，将△ABE继续逆时针旋转180°，可得斜边A'B'DC，
此时，旋转角为105°+180°=285°，
285°÷15°=19；
综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为7秒或19秒，
故选D．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11. 已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为______________cm
【答案】8cm．
【解析】
【详解】试题分析：⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
试题解析：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
考点：圆的认识．
12. 已知，，，则的周长之比为____．
【答案】4∶3
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴；
故答案为：4∶3．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
13. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则______．

【答案】##55度
【解析】
【分析】根据旋转的性质，可得知，从而求得的度数，又因为的对应角是，即可求出的度数．
【详解】解：∵把绕C点顺时针旋转，得到，
∴，
又∵，
∴，
∵的对应角是，即，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等．
14. 如图，是的内切圆，切点分别是、、，已知，，则的度数是___．
【答案】##65度
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质定理、三角形的内角和定理、圆周角定理，根据三角形的内角和定理求得，根据切线的性质定理和四边形的内角和定理求得，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得．
【详解】解：，，
，
是的内切圆，切点分别是、、，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，在等腰中， ，，点在边上， ，点在边上，，垂足为，则长为_____．

【答案】
【解析】
【分析】过作 于，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得，，进而可得，由此得CH=15-DH，再证明，由相似三角形的对应边成比例可得，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD长.
【详解】过作 于，则∠AHD=90°
在等腰中，，，
，，
∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
，
∴CH=AC-AH=15-DH，
，
，
又∵∠ANH=∠DNF，
，
，
，
，CE+BE=BC=15，
∴，
∴，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
16. 如图，点为坐标原点，的半径为，点，动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】以为边，在的下方作等边，连接，，，证明，得，即可得出结论．
【详解】解：如图，以为边，在的下方作等边，连接，，，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的半径为，点，
∴，，
OB=1，，
∴（当点，，三点共线时取“”号），
即，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，数轴上两点之间的距离等知识，本题难度较大．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共86分）
17. 解方程：.
【答案】，
【解析】
【分析】直接因式分解即可求解．
【详解】
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
18. 如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】连接OA、OC，根据垂径定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根据HL证Rt△ONC≌Rt△OMA，根据全等三角形的性质推出即可．
【详解】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA．
∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，
∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，
∵AB=CD，
∴CN=AM，
在Rt△ONC和Rt△OMA中，
∵OC=OA，CN=AM，
∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），
∴OM=ON．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形．
19. 甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字，，，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．用列表或画树状图等方法，请判断该游戏对甲乙双方是否公平？
【答案】该游戏对甲乙双方不公平
【解析】
【分析】本题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图，列表得出所有可能的情况数，分别找出甲乙两人获胜的情况数，比较即可得到结果，掌握列表法与树状图是解题的关键．
【详解】解：该游戏对甲乙双方不公平，理由为：
列表如下：
所有等可能的情况有种，分别为，，，，，，；，，
∴甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有，，，，，，，，，共种，其中积为奇数的情况有种，偶数有种，
∴，
∴该游戏对甲乙双方不公平．
20. 如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
【小问1详解】
证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
21. 如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
【详解】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．
22. 为了倡导环境保护，某校有6000名学生，现开展废旧电池回收活动．德育处从本校学生中随机调查了50名学生上交废旧电池的数量情况，并制作了统计图，如图：
（1）补全频数分布直方图：
（2）从这50名学生上交废旧电池数量在节的学生中，任意抽取2名学生，求至少有1名学生上交废旧电池数量在节的概率：
（3）若该校学生上交的电池平均25节质量为，该校收集好电池后，现有A，两辆微型有害垃圾环卫车申请前来运送所有废旧电池，数据如下表：
请以垃圾环卫车运送该学校所有废旧电池的最低费用为决策依据，说明该校应让A，中的哪辆垃圾车来运送废旧电池．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）选择环卫电动挂桶垃圾车比较实惠
【解析】
【分析】本题主要考查了画条形统计图，列表或画树状图求概率，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的知识．
（1）先求出这50名学生上交废旧电池数量在节的学生人数，然后再补全条形统计图即可；
（2）根据题意列出表格，然后再根据概率公式进行计算即可；
（3）先求出学生上交电池节数的平均值，然后求值电池的总节数，算出电池质量，最后算出运输电池的总费用，进行比较即可．
【小问1详解】
解：这50名学生上交废旧电池数量在节的学生有（人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：设上交节的两个学生记作、，上交节的两个学生记作，，从这4名学生中任意抽取2名，所有等可能出现的结果如下：
共12种等可能出现的结果，其中至少有1名学生是的有10种，
∴至少有1名学生上交废旧电池数量在节的概率为；
【小问3详解】
解：样本中学生上交电池节数每组均取中间值求出平均数为（节，
全校学生回收电池的总节数为（节，
全校学生回收电池的总质量为，
因此利用A人力钢板垃圾车需要3辆，费用为（元，
利用环卫电动挂桶垃圾车需要1辆，费用为300（元，
因此选择环卫电动挂桶垃圾车比较实惠．
23. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是圆O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD延长线于E点．
（1）求证：CE是圆O的切线；
（2）若AB=10，AC=8，求AD的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，可得，，结合角平分线的性质可得，由平行线的判定定理可得，继而即可证明；
（2）根据圆周角定理得出，由勾股定理可得，求得，延长BC交AE的延长先于点F，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得，再利用相似三角形的判定和性质即可得出结论．
【详解】解：（1）如图所示，连接OC，
∵，
∴，
∵AC平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CE是的切线；
（2）∵AB是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
延长BC交AE的延长先于点F，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，准确作出相应辅助线是解题关键．
24. 如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如图，连接，，交于点．
①求证：；
②若，求三角形的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②
【解析】
【分析】（1）由正方形性质可得AD=BC=DC=AB，AE=BE=AB，BF=CF=BC，由SAS可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF=∠ADE，由余角的性质可得结论；
（2）①过点B作BN⊥AF于N，由AAS可证△ABN≌△ADG，可得AG=BN，DG=GN，由平行线分线段成比例可得AG=GN，由勾股定理可得结论；
②由勾股定理可求DE的长，由面积法可求AG的长，由相似三角形的性质可求GH的长，由三角形的面积可求解．
【详解】解：（1）证明：∵正方形，、分别为边、的中点，
∴，，，
∴，
∵在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE和△BAF（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：①如图，过点作于，
∵，，，
在△ABN和△ADG中，
，
∴△ABN和△ADG（AAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
且，
∴，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25. 已知抛物线过点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知过原点的直线与该抛物线交于，两点（点在点右侧），该抛物线的顶点为，连接，，点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合）．
①当点A的横坐标是时，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
②点，点为抛物线上动点，以线段为直径的圆截定直线所得弦长为定值，求和弦长的值．
【答案】（1）
（2）①；②，弦长为
【解析】
【分析】（1）根据抛抛物线过点，，得出对称轴为直线，进而得出，将点代入，即可求解；
（2）①先求得直线的解析式为，联立抛物线解析式得出点得到坐标，过点作轴交直线于点，设，则，则，根据的面积与的面积相等，建立方程，解方程即可求解；
②设，设圆心为点，则，得出，根据函数关系式化为，进而得出圆心到直线距离，设弦长为，根据垂径定理以及勾股定理得出，即，根据题意得出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得
∴抛物线的解析式为：
【小问2详解】
①∵点的横坐标是，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴，
如图1，过点作轴交直线于点，设，则，
∴，
∴，
，
∵的面积与的面积相等，
∴，∴，
∴，
∴或，
∵点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合），
∴，
∴；
②设，
∵
∴
∴
设圆心为点，则
∴圆心到直线的距离，设弦长为
由勾股定理知：，代入得：，
∵弦长为定值，
∴与无关，
∵的值大于0，
∴
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，垂径定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．

产品名称
载重量
单次费用（元
A
人力钢板垃圾车
400
200
环卫电动挂桶垃圾车
1700
300
第1人第2人