四川省2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质解不等式得到集合，然后求并集即可.
【详解】由对数函数的性质，，．
故选：B．
2. 求值：（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用诱导公式化同角，再利用两角差的正弦公式即可得解.
【详解】
.
故选：A.
3. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.
【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故选：A
4. 将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子的方法总数以及2个小球在同一个盒子的方法总数，由古典概率的公式代入即可得出答案.
【详解】将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，共有：种方法，
2个小球在同一个盒子有种情况，
所以2个小球在同一个盒子的概率为.
故选：D.
5. 在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】如图所示，
故选:D.
6. 若圆被直线平分，则的最小值为（）
A. B. C. 4D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得圆心在直线，即得，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意圆被直线平分，
即圆心在直线上，故，
即，
故，
当且仅当，结合，即时去等号，
即的最小值为为9，
故选：D
7. 直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由题意知,若a = 0 ,则倾斜角为,
若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，
综上，，
故选：C.
8. 已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设的中心为，球O的半径为R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大.
【详解】如下图，设的中心为，球O的半径为R，
连接，OD，，OE，则
，
在中，，
解得R＝2，所以，因为BE＝DE，所以，
在中，，
所以，过点E作球O的截面，
当截面与OE垂直时，截面的面积最小，
此时截面的半径为，则截面面积为，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π.
故选：D
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线，则（）
A. 直线过定点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，两直线之间的距离为1
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答.
【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；
当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确；
当时，直线，而直线，显然，即，C正确；
当时，有，解得，即直线，
因此直线之间的距离，D正确.
故选：CD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为
B.
C. 是图象的一条对称轴
D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式化简可得表达式，判断B；利用正弦函数周期公式即可判断A；将代入中验证可判断C；根据三角函数图象的平移可得平移后函数解析式，结合其奇偶性可判断D.
【详解】由题意得，B正确；
则其最小正周期为，A错误；
将代入中，得，
则是图象的一条对称轴，C正确；
将的图象向左平移个单位后，得到的图象，
而函数不是奇函数，其图象不关于原点对称，D错误，
故选：BC
11. 如图，在正方体中，为的中点（）
A. 平面
B.
C. 若正方体的棱长为1，则点到平面的距离为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用线线平行可判定A项，利用线面垂直可判定B项，利用等体积法转化可判定C项，利用线面角的定义结合C项结论可判定D项.
【详解】
对于A项，连接BD交AC于O点，连接OE，易知OE为的中位线，
即，∵面，面，∴平面，故A正确；
对于B项，连接，由正方体的性质易知，
又面，∴面，
而面，即，故B正确；
对于C项，由正方体的性质知：点到平面的距离等于点D到平面的距离，设该距离为，若正方体棱长为1，则，
，故C正确；
对于D项，假设D点在面ACE的投影为M，连接AM，则AD与面ACE的夹角为，
由C选项结论可知若正方体棱长为1，则有，故D错误.
故选：ABC
12. 已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（）
A. 圆M上恰有一个点到直线l的距离为B. 切线长PA的最小值为1
C. 四边形AMBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形AMBP面积为，可判断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D.
【详解】由圆M：，可知圆心，半径，
∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，
∴当最小时，有最小值，又，
∴，故B正确；
∵四边形AMBP面积为，
∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；
设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，
所以，即，
又圆M：，即，
∴直线AB的方程为：，即，
由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 已知，，则向量与的夹角为______.
【答案】##
【解析】
【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是______.
【答案】##30°
【解析】
【分析】由结合余弦定理，可求，进而可求B.
【详解】因为，所以，
由余弦定理的推论，得
因为，所以．
故答案为：．
15. 已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为__________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】由纯虚数得出的取值，即可求出复数是纯虚数的概率.
【详解】由题意，
中，，，
∵复数为纯虚数
∴，
∴复数是纯虚数的概率为：，
故答案为：.
16. 已知圆上的动点M和定点A，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】找到定点，连接易证，即可得，转化为求最小值，判断对应的位置，即可求最小值.
【详解】若，又A，，则，
所以且，则，即，
故，当共线时目标式值最小，
所以最小值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线过点和，直线：．
（1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．
（2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程.
【小问1详解】
直线的方程为，即，
取直线上的一点，设关于直线的对称点为，
则，解得.
由解得，
所以直线过点和点，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
直线斜率不存在时，可得，
点与直线的距离为，符合题意.
当直线斜率存在时，设直线斜率为，
故可得直线的方程为，
即，
因为点到直线的距离为，
即，
解得，
故可得直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为：或．
18. 圆，直线.
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的线段的最短长度，并求此时的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）当时，最短弦长为
【解析】
【分析】（1）证得直线恒过圆内定点即可.
（2）当时被圆截得的线段的最短长度，求此时的弦长与的值.
【小问1详解】
因为直线的方程可化为，
所以过直线与交点.
又因为点到圆心的距离，
所以点在圆内，所以过点的直线与圆恒交于两点.
【小问2详解】
由（1）可知：过点的所有弦中，弦心距，
因为弦心距､半弦长和半径构成直角三角形，
所以当时，半弦长的平方的最小值为，
所以弦长的最小值为.
此时，.
因为，所以，解得，
所以当时，得到最短弦长为.
19. 甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求：
（1）其中恰有一人破译出密码的概率；
（2）密码被破译的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出事件，根据互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及独立事件概率的乘法公式即可得出答案；
（2）根据已知结合独立事件概率的乘法公式，求出密码不能破译的概率，进而根据对立事件概率公式，即可得出答案.
【小问1详解】
记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件A、、，则，，，，，，
记“恰有一人破译出密码”为事件，
由已知可得，
.
【小问2详解】
记“密码被破译出”为事件，
因为，
所以.
20. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）结合（1）的结论由正弦定理可得，利用余弦定理即可求得a的值，再利用三角形面积公式即可求得答案.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
即，
又因为，可得
，所以，可得．
【小问2详解】
由（1）得，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
又由，解得，则，此时存在且唯一确定，
因为则可得
所以；
21. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
（1）证明：BDCC1；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）连接,根据题意证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）取中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点，求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得，即可求解.
【小问1详解】
证明:如图所示，连接,
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
22. 已知点M（1，0），N（1，3），圆C：，直线l过点N．
（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；
（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先判断直线l不存在斜率时符合题意；再设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．
（2）设出直线l的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及直线的斜率公式进行证明．
【小问1详解】
解：若直线l的斜率不存在，
则l的方程为，
此时直线l与圆C相切，
故符合条件；
若直线l的斜率存在，
设斜率为k，其方程为，
即，
由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，
得，解得，
所以直线l的方程为，
即，
综上所述，直线l的方程为或；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，
此时设l的方程为，
联立，
得，
则，
解得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，（1）
所以，
将（1）代入上式整理得，
故为定值．