人教A版高中数学(必修第一册)期末复习 全册综合测试卷AB（2份，原卷版+教师版）

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1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据集合的交运算即可求解.
【解答过程】由集合，得，故选：A.
2．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由题意得不等式恒成立，分类讨论列不等式组求解，
【解答过程】由题意得对恒成立，当即时，不满足题意，
当时，由解得，综上，的取值范围是，故选：B.
3.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【解答过程】解：，，
，，，，.故选：A.
4.定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集.
【解答过程】由定义在上的奇函数在上单调递减，可得在上是减函数；
又，不等式，等价为或，
所以时，即有，解得；时，即有，解得；
综上可得的解集为.故选：C.
5.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.
【解答过程】不等式有解，，且，，当且仅当，即时取“="，，故，即，解得或实数的取值范围是.故选：B.
6.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称中心为，
D．在区间上的最小值为
【解题思路】根据函数最大值和最小正周期可得，由可得，从而得到解析式；由可确定奇偶性，知A正确；根据三角函数平移变换原则可得B错误；利用整体代换法，令可求得对称中心，知C错误；由，结合正弦函数性质可确定最小值为，知D错误.
【解答过程】，，；由图象可知：最小正周期，，
又，，解得：，
又，，；
对于A，，
，为偶函数，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，令，解得：，
的对称中心为，C错误；
对于D，当时，，当，即时，，D错误.
故选：A.
二．多选题
7.已知，，则下列表达式正确的是（ ）
A．， B．的最小值为3
C．的最小值为8D．的最小值为4
【解题思路】对A，通过用表示以及用表示，即可求出范围，对B，对等式变形得，利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出最小值，对D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.
【解答过程】对A选项，，即，则， 则，且解得，
，则则，且，解得，故A正确；
对B选项，，两边同除得，
则，
当且仅当，且，即时等号成立，故B错误；
对C选项，，，解得，故，
当且仅当，且，即时等号成立，故C正确；
对D选项，由A选项代入得
，
当且仅当，，即时，此时时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
8.给出以下四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．函数y=与函数y=·表示同一个函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若函数是奇函数，则函数也是奇函数
D．函数在上是单调增函数
【解题思路】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D.
【解答过程】对A选项，，，或，故其定义域为，而后者，，解得，其定义域为，定义域不同，故函数不同，所以A错误；
对B选项，，所以函数的定义域为，故B正确；
对C选项，设，根据为奇函数，则定义域关于原点对称，且 ，故其为奇函数，C正确，
对D选项，反比例函数在,上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误.故选：BC.
9.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数为偶函数
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．是函数的一个单调递减区间
D．将的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
【解题思路】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性逐一判断即可.
【解答过程】因为函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以.
A：，
因为，所以函数为奇函数，本选项说法不正确；
B：，所以当时，函数有最小值，所以直线是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法正确；
C：当时，，
因为函数在上单调递增，所以在上也单调递增，
所以是函数的一个单调递增区间，因此本选项说法不正确；
D：的图象向右平移个单位长度可以得到函数，因此本选项说法正确，故选：BD.
三．填空题
10.已知集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围为 .
【解题思路】根据集合之间的包含关系，列出不等关系，即可求得结果.
【解答过程】根据题意，集合是集合的真子集；
故，，且不能同时取得等号，解得，故的取值范围为：.
故答案为：.
11.若，，且，则的最大值为 ．
【解题思路】利用基本不等式的性质，求解和的最小值.
【解答过程】，，由基本不等式，，即，且仅当时等号成立.
，即，解得，当，即，时，有最大值.故答案为：.
12.已知是定义在上的奇函数，且对，当时，都有．若，则的取值范围是 ．
【解题思路】先判断函数的单调性，根据奇偶性化简题目所给不等式，利用函数的单调性求得的取值范围．
【解答过程】当时，不妨设，根据已知条件得，即，
所以在上是减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，
故等价于，所以，解得．
故答案为：．
四．解答题
13.设.
(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【解题思路】（1）由已知可得，对于一切实数恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解；（2）由已知可得，，分、、、、共种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【解答过程】（1）解：不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，即，解得；综上可得.
（2）解：不等式等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，即，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或.
14.已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值：
(2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)求使成立的实数的取值范围.
【解题思路】（1）由奇函数的性质可得，结合，解方程可得，的值；
（2）在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；
（3）由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围.
【解答过程】（1）由题意，,在中，函数是奇函数，且，可得即；
又，则，∴，；经验证满足题意.
（2）由题意及（1）得， 在上为增函数.证明如下：在中，
设，则，
∵，∴，，∴，即，
∴在上为增函数；
（3）由题意，（1）及（2）得，在中，为奇函数，∴
∴，即，
∴，解得，∴的取值范围是.
15.已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)若的图象关于点对称，且，求t的值
(3)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角恒等式化简函数关系式，根据最小正周期的计算公式，可得答案；
（2）由（1）整理出函数的解析式，利用三角函数的对称中心的计算公式，可得答案；
（3）利用整体换元的思想，求得函数在上的值域，去掉绝对值，建立不等式组，可得答案.
【解答过程】（1） ，
则函数的最小正周期.
（2）由（1）可得，
因为的图象关于对称，所以，则，
由，则或.
（3）由得：，则，即，
由，可得，则，解得.必修第一册 全册综合测试卷（B卷）
一．选择题
1.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】解不等式，求出俩命题的解，然后根据充分不必要条件，得出不等关系，从而求出实数的范围.
【解答过程】解：由题意，在中，解得：，
在中，解得：，
∵是的充分不必要条件∴，等号不同时成立，∴.故选：B.
2.已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【解题思路】首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可.
【解答过程】，当且仅当时等号成立，解得，即.
因为不等式恒成立，所以，即，解得.故选：B.
3.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数．已知函数是“函数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意可得的值域为，又因为当时，的值域为，当时，的值域为，所以有，求解即可.
【解答过程】解：由题意可知的定义域为，又因为是“函数，所以的值域为，
又因为,所以的值域为，
又因为当时，，单调递增，此时值域为，
当时，，开口向上，对称轴为，此时函数单调递增，值域为，
所以，解得，所以m的取值范围为.故选：C.
4.已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】将问题转化为与有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果.
【解答过程】有两个不同解等价于与有两个不同的交点，作出图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有两个不同的交点，实数的取值范围为.故选：D.
5.已知定义在的函数是奇函数，且对任意两个不相等的实数，都有.则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据函数为奇函数得到，确定函数的定义域和单调性，将不等式转化为，根据函数的单调性结合定义域得到答案.
【解答过程】时，，
是奇函数，故，
函数关于点中心对称，取得到得到.
，故，
故函数在上单调递减，根据中心对称知函数在上单调递减.
，即，
故，故，解得；
考虑定义域：，解得.综上所述：，故选：B.
6.已知，给出下列结论：
①若，，且，则；
②存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；
③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为．
其中，所有错误结论的编号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解题思路】根据已知函数解析式变形，求得函数的最小正周期为，由已知条件可得函数的最小正周期，求得值判断①；求出变换后的函数解析式，由对称性求得值判断②；求出函数的零点，再由已知列关于的不等式，求出范围判断③；求出函数的增区间，由题意列关于的不等式组，求得范围判断④．
【解答过程】解：∵，
∴的最小正周期为．对于① ：因为，且，
所以的最小正周期为T=2π，． 故 ① 错误；
对于② ：图像变换后所得函数为，若其图像关于y轴对称，则，k∈Z，
解得ω=1+3k，k∈Z，当k=0时，．故② 正确；
对于③ ：设，当时，．在上有7个零点，
即在上有7个零点．则，解得． 故③ 错误；
对于④ ：由，得，
取k=0，可得，若f(x)在上单调递增，则，解得．故④ 正确．
故选：B．
二．多选题
7.下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是；
B．若，则；
C．若，则的最大值是2；
D．若，则有最大值.
【解答过程】对于A，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由，当且仅当时等号成立，且，则，整理可得，，由，解得，故C错误；
对于D，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：ABD.
8.已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上有4个零点
D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
【解题思路】根据图象可求两个函数的解析式，再逐项计算后可得正确的选项.
【解答过程】由图象（1）可得，，故，
故，而，
故，而，故，故，
由图（2）可得，，故，故，而，
故，而，故，故，
对于A，的最小正周期为，故A错误；
对于B，，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，即为，故或，，
故或，.令，故；令，故；
故在区间上有4个零点，故C正确.
对于D，函数的图像向左平移，其图象对应的解析式为：
.故D正确，故选：BCD.
三．填空题
9.若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为 或 ．
【解题思路】先按实数分类讨论求得不等式的解集，再利用题给条件列出实数的不等式，进而求得实数的取值范围
【解答过程】由，可得
①当时，不等式的解集为，若中恰有3个正整数，则；
②当时，不等式的解集为，不符合题意；
③当时，不等式的解集为
若中恰有3个正整数，则，综上，实数的取值范围为或
故答案为：或.
10.对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对∀x1，x2∈D，且x1≠x2时都有，则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若为区间[0，2]上的“非减函数”且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x）＝2，又当恒成立，则 .
【解题思路】利用赋值法，结合“非减函数”的定义求得正确答案.
【解答过程】，所以，，
令，得，令，得，
令，得当恒成立，，
由于是区间上的“非减函数”，所以，所以.
由于任意，所以，而当，，
由，故时，.，所以，
所以.故答案为：.
四．解答题
11.已知，函数满足
(1)求的最小值；
(2)解关于的的取值范围.
【解题思路】（1）转化条件为，进而可得，结合基本不等式即可得解；
（2）转化条件为，按照、、分类，由一元二次不等式的解法即可得解.
【解答过程】（1）由已知，得，
所以.
当且仅当即，等号成立，的最小值为10.
（2）由题意，
∵，∴，∴，∴，
方程的两根为，
当时，即，不等式的解集为；
当时，即，不等式的解集为；
当时，即，不等式的解集为.
综上可知：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
12.已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)根据单调性的定义证明函数在上单调递增；
(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由是定义在上的奇函数，利用，求得；
（2）利用作差法证明即可；
（3）由（2）知，函数为上单调递增的奇函数，故等价于对任意实数恒成立，分类讨论和两种情况，从而求出的取值范围.
【解答过程】（1）解：因为函数为定义在上的奇函数，
所以，得，经检验符合题意，所以；
（2）证明：根据（1）知，，且，则，
因为，所以，，，
所以，即，所以函数在上单调递增；
（3）解：由（2）知，函数为上单调递增的奇函数，
，即，即，
则，所以对任意实数恒成立，
当时，，显然成立；
当时，，解得，
综上可知，实数的取值范围是.
13.已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后结合正弦函数周期可得；
（2）利用正弦函数的增区间求解；
（3）求出的解后可得的范围．
【解答过程】（1），最小正周期为；
（2），，所以增区间是；
（3），，，，
因为函数在区间上有且只有一个零点，所以，所以实数的取值范围为.
14.对于定义域为的函数，如果存在区间.同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：，是函数的一个“优美区间”；
(2)函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.
【解题思路】（1）通过在区间，上单调递增，利用新定义判断即可.
（2）利用新定义，是已知函数的“优美区间”，推出，转化求解即可.
（3）设，是已知函数定义域的子集，通过，是已知函数的“优美区间”，则，，说明､是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值.
【解答过程】（1）函数在，上单调递增，所以，（2），
即，，由题“优美区间”的定义可知，，是函数的一个“优美区间”.
（2）假设，是函数的一个“优美区间”，的定义域为，
所以，或，，又在，上单调递减，
所以，又，即，不符，所以不存在“优美区间”.
（3）定义域为，假设，或，，
在，上单调递增，又，是函数的“优美区间”，
所以，，所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根.
所以，解得或，又，
所以，所以当时，取得最大值为.