人教A版高中数学(必修第一册)期末复习 一元二次不等式恒成立、存在性问题+提升训练（2份，原卷版+教师版）

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【解题思路】通过m是否为0，利用二次函数的性质以及判别式转化求解即可．
【解答过程】解：（1）当m＝0时，原不等式化为﹣8≥0，解集为空集，故不满足题意；
（2）当m＞0时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意；
（3）当m＜0时，由题意，得：△≥0，即（2m）2﹣4m×（﹣8）≥0，
又4m2+32m≥0，因为m＜0，所以m≤﹣8；
综上，当m≤﹣8或m＞0时，不等式mx2+2mx﹣8≥0有解.
2.已知关于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解，求关于x的不等式ax+4＞7﹣2x的解．
【解题思路】依题意知，Δ＝a2﹣4≥0，又由ax+4＞7﹣2x⇔（a+2）x＞3，分a+2＞0或a+2＝0或a+2＜0三种情况，解出不等式的解即可．
【解答过程】解：由于关于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解，
则Δ＝a2﹣4≥0，即a≥2或a≤﹣2
又由ax+4＞7﹣2x等价于（a+2）x＞3，则当a≥2时，a+2＞0，
所以不等式ax+4＞7﹣2x的解为
当a＝﹣2时，不等式无解；当a＜﹣2时，a+2＞0，
所以不等式ax+4＞7﹣2x的解为．
3.设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．对a分类讨论即可解出．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x∈[﹣1，1]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣1]，可得a＜﹣x+2恒成立．即可得出．
【解答过程】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．
a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，
∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．
易知 （﹣x+2）min＝1，∴a的取值范围为：a＜1．
4.设函数f（x）＝x2+ax﹣b．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2﹣ax+1≤0的解集；
（2）当a+b＝3时，f（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用不等式的解与对应方程之间的关系，即可解出a，b的关系，即可求解；（2）由已知可得a在[0，1]上恒成立，只需a，
然后利用函数的单调性以及换元法求出函数的最大值即可求解．
【解答过程】解：（1）因为不等式x2+ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
所以x＝2，x＝3是方程x2+ax﹣b＝0的解，由韦达定理得：a＝﹣5，b＝﹣6，
故不等式bx2﹣ax+1≤0为﹣6x2+5x+1≤0，即6x2﹣5x﹣1≥0，解得x或x≥1；
所以不等式的解集为（]∪[1，+∞）；
（2）当a+b＝3时b＝3﹣a，f（x）＝x2+ax+a﹣3≥0在x∈[0，1]上恒成立，
即a在[0，1]上恒成立，只需a，
令g（x），令t＝x+1，t∈[1，2]，
则x＝t﹣1，所以yt，
因为函数y＝﹣t2在[1，2]上单调递减，所以当t＝1时，ymax＝﹣1+2+2＝3，所以a≥3
所以实数a的取值范围为[3，+∞）．
5.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a，b的值；
（2）当x＞0，y＞0，求满足ay+bx﹣xy＝0时，有2x+y≥k2﹣1恒成立，求k的取值范围．
【解题思路】（1）由1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，利用韦达定理列式计算即可；
（2）由（1）得y+2x﹣xy＝0，利用基本不等式能求出2x+y的最小值，由此能求出结果．
【解答过程】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且a＞0，
所以，解得a＝1，b＝2．
（2）由（1）知y+2x﹣xy＝0，
∵x＞0，y＞0，∴y+2x＝xy，
记2x+y＝t，则t2﹣8t≥0，解得t≥8，
当且仅当，即时，取等号，∴2x+y的最小值为8，
∴满足ay+bx﹣xy＝0时，有2x+y≥k2﹣1恒成立，则k2﹣1≤8，解得﹣3≤k≤3，
∴k的取值范围是{k|﹣3≤x≤3}．
6.已知关于x的函数f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1．
（1）当a＝2时，求f（x）≥0的解集；
（2）若不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0对满足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立，求x的取值范围．
【解题思路】（1）a＝2时不等式为4x2+4x﹣3≥0，求出解集即可；
（2）设g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1，a∈[﹣2，2]，问题化为g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，讨论x的取值范围，求出g（a）min，判断g（a）min是否大于或等于0，从而求出x的取值范围．
【解答过程】解：（1）a＝2时，函数f（x）＝4x2+4x﹣3，不等式f（x）≥0为4x2+4x﹣3≥0，
即（2x+3）（2x﹣1）≤0，解得x或x，
所以不等式的解集为（﹣∞，]∪[，+∞）；
（2）设g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1＝（x2﹣1）a2+2xa+1，a∈[﹣2，2]，
根据题意知，g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，
①当x2﹣1＝0时，解得x＝±1，
若x＝1，则g（a）＝2a+1在[﹣2，2]上单调递增，且g（a）min＝g（﹣2）＝﹣3＜0，不合题意．
若x＝﹣1，则g（a）＝﹣2a+1在[﹣2，2]上单调递减，且g（a）min＝g（2）＝﹣3＜0，不合题意．
②当x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1时，g（a）的图象为开口向下的抛物线，要使g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，需，
即，解得，即x或x，
又因为﹣1＜x＜1，所以此时无解．
③当x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1时，g（a）为开口向上的抛物线，其对称轴方程为a，
（i）当2，即1＜x时，g（a）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）min＝g（﹣2）＝4x2﹣4x﹣3≥0，解得x或x，
因为，1，所以此时无解．
（ii）当﹣22，即x或x时，
g（a）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
所以g（a）min＝g（）0，此时无解．
（iii）当2，即x＜﹣1时，g（a）在[﹣2，2]上单调递减，
所以g（a）min＝g（2）＝4x2+4x﹣3≥0，解得x或x，
因为，1，此时无解．
综上，x的取值范围是∅．
7.设函数f（x）＝x2﹣ax+b．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；
（2）若f（﹣2）＝8，m2﹣3m﹣8≥ab对于任意的正数a，b恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由题意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的两根，再由韦达定理求得a和b的值，再代入解不等式，即可；（2）由f（﹣2）＝8，可得2a+b＝4，再结合基本不等式推出ab≤2，然后由m2﹣3m﹣8≥（ab）max，解不等式即可．
【解答过程】解：（1）由题意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的两根，
所以，解得a＝5，b＝4，
所以不等式bx2﹣ax+1＞0为4x2﹣5x+1＞0，即（4x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x或x＞1，
故不等式的解集为{x|x或x＞1}．
（2）f（﹣2）＝4+2a+b＝8，即2a+b＝4，
所以ab•2a•b••2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时，等号成立，
所以ab的最大值为2，
要使m2﹣3m﹣8≥ab对于任意的正数a，b恒成立，则m2﹣3m﹣8≥（ab）max＝2，
所以m2﹣3m﹣10≥0，即（m﹣5）（m+2）≥0，解得m≤﹣2或m≥5，
故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．
8.（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为，求不等式qx2+px+1＞0的解集；
（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的范围．
【解题思路】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出p，q的值，然后代入解不等式即可；
（2）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解即可．
【解答过程】解：（1）因为不等式x2+px+q＜0的解集为，
所以与是方程x2+px+q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得，解得；
所以不等式qx2+px+1＞0，可化为，整理得x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3，
即不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}．
（2）一元二次不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，则Δ＜0，
即m2﹣4×1×（m+7）＜0，整理得m2﹣4m﹣28＜0，解得，
所以m的取值范围是（2﹣4eq \r(2)，2+4eq \r(2)）．
9.已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当a∈R时，解关于x的不等式；
（2）当x∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，讨论a＝0和a＜0、a＞0时，求出对应不等式的解集即可．（2）不等式化为a（x2﹣1）≤x﹣1，即a恒成立，求出f（x）在x∈[2，3]时的最小值即可．
【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，
当a＝0时，不等式化为x﹣1≥0，解得x≥1，
当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x）≥0，解得x，或x≥1；
当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x）≤0；
①0＜a时，1，解不等式得1≤x，
②a时，1，解不等式得x＝1，
③a时，1，解不等式得x≤1．
综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，
当a＜0时，不等式的解集为{x|x或x≥1}，
0＜a时，不等式的解集为{x|1≤x}，
a时，不等式的解集为{x|x＝1}，
a时，不等式的解集为{x|x≤1}．
（2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1，
当x∈[2，3]时，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，所以原不等式可化为a恒成立，
设f（x），x∈[2，3]，则f（x）的最小值为f（3），
所以a的取值范围是（﹣∞，]．
10.已知函数f（x）＝x2+ax﹣3．
（1）若不等式f（x）＞﹣4的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据不等式f（x）＞﹣4的解集为R，即x2+ax+1＞0恒成立，即Δ＜0，a2﹣4＜0，解出a的取值范围即可．
（2）由不等式f（x）≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，即x2+ax﹣3≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，通过分离参数，转化为求最值问题，求得a的取值范围即可．
【解答过程】解：（1）由不等式f（x）＞﹣4的解集为R，
∴x2+ax﹣3＞﹣4解集为R，即x2+ax+1＞0解集为R，
可得Δ＜0，即a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，故a的取值范围是（﹣2，2）．
（2）由不等式f（x）≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，
∴f（x）≥2ax﹣6，即x2+ax﹣3≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，
即x2﹣ax+3≥0对任意x∈[1，3]恒成立，∴a≤（x）min，x∈[1，3]；
∵x22eq \r(3)；当且仅当x，即x=eq \r(3)时取等号．∴a≤2eq \r(3)
故a的取值范围是（﹣∞，2eq \r(3)]．
11.若关于x的不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．
（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；
（2）若对于任意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，求b的取值范围．
【解题思路】（1）根据不等式的解集求出a的值，代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0求出解集；
（2）不等式化为b≥﹣3x恒成立，求出右边函数的最小值，即可得出b的取值范围．
【解答过程】解：（1）不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}，
所以﹣3和1是方程（a﹣5）x2﹣4x+6＝0的解，所以﹣3+1，解得a＝3；
所以不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0化为2x2﹣x﹣3＞0，即（x+1）（2x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x；
不等式的解集为{x|x＜﹣1或x}．
（2）对于任意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，
即3x2+bx+3≥0，所以b≥﹣3x3（x）；设f（x）＝﹣3（x），x∈[2，5]，
则f（x）在x∈[2，5]内是单调减函数，所以f（x）≥f（2）；
所以b的取值范围是b．
12.（1）解关于x不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．
（2）若对于m∈[﹣2，2]，不等式mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．
【解题思路】（1）不等式化为（x+1）（ax﹣3）＞0，讨论a＝0和a＞0、a＜0时，分别求出对应不等式的解集；（2）利用函数的恒成立，转化成函数f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6＜0，m∈[﹣2，2]，
计算f（2）＝（x2﹣x+1）2﹣6＜0即可．
【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax可化为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，
即（x+1）（ax﹣3）＞0，
①当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；
②当a≠0时，方程的两根为﹣1和；
当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x}；
当a＜0时，
（i）若1，即a＜﹣3，原不等式的解集为{x|﹣1＜x}；
（ii）若1，即﹣3＜a＜0，原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；
（iii）若1，即a＝﹣3，原不等式的解集为∅，
综上所得：当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x}；
当a＜﹣3时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x}；
当﹣3＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；
当a＝﹣3时，原不等式的解集为∅．
（2）若对于m∈[﹣2，2]，不等式mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立，
即：mx2﹣mx+m﹣6＜0恒成立，
所以（x2﹣x+1）m﹣6＜0恒成立，
令函数f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6，m∈[﹣2，2]，
因为（x2﹣x+1）＝（x）20恒成立，
所以函数f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6，在m∈[﹣2，2]上单调递增，
所以只需要函数的最大值小于0即可，
所以：f（2）＝（x2﹣x+1）×2﹣6＜0，即：x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，
即x的取值范围是（﹣1，2）．
13.（1）若关于x的不等式2x＞m（x2+6）的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集．
（2）若2kx＜x2+4对于一切的x＞0恒成立，求k的取值范围．
【解题思路】（1）原不等式等价于mx2﹣2x+6m＜0，根据不等式的解集由根与系数的关系可得关于m的方程，解出m再求出5mx2+x+3＞0的解集；
（2）2kx＜x2+4对于一切的x＞0恒成立，可得，求出的最小值可得k的取值范围．
【解答过程】解：（1）原不等式等价于mx2﹣2x+6m＜0，
∴mx2﹣2x+6m＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}则，，
∴5mx2+x+3＞0等价于﹣2x2+x+3＞0，即2x2﹣x﹣3＜0，∴，
∴不等式的解集为 {x|﹣1＜x}；
（2）∵x＞0，由2kx＜x2+4，得，∵，当且仅当x＝2时取等号．
∴2k＜4，∴k＜2，
∴k的取值范围为（﹣∞，2）．
14.（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围．
（2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．
【解题思路】（1）利用Δ＜0列不等式求出实数m的取值范围；
（2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集．
【解答过程】解：（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，
由m2+1＞0知，Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，
化简得﹣4m﹣3＜0，解得m，所以实数m的取值范围是m；
（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＞0，且1，
解得x＜1或x，所以不等式的解集为{x|x＜1或x}；
a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}；
a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＜0，且1，解得x＜1，
所以不等式的解集为{x|x＜1}．
综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1}．
15.已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a、b的值；
（2）若不等式x2﹣b（a+3）x﹣c＞0恒成立，则求出c的取值范围．
【解题思路】（1）由题意知1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，
把x＝1代入方程求得a的值，再由根与系数的关系求得b的值；
（2）由一元二次不等式恒成立知Δ＜0，列不等式求出c的取值范围．
【解答过程】解：（1）由题意知a＞0且1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的根，
把x＝1代入方程得a﹣3+2＝0，所以a＝1；由根与系数的关系得1×b2，所以b＝2；
（2）由（1）知不等式x2﹣2（1+3）x﹣c＞0恒成立，可知Δ＝82+4c＜0，解得c＜﹣16，
所以c的取值范围是（﹣∞，﹣16）．
16.已知不等式x2+px＞4x+p﹣4．
（1）若不等式在2≤x≤4时有解，求实数p的取值范围；
（2）若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围．
【解题思路】（1）不等式x2+px＞4x+p﹣4化为x2+（p﹣4）x+4﹣p＞0①，设f（x）＝x2+（p﹣4）x+4﹣p，不等式①在2≤x≤4时有解时，f（2）＞0，或f（4）＞0，由此求出p的取值范围；
（2）不等式x2+px＞（4x+p﹣4）化为p（x﹣1）+（x2﹣4x+4）＞0②，设g（p）＝p（x﹣1）+（x2﹣4x+4），0≤p≤6时不等式②恒成立，得，求出x的取值范围即可．
【解答过程】解：（1）不等式x2+px＞4x+p﹣4可化为x2+（p﹣4）x+4﹣p＞0①，
设f（x）＝x2+（p﹣4）x+4﹣p，
当不等式①在2≤x≤4时有解时，即存在x∈[2，4]，使f（x）＞0，
所以f（2）＞0，或f（4）＞0成立，
即4+2（p﹣4）+4﹣p＞0，或16+4（p﹣4）+4﹣p＞0，解得p；
（2）不等式x2+px＞（4x+p﹣4）化为p（x﹣1）+（x2﹣4x+4）＞0②，
设g（p）＝p（x﹣1）+（x2﹣4x+4），因为0≤p≤6时不等式②恒成立，
即，所以，
解得x＜﹣1，或x＞﹣1，且x≠﹣2．
17.已知关于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足1时，不等式k2+k+2≥2x+y有解，求k的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意可得，从而求出a与b的值即可；
（2）由（1）可知a＝1，b＝2，则1，从而2x+y＝（）（2x+y）＝44+28，所以根据不等式k2+k+2≥2x+y有解等价于k2+k+2≥（2x+y）min进行求解即可．
【解答过程】解：（1）∵关于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}，
∴1，2是方程ax2﹣3x+b＝0的两个实数根，且a＞0，
∴，解得，故a，b的值分别为1，2；
（2）由（1）可知a＝1，b＝2，则1，
所以2x+y＝（）（2x+y）＝44+28，
当且仅当，即时等号成立，
由不等式k2+k+2≥2x+y有解，得k2+k+2≥8，即k2+k﹣6≥0，解得k≤﹣3或k≥2，
所以实数k的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
18.已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R．
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设原不等式的解集为A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四种情况考虑，当k等于0时，代入不等式得到关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当k大于0且k不等于2时，不等式两边除以k把不等式变形后，根据基本不等式判断的大小即可得到原不等式的解集；当k等于2时，代入不等式，根据完全平方式大于0，得到x不等于4，进而得到原不等式的解集；当k小于0时，不等式两边都除以k把不等式变形后，根据小于4，得到原不等式的解集，综上，得到原不等式的解集；
（2）根据（1）中求出的不等式的解集A，得到当k小于0时，A中的整数解个数有限个，利用基本不等式求出的最大值，进而求出此时k的值．
【解答过程】解：（1）设原不等式的解集为A，
当k＝0时，A＝（﹣∞，4）；
当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x﹣（k）]（x+4）＞0，
∵k4，∴；
当k＝2时，A＝（﹣∞，4）∪（4，+∞）；
当k＜0时，原不等式化为[x﹣（k）]（x﹣4）＜0，∴；
（2）由（1）知：当k≥0时，A中整数的个数为无限个；
当k＜0时，A中整数的个数为有限个，
因为，当且仅当k时，即k＝﹣2（k＝2舍去）时取等号，
所以当k＝﹣2时，A中整数的个数最少．
19.若关于x的不等式x2+ax﹣3＜0的解集为（t，3）．
（1）求实数a，t的值；
（2）是否存在实数c，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅，若存在，求出实数c的值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）由不等式与相应方程的关系得：3，t是方程x2+ax﹣3＝0的两个根，再依据根与系数的关系即可求得a，t的值；
（2）假设存在实数c，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅，则方程x2+cx﹣2a＝0对应判别式△1≤0且方程4x2+16tx+c2＝0对应判别式△2≤0，解不等式组，求得c即可．
【解答过程】解：（1）∵不等式x2+ax﹣3＜0的解集为（t，3）
∴得3，t是方程x2+ax﹣3＝0的两个根，∴3+t＝﹣a，3t＝﹣3；∴a＝﹣2，t＝﹣1．
（2）假设存在实数c，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅，
则方程x2+cx﹣2a＝0对应判别式△1＝c2+8a＝c2﹣16≤0①
且方程4x2+16tx+c2＝0对应判别式△2＝（16t）2﹣16c2＝（﹣16）2﹣16c2≤0②，
联立①，②得c2＝16，∴c＝±4．
∴存在实数c＝±4，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅．
20.已知函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（2）由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0，讨论a的取值，求出对应实数a的取值范围；
（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）＝x2+（3﹣a）x+2a﹣10，求出h（x）＜0解集中恰有3个整数时a的取值范围即可．
【解答过程】解：（1）因为函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，
又f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，
所以﹣4，2方程x2+（3﹣a）x+2+2a+b＝0的两根，
由，解得a＝1，b＝﹣12；
（2）因为函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，
由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，
令g（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0；
①，即得a≤﹣6；
②，即；
有，解得a∈∅；
③，即，解得a≥20；
综上，由①②③知，实数a的取值范围是a≤﹣6或a≥20．
（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）＝x2+（3﹣a）x+2a﹣10，
则h（x）＝（x﹣2）[x﹣（a﹣5）]，知h（2）＝0，
故h（x）＜0解集中的3个整数只能是3，4，5或﹣1，0，1；
①若解集中的3个整数是3，4，5，则5＜a﹣5≤6，得10＜a≤11；
②解集中的3个整数是﹣1，0，1；则﹣2≤a﹣5＜﹣1，得3≤a＜4；
综上，由①②知，实数a的取值范围为3≤a＜4或10＜a≤11．
一元二次不等式恒成立、存在性问题 随堂检测
1.若关于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，求a的取值范围．
【解题思路】根据题意不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，化为Δ＞0，求出解集即可．
【解答过程】解：关于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，
即不等式x2+ax﹣3a＜0有实数解，
所以Δ＝a2﹣4×（﹣3a）＞0，解得a＜﹣12或a＞0，
所以a的取值范围是{a|a＜﹣12或a＞0}．
2.（1）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，求a+b的值．
（2）关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，求a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可得2，3为方程x2﹣ax﹣b＝0的两根，运用韦达定理，可得a，b，进而得到所求和；（2）由题意可得a＜x2﹣4x﹣2在区间（1，4）内有解，由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4），求得f（x）的值域，即可得到所求范围．
【解答过程】解：（1）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
即为2，3为方程x2﹣ax﹣b＝0的两根，可得a＝2+3，﹣b＝2×3，解得a＝5，b＝﹣6，
则a+b＝﹣1；
（2）关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，
可得a＜x2﹣4x﹣2在区间（1，4）内有解，
由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4），可得f（2）取得最小值﹣6，f（1）＝﹣5，f（4）＝﹣2，
则f（x）的值域为[﹣6，﹣2），
则a＜﹣2．
3.已知f（x）＝x2﹣ax﹣2a2，（a∈R）．
（1）若f（x）＞﹣9恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
【解题思路】（1）根据不等式恒成立可得Δ＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，解得即可；
（2）原不等式可化为（x﹣2a）（x+a）＞0，分类解得即可．
【解答过程】解：（1）f（x）＞﹣9恒成立，即x2﹣ax﹣2a2+9＞0恒成立，要Δ＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，
解得﹣2＜a＜2，故a的取值范围为（﹣2，2）；
（2）原不等式可化为（x﹣2a）（x+a）＞0，
当a＞0时，解得x＜﹣a或x＞2a，
当a＝0时，解得x≠0，
当a＜0时，解得x＜2a或x＞﹣a，
综上所述：当a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣a）∪（2a，+∞），
当a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
当a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，2a）∪（﹣a，+∞）．
4.已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R恒成立．
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0．
【解题思路】（1）讨论a是否为0，可解．（2）根据x2﹣x﹣a2+a＜0，可得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又根据0≤a≤1，讨论a与1﹣a的大小，从而可解，
【解答过程】解：（1）当a＝0时，不等式ax2+2ax+1＝1＞0恒成立，
当a≠0时，若不等式ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R恒成立．则，得0＜a≤1，
综上，a的取值范围为[0，1]．
（2）∵x2﹣x﹣a2+a＜0，且0≤a≤1，∴（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，
又0≤a≤1，
①当1﹣a＞a，即0时，则a＜x＜1﹣a，
②当1﹣a＝a，即a时，0，无解，
③当1﹣a＜a，即 时，则1﹣a＜x＜a，
综上所述，当0时，解集为{x|a＜x＜1﹣a}，
当a时，解集为∅，
当 时，解集为{x|1﹣a＜x＜a}．
5.已知f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）+t≤2在[﹣1，2]上有解，求t的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可得0和4是方程x2+bx+c＝0的两根，由韦达定理可得b，c的值，即可得到f（x）的解析式．
（2）由题意可得t≤2﹣f（x）在[﹣1，2]的最大值，利用二次函数求出f（x）的最大值即可得到所求范围．
【解答过程】解：（1）∵f（x）＜0的解集是（0，4）∴f（x）＝0的二根是0和4，
∴，∴，∴f（x）＝x2﹣4x，
（2）不等式f（x）+t＝x2﹣4x+t≤2在[﹣1，2]上有解，等价于t≤﹣x2+4x+2在[﹣1，2]上有解，
∴t≤（﹣x2+4x+2）max，x∈[﹣1，2]，
∵f（x）在[﹣1，2]上的最大值是6，∴t≤6，
∴t的取值范围（﹣∞，6]．
6.已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当a＞0时，解关于x的不等式；
（2）当2≤x≤3时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，再分类讨论两根的大小，求出对应不等式的解集即可．（2）不等式化为a（x2﹣1）≤x﹣1，即a恒成立，求出f（x）在x∈[2，3]时的最小值即可．
【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，
当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x）≤0，
①当1，即0＜a时，解不等式得1≤x，
②当1，即a时，解不等式得x＝1，
③当1，即a时，解不等式得x≤1．
综上，当0＜a时，不等式的解集为{x|1≤x}，
当a时，不等式的解集为{x|x＝1}，
当a时，不等式的解集为{x|x≤1}．
（2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1，
当x∈[2，3]时，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，
所以原不等式可化为a恒成立，
设f（x），x∈[2，3]，则f（x）的最小值为f（3），
所以a的取值范围是（﹣∞，]．