人教A版高中数学(必修第一册)期末复习 第3章 函数的概念与性质+提升训练（2份，原卷版+教师版）

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二、题型精讲
题型01求函数的定义域
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，又函数 SKIPIF 1 < 0 有意义，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解法1：由函数 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .解法2：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型02求函数的值域
【典例1】函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
【典例2】函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A．
【典例3】（多选）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：ABC.
【典例4】定义： SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 的“孪生函数”共有（ ）
A．4个B．8个C．9个D．12个
【答案】C
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 的“孪生函数”的定义域中至少含有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中的一个数，至少含有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中的一个数，可能是{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共9中不同的情况，故选：C.
【变式2】函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值域是______________（用区间表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，为开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，为单调递减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型03求函数解析式
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为2B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ，无最大值，为故A，C错误.
对选项B， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
对选项D， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.故选：B
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数），且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，
要使 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【变式1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：方法一（配凑法）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
方法二（换元法）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【变式2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意.故选：A.
【变式3】若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型04分段函数
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B
【典例2】己知函数 SKIPIF 1 < 0 满足对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】若函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 __________（结果用数字表示）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 在其定义域上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在其定义域上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 故选：D
【变式2】若函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 为R上的单调递增函数,
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型05函数图象
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】根据函数图象分析可知，图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，排除C、D，因为函数值不可能等于4，排除A.
故选：B.
【典例2】设 SKIPIF 1 < 0 ，定义符号函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 ，故C选项正确．故选：C
【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由图象可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式2】函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的定义域均为 SKIPIF 1 < 0 ，它们的图象如图所示，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 即为函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的上方的部分对应自变量的范围，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
题型06函数单调性
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），都有 SKIPIF 1 < 0 成立．若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），都有 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
由于 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，由奇函数可知 SKIPIF 1 < 0 是定义在[﹣3，3]上的增函数，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故有： SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以实数a取值范围是： SKIPIF 1 < 0
【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，要使函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性；
(2)判断 SKIPIF 1 < 0 在[1,+∞）上的单调性，并说明理由；
(3)若方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的实数根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)偶函数；(2)增函数，理由见解析；(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 为偶函数.
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，理由如下：
设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＞ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 有四个不同的实数根，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，∴ SKIPIF 1 < 0 图象与直线 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的交点，作出 SKIPIF 1 < 0 的草图如下.

如图可得：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象有四个不同交点时m的取值范围为： SKIPIF 1 < 0
题型07函数奇偶性
【典例1】设函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，实数a满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
于是不等式 SKIPIF 1 < 0 化为： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C.
【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【答案】C
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于定义域不关于原点对称，故 SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数.故选：C.
【变式2】定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：因为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的周期为4，因为在 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不成立；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式4】已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 的解集为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称.则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，从而 SKIPIF 1 < 0 可化为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式5】已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式：
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的解，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，函数值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，函数值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，函数值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，函数值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
在同一坐标系内作出直线 SKIPIF 1 < 0 和函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图，
观察图象知，方程 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的解，实数k的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
题型08单调性和奇偶性综合
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 是在 SKIPIF 1 < 0 上的增函数， SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C.
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，且不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 使不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在，m为任意实数
【详解】（1）因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，则有：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，满足 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
因为不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故存在，m为任意实数.
【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)确定 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)判断 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明见解析;(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；证明如下：任取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（3） SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
由函数 SKIPIF 1 < 0 都是增函数，可得 SKIPIF 1 < 0 为增函数， SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、数学思想
01数形结合的思想
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
由图可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，由函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即满足 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】设函数 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为___________；
②若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的一个取值范围________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】①当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
可得函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .

②由 SKIPIF 1 < 0 ，可函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
如图所示，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .

故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的定义域为[－2,1]，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)2(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）命题等价于不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，如图.

SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
（2）①若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为R，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不为R，不满足题意；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为二次函数，
SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ；
综合①、②得a的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
02分类讨论的思想
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)分析 SKIPIF 1 < 0 的最值情况；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析;(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，没有最大值；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，没有最小值．
（2）易知 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（i）当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
【详解】（1）因为函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， 所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为2，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
03转化与化归的思想
【典例1】设二次函数 SKIPIF 1 < 0 同时满足下列条件：①当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 ；②函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的两个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求满足条件的实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由①当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
由②函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的两个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得方程 SKIPIF 1 < 0 的两根为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以设 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求二次函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， 所以由二次函数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，所以可设 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
于是， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
记 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立.
因此， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所汉，实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
04函数与方程的思想
【典例1】在“① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 恰有两个子集，③ SKIPIF 1 < 0 ”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.
已知集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若集合 SKIPIF 1 < 0 满足__________，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)答案见解析
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）选①：若 SKIPIF 1 < 0 ，则关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选②：若A恰有两个子集，则A为单元素集，
所以关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有一个实数解，
讨论：①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，m的集合为 SKIPIF 1 < 0 ；
选③：若 SKIPIF 1 < 0 ，
则关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有解，
等价于当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值域，
而 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2021秋·河南信阳·高二期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)解不等式： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 .(2) SKIPIF 1 < 0 .(1)
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故解集为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为一元二次方程且在 SKIPIF 1 < 0 内有实数解，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，综上， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
第四部分：数学核心素养
01数学抽象
【典例1】若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，要使函数 SKIPIF 1 < 0 有意义，则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【典例2】设 SKIPIF 1 < 0 为定义在整数集上的函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对任意的整数 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不恒成立， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
02逻辑推理
【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意满足 SKIPIF 1 < 0 的正实数a，b，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)答案见解析(2) SKIPIF 1 < 0 (3)1
【详解】（1）求不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
②当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围： SKIPIF 1 < 0 .
（3）由不等式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 的最大值为1.
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，则求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故原问题等价于 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，
故 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故成立；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故不成立；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
综上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
第3章 函数的概念与性质 章节验收测评卷
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 .故选:C.
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是递减函数， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是减函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D.
3．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且在定义域内是增函数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且在定义域内是增函数，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】根据题意，即存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 有解，则函数为“不动点”函数，
对A，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，该方程无解，所以 SKIPIF 1 < 0 不是“不动点”函数，A错误.
对B，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得该方程无解，所以 SKIPIF 1 < 0 不是“不动点”函数，B错误.
对C，令 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 无解，所以 SKIPIF 1 < 0 不是“不动点”函数，C错误.
对D，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为“不动点”函数，D正确.故选：D.
6．若函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数图像的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数图像的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，函数不是单调函数，排除D.故选：A．
二、多选题
7．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．则下列选项成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得：函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
对于A，根据函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，根据函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是连续不断的，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，因 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 的图象连续不断，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
8．设函数 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 中的最小者．下列说法正确的有（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】画 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
对A选项， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故选项A正确；
对B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 可以看做是 SKIPIF 1 < 0 向右平移两个单位，经过平移知 SKIPIF 1 < 0 恒成立, 故选项B正确；
对C选项，由图知, 当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , 可令 SKIPIF 1 < 0 , 由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象知, 当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的上方, 所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , 即 SKIPIF 1 < 0 成立, 故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对D选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项 SKIPIF 1 < 0 错误.
故选: SKIPIF 1 < 0
9.设函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .则下列说法不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
D．若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】因为对正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确，
任取两个实数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（此时已经可以判断C错误） 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 没有意义，不满足要求，（此时已经可以判断D错误），
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，由已知， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 满足条件，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，故选：ACD.
三、填空题
10.已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；则当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11.给出定义：若 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为整数），则 SKIPIF 1 < 0 叫做离实数 SKIPIF 1 < 0 最近的整数，记作 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，又函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即实数k的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：1； SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13.已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，若满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)判断函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，并用定义证明；
(3)求使 SKIPIF 1 < 0 成立的实数t的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增，证明见解析(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明如下：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，任取 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据单调性及定义域可得： SKIPIF 1 < 0 ，
14．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意满足 SKIPIF 1 < 0 的正实数a，b，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)答案见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)1
【详解】（1）求不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
②当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围： SKIPIF 1 < 0 .
（3）由不等式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，综上， SKIPIF 1 < 0 的最大值为1.
15.已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，若满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)判断函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性（不用证明），并求使 SKIPIF 1 < 0 成立的实数t的取值范围；
(3)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)单调递增， SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数为奇函数，满足，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据单调性及定义域可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（3）只要 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
法一： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，只要 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法二： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
第3章 函数的概念与性质 随堂检测
1.函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，观察图象可知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域、值域分别是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由图像可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，为 SKIPIF 1 < 0
值域即为因变量的取值范围，为 SKIPIF 1 < 0 故选：C
2.函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故排除BD,再代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，排除A.故选：C
3.函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
4.若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，则其值域为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 图像可由 SKIPIF 1 < 0 图像向右平移一个单位得到，如图所示:
SKIPIF 1 < 0 ，结合图像可知，函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
5.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
6.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），当x