人教A版高中数学(必修第一册)期末复习 第4章 指数函数与对数函数+提升训练（2份，原卷版+教师版）

这是一份人教A版高中数学(必修第一册)期末复习 第4章 指数函数与对数函数+提升训练（2份，原卷版+教师版），文件包含人教A版高中数学必修第一册期末复习第4章指数函数与对数函数+提升训练教师版doc、人教A版高中数学必修第一册期末复习第4章指数函数与对数函数+提升训练教师版pdf、人教A版高中数学必修第一册期末复习第4章指数函数与对数函数+提升训练原卷版doc、人教A版高中数学必修第一册期末复习第4章指数函数与对数函数+提升训练原卷版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。

二、题型精讲
题型01有关指数、对数的运算
【典例1】计算：
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【典例2】求下列各式的值：
(1)计算： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
题型02数的大小比较问题
【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由对数函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由指数函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由幂函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【典例2】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，综上， SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式1】设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 故选：A.
题型03定义域问题
【典例1】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，成立；当 SKIPIF 1 < 0 时，需满足 SKIPIF 1 < 0 于是 SKIPIF 1 < 0 ．综上所述，m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型04值域问题
【典例1】函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性并予以证明；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)偶函数，证明见解析;(2)1
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，证明如下：
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数.
（2）若存在 SKIPIF 1 < 0 使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1.
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若a＞1，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求a的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则由零点存在定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．因为a＞1，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．当1＜a＜2时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合条件，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合条件，所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为对 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 （实数b为常数）．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域D；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即b的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型05指数（型）函数的图象与性质
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示：

由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试判断函数的单调性，并加以证明；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明如下：
任取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，求m的值；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，不等 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,所以不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】由图象可知，函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，B对；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，C错；
对于D选项，由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，D对.故选：ABD.
【变式2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 时，此时值域也是 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，并求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
则不等式 SKIPIF 1 < 0 ，可化为 SKIPIF 1 < 0 .
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，解不等式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立时，求整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)4
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4.
题型06对数（型）函数的图象与性质
【典例1】设函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数.又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .故选:D.
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由已知可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据对勾函数的单调性可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 单调递增，根据复合函数的单调性可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，根据复合函数的单调性可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以，由 SKIPIF 1 < 0 即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
平方整理可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据基本不等式有 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由已知可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为R上的偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 满足题意，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为方程 SKIPIF 1 < 0 有解，即 SKIPIF 1 < 0 有解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
题型07函数与方程
【典例1】）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ．①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在定理可知，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．作出函数 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：

由图象可知，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个交点；
直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点；直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有且只有一个交点．
综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
【典例2】（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 最大值为1
【答案】AC
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 图象如图所示：
由图可得 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , 故 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 , 可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确
又 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， 又 SKIPIF 1 < 0 ，故等号不成立,即 SKIPIF 1 < 0 ，D错误,故选：AC.
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实数根，如图，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时方程 SKIPIF 1 < 0 有1个解，如图，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有1个解需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（多选）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的单调减区间是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点
【答案】ABD
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确，
对于B, SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 复合而成，由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，开口向上的二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以由复合函数单调性的判断可知 SKIPIF 1 < 0 的单调减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确，对于C，由B可知， SKIPIF 1 < 0 的单调减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，
对于D，由C可知 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ，如图：当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，故D正确，
故选：ABD.
题型08函数模型及其应用
【典例1】某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数 SKIPIF 1 < 0 与天数t之间满足关系式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 是刚发布的时间，则教师用户超过30000名至少经过的天数为（ ）
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以教师用户超过20000名至少经过 SKIPIF 1 < 0 天.故选：C
【变式1】2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为 SKIPIF 1 < 0 ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的 SKIPIF 1 < 0 ，若要使石片的速率低于 SKIPIF 1 < 0 ，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）
（参考数据：取 SKIPIF 1 < 0 ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【详解】设石片第 SKIPIF 1 < 0 次“打水漂”时的速率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故至少需要“打水漂”的次数为10．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随 SKIPIF 1 < 0 变大增长率变小，只有B符合；

法二：对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 是指数函数，增长速度很快，且在 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，代入值偏差较大，不符合要求； 对于B，函数 SKIPIF 1 < 0 ，是对数函数，增长速度缓慢，且在 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，基本符合要求；对于C，函数 SKIPIF 1 < 0 是二次函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，代入值偏差较大，不符合要求，故选：B.
三、数学思想
01数形结合的思想
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰好有4个不同实数根 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 ，且关于 SKIPIF 1 < 0 对称的奇函数，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
结合上述分析知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的大致图像如下：
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰好有4个不同的实数根，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图像有4个交点，
所以必有两对交点分别关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 有 个零点．
【答案】7
【详解】因为定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以4为周期的周期函数，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 交点的个数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象共有7个交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 有7个零点，故答案为：7

02分类讨论的思想
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）是指数函数．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求解不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ;(2)答案见解析
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 )是指数函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 )，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，
则由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，则由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
03换元的思想
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数时，解不等式： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 不恒为0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，
定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个实数根， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个实根，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个实数根，所以
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个实数根，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象有两个交点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
结合函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，恰有两个交点，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．

04转化与化归的思想
1．函数 SKIPIF 1 < 0 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数.
(1)求m的值；
(2)判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性，并用定义证明；
(3)解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明见解析；(3)答案见解析
【详解】（1）解法1：因为 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
解法2：因为 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 .任取 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（3）由（2）得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且为奇函数，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 ，等价于 SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为空集.
第4章 指数函数与对数函数 章末测试
一、单选题
1.函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为1，则实数a的值为（ ）
A．﹣2B．－ SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为1，所以 SKIPIF 1 < 0 .解得 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
2.函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 >0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t= SKIPIF 1 < 0 ，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= SKIPIF 1 < 0 为减函数；x∈(4,+∞)时,t= SKIPIF 1 < 0 为增函数；y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln( SKIPIF 1 < 0 )的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.
3.函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，分别作出函数 SKIPIF 1 < 0 与， SKIPIF 1 < 0 的图象如图：
由图象可知两个函数有2个交点，即函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为2个，故选：D.
4.设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【答案】C
【解析】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，b=lg0.40.3＞，c=lg80.4＜lg81=0，
∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：C．
5.函数 SKIPIF 1 < 0 ，图象恒过定点A，若点A在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得函数的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若点A在一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值是8，故选C．
二、多选题
6.下列说法正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上是减函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有两个零点
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是1
D．在同一坐标系中函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称
【答案】CD
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
7．已知正实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可以为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】BC
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故选：BC.
三、填空题
8.函数 SKIPIF 1 < 0 的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点均是正数，故方程 SKIPIF 1 < 0 的根都是正根，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，需满足 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程为 SKIPIF 1 < 0 ，方程的根 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9.函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题知： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解答题
10.计算下列各式：
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】（1）－1；（2）1..
【解析】（1）原式＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）原式＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
11.设函数 SKIPIF 1 < 0
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值为－2，求实数a的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
① 当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
② 当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍）；
综上：实数a的值为 SKIPIF 1 < 0 .
12.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域；
（Ⅱ）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（Ⅰ）定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到
SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合．
当 SKIPIF 1 < 0 时，上述方程要有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）由于函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而
SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的两个根，则 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
13.函数 SKIPIF 1 < 0 对任意的实数m，n，有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
在 SKIPIF 1 < 0 上任取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数.
（3）原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
第4章 指数函数与对数函数 随堂检测
1.函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 ( )
A．[0，)B．[0，]C．[1，)D．[1，]
【答案】C
【解析】要使函数有意义，需满足 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,则函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故选C.
2.方程 SKIPIF 1 < 0 的解所在的区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 上都是递增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故函数 SKIPIF 1 < 0 最多有一个零点，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据零点存在定理可知， SKIPIF 1 < 0 有一个零点，且该零点处在区间 SKIPIF 1 < 0 内，故选答案C.
3.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故选:C.
4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位： SKIPIF 1 < 0 ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为51200，则当 SKIPIF 1 < 0 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．400B．800C．1600D．3200
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相除，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
5.函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 最小值为0，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以只要满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
函数对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，满足题意；② SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7.计算
(1) SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)2
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =2.
8.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数a的值，并用单调性定义证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
(2)若当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的值．
【答案】(1)a＝1，证明见解析;(2)2
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得a＝1．任取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得m＝2或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以m＝2．
9.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，可得 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
10.已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值，判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性并用定义证明；
(2)求关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，证明如下：
任取 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
（2）解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
SKIPIF 1 < 0
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61