浙教版数学八年级上册 期末预测卷（三）

这是一份浙教版数学八年级上册 期末预测卷（三），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（2016·期中·广东广州市荔湾区）如图，在直角梯形 中，，∠C=90∘，AD=5，，AB=AE，AE⊥AB，连接 DE，则 △ADE 的面积等于
A． 10 B． C． 12 D．
（2019·期末·江苏无锡市惠山区）如图，菱形 的边长为 4，过点 ，C 作对角线 AC 的垂线，分别交 CB 和 AD 的延长线于点 E，F，，则四边形 AECF 的周长为
A．B．18C．14D．11
（2018·期末·天津天津市河东区）如图，已知 中，AB=3，，BC=7，在 △ABC 所在平面内画一条直线，将 △ABC 分割成两个三角形，使其中有一个边长为 的等腰三角形，则这样的直线最多可画
A． 条B． 3 条C． 条D． 5 条
（2020·同步练习）给出四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；
②两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题有
A． 个B． 2 个C． 个D． 4 个
（2020·期中·江苏苏州市吴中区）如图，在 △ABC 中，D 是 上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为点 E，F 是 BC 的中点，若 ，则 EF 的长为
A． B． 16 C． 8 D．
（2018·模拟·江苏徐州市泉山区）如图，在正方形 中，AD=5，点 E，F 是正方形 内的两点，且 AE=FC=3，BE=DF=4，则 EF 的长为
A． B． 232 C． 75 D． 2
（2017·期末·广东深圳市福田区）如图，点 是等腰直角 腰 BC 上的中点，，Bʹ 关于 对称，且 BBʹ 交 AD 于 F，交 于 E，连接 FC，ABʹ，下列说法：
① ∠BAD=30∘；
② ；
③ AF=2BʹC；
④ S△AFE=S△FCE，
正确的个数是
A． B． C． D．
（2020·期中·江苏苏州市吴中区）如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E，F 分别在 ， 上，且 BE=CF，连接 BF，DE 交于点 M，延长 ED 到 H 使 ，连接 AM，AH，则以下四个结论：
① △BDF≌△DCE；
② ∠BMD=120∘；
③ △AMH 是等边三角形；
④ S四边形ABMD=34AM2．
其中正确结论的个数是
A． B． 2 C． 3 D．
（2020·期中·江苏无锡市锡山区）如图，在 △ABC 中，∠A=64∘， 与 ∠ACD 的平分线交于点 ，得 ；∠A1BC 与 的平分线相交于点 A2，得 ；⋯⋯；∠An-1BC 与 ∠An-1CD 的平分线交于点 An，要使 ∠An 的度数为整数，则 n 的最大值为
A． B． 5 C． D． 7
（2017·模拟·江苏苏州市昆山市）如图，在直角 ∠O 的内部有一滑动杆 AB，端点 沿直线 AO 向下滑动时，端点 B 会随之自动地沿直线 OB 向左滑动，如果滑动杆从图中 AB 处滑动到 AʹBʹ 处，那么滑动杆的中点 C 所经过的路径是
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
（2020·同步练习·上海上海市）如图，在菱形 中，对角线 AC 与 相交于点 ，OE⊥AB，垂足为 E．若 ，则 ∠AOE 的大小为
A．75∘B．C．D．50∘
（2019·期末·广东东莞市）如图，已知 △ABC 和 △BDE 都是等边三角形．下列结论，其中正确的有
① AE=CD；② BF=BG；③ BH 平分 ∠AHD；④ ∠AHC=60∘；⑤ 是等边三角形；⑥ ．
A． 3 个B． 个C． 个D． 6 个
（2018·模拟·广东广州市荔湾区）如图，△ABC 中，，BC=10， 平分 ∠BAC 交 于点 ，点 E 为 的中点，连接 DE，则 △CDE 的周长为
A． 16.5 B． 18 C． 23 D． 26
（2019·同步练习）下列句子中，不是命题的是
A．同角的余角相等B．直角都相等
C．把 16 开平方D．玫瑰花是动物
（2020·单元测试·上海上海市）下列判断中错误的是
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
（2019·单元测试）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《 周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是
A．B．
C．D．
（2018·期中·广东佛山市南海区）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A0,2，B0,6，动点 在直线 上．若以 A，，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是
A． 2 B． C． 4 D．
（2019·期末·天津天津市和平区）下列命题中，正确的是
A．若 ac20，则 a>0，b>0
（2017·期中·江苏徐州市沛县）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A． ，，10 B． 6，7， C． ，8， D． ，10，
（2020·期中·江苏无锡市梁溪区）如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知 ∠ABC=60∘，点 B 在 y 轴上，OA=1．将菱形 沿 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60∘，连续翻转 次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，⋯，则 B2020 的坐标为
A． B． 1345.5,32
C． D． 1346.5,32
二、填空题（30分）
（2018·期中·江苏南京市玄武区）若实数 m，n 满足等式 m-2+n-4=0，且 m， 恰好是等腰 △ABC 的两条边的边长，则 的周长是 ．
（2017·模拟·浙江杭州市西湖区）如图，在 中，沿 ∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分 将余下部分沿 ∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称 ∠BAC 是 的好角．
（1）若经过 次折叠 ∠BAC 是 △ABC 的好角，则 ∠B 与 （设 ∠B>∠C）之间的等量关系为 ．
（）若一个三角形的最小角是 4∘，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数 ．（写出一种即可）
（2019·期中·浙江温州市）平行四边形 ABCD 中，对角线 ， 相交于点 O，BD=2AD，E，，G 分别是 OC，， 的中点．下列结论：
① EG=EF；
② ；
③ FB 平分 ∠EFG；
④ EA 平分 ∠GEF；
⑤四边形 是菱形．
其中正确的是 ．
（2018·期中·浙江杭州市） Rt△ABC 中，斜边 ，则 AB2+BC2+CA2 的值为 ．
（2018·期末·广东深圳市罗湖区）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，BC=2+1，点 M，N 分别是边 ， 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠 ∠B，使点 B 的对应点 始终落在边 AC 上，若 为直角三角形，则 BM 的长为 ．
（2020·单元测试·上海上海市闵行区） Rt△ABC 中，∠C=90∘，两条边的长度为 6 和 8，G 是重心，那么 CG= ．
三、解答题（40分）
（2017·期末·江苏无锡市）如图，在平面直角坐标系中，已知 A2,0，以 为一边在第四象限内画正方形 ，Dm,0 为 x 轴上的一个动点 m>2，以 为一直角边在第四象限内画等腰直角 △BDE，其中 ∠DBE=90∘．
（2018·期末·广东佛山市禅城区）在 中，AB，BC， 三边的长分别为 5，10，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点 △ABC（的三个顶点都在正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（2021·专项）如图 ，点 O 是正方形 两对角线的交点，分别延长 到点 G，OC 到点 ，使 OG=2OD，OE=2OC，然后以 OG，OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE．
（2020·专项）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工 天完成该项工程的 13，这时乙队加入，两队还需同时施工 15 天才能完成该项工程．
答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】过 作 于 N，过 E 作 EM⊥AD，交 延长线于 ，
∵AD∥BC，∠C=90∘，
，
∴ 四边形 ANCD 是矩形，
，AD=NC=5，AN=CD，
，
∵∠M=∠EAB=∠MAN=∠ANB=90∘，
，∠MAB+∠NAB=90∘，
∴∠EAM=∠NAB，
在 △EAM 和 △BAN 中，
∠M=∠ANB,∠EAM=∠BAN,AE=AB.
∴△EAM≌△BANAAS，
∴EM=BN=4，
∴△ADE 的面积 =12×AD×EM=12×5×4=10．
【知识点】直角梯形、角角边、矩形的判定
2. 【答案】A
【解析】易得 ∠BAE=∠E，
BE=AB=4，
∴ EC=BE+BC=4+4=8．
四边形 AECF 的周长 ．
【知识点】等腰三角形的判定、平行四边形的判定、菱形的性质
3. 【答案】C
【解析】如图所示，
当 AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3， 时，都能得到符合题意的等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定
4. 【答案】B
【知识点】命题的真假
5. 【答案】C
【解析】 ∵ 在 △ACD 中，，AE⊥CD，
∴E 为 CD 的中点，
又 ∵F 是 CB 的中点，
∴EF 为 的中位线，
，，
∵BD=16，
∴EF=8．
故选：C．
【知识点】等腰三角形的性质、三角形的中位线
6. 【答案】D
【解析】延长 AE 交 DF 于 ，如图：
，AE=3，BE=4，
∴ △ABE 是直角三角形，
∴ 同理可得 △DFC 是直角三角形，
△ABE≌△CDF，
∴ ∠BAE=∠DCF，
∵ ∠FCD+∠CDF=90∘，
∠BAE+∠CDF=90∘，
∵ ∠BAD=∠ADC=90∘，
∠DAG+∠ADG=90∘，
可得 △AGD 是直角三角形，
∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∠GAD=∠EBA，
同理可得：，
在 和 △BAE 中，
∠EAB=∠GDA,AD=AB,∠ABE=∠DAG,
△AGD≌△BAEASA，
∴ AG=BE=4，DG=AE=3，
∴ EG=4-3=1，
同理可得：GF=1，
EF=12+12=2，故选：D．
【知识点】正方形的性质、勾股逆定理
7. 【答案】B
【解析】 点 D 是等腰直角 △ABC 腰 上的中点，
∴BD=12BC=12AB，
，
∴∠BAD≠30∘，故①错误；
如图，连接 BʹD，
∵B， 关于 AD 对称，
∴AD 垂直平分 BBʹ，
∴∠AFB=90∘，，
又 ∵D 是 的中点，
∴BD=CD，
∴∠DBBʹ=∠BBʹD，∠DCBʹ=∠DBʹC，
∴∠BBʹC=∠BBʹD+∠DBʹC=90∘，
，
又 ∵∠BAF+∠ABF=90∘=∠CBBʹ+∠ABF，
∴∠BAF=∠CBBʹ，
∴△ABF≌△BCBʹ，
∴BF=CBʹ=BʹF，
是等腰直角三角形，
∴∠CFBʹ=45∘，即 ∠BFC=135∘，故②正确；
由 △ABF≌△BCBʹ，可得 ，故③正确；
∵AF>BF=BʹC，
与 不全等，
∴AE≠CE，
∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；
【知识点】正切、等腰三角形的性质、等腰直角三角形
8. 【答案】D
【解析】在菱形 ABCD 中，
∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
是等边三角形，
∴ 根据菱形的性质可得 ∠BDF=∠C=60∘，
∵BE=CF，
∴BC-BE=CD-CF，
即 ，
在 △BDF 和 中，
CE=DF,∠BDF=∠C=60∘,BD=CD,
∴△BDF≌△DCESAS，故①小题正确；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60∘，
∴∠BMD=180∘-∠DMF=180∘-60∘=120∘，故②正确；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60∘，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60∘，
∴∠DEB=∠ABM，
又 ∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在 和 中，
AB=AD,∠ADH=∠ABM,DH=BM,
∴△ABM≌△ADHSAS，
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60∘，
∴△AMH 是等边三角形，故③小题正确；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积，
又 的面积 =12AM⋅32AM=34AM2，
∴S四边形ABMD=34AM2，故④小题正确．
综上所述，正确的是①②③④共 个．
【知识点】全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定、菱形的性质
9. 【答案】C
【解析】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
的平分线与 的平分线交于点 A1，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=12∠A+∠ABC=12∠A+∠A1BC，
， 分别平分 ∠ABC 和 ，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而 ∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，
∴∠A1=12∠A，
同理可得 ∠A1=2∠A2，
∴∠A2=14∠A，
∴∠A=2n∠An，
，
的度数为整数，
∴n=6．
【知识点】三角形的外角及外角性质、角平分线的定义
10. 【答案】B
【解析】连接 OC，OCʹ，如图，
∵∠AOB=90∘， 为 AB 中点，
∴OC=12AB=12AʹBʹ=OCʹ，
当端点 A 沿直线 向下滑动时，AB 的中点 到 O 的距离始终为定长，
滑动杆的中点 C 所经过的路径是一段圆弧．
【知识点】直角三角形斜边的中线
11. 【答案】B
【解析】菱形的邻角互补，菱形的对角线平分一组对角．
，
∴∠DAB=50∘，
∴∠OAE=25∘，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=65∘．
【知识点】菱形、三角形的外角及外角性质
12. 【答案】D
【解析】 ∵△ABC 与 为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，，
∴∠ABE=∠CBD，
即 AB=BC，BD=BE，，
∴△ABE≌△CBDSAS，
∴S△ABE=S△CBD，，∠BDC=∠AEB，
又 ∵∠DBG=∠FBE=60∘，
，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60∘，
过 B 作 BM⊥AE 于 M， 于 N，
∵S△ABE=S△CBD，，
∴12×AE×BM=12×CD×BN，
∴BM=BN，
∴BH 平分 ∠AHD，
①②③正确；
∵△ABE≌△CBD，
，
∵∠CBA=60∘，
∴∠AHC=∠CDB+∠EAB=∠CDB+∠BCD=∠CBA=60∘，
④正确；
∵BF=BG，∠FBG=60∘，
∴△BFG 是等边三角形，
⑤正确；
∴∠GFB=∠CBA=60∘，
∴FG∥AD，
⑥正确；
故选：D．
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定、角平分线的判定
13. 【答案】B
【解析】 ∵AB=AC=13， 平分 ∠BAC，
∴D 为 BC 中点．
又 为 AD 中点，
∴DE=12AB=132，CE=12AC=132，CD=5，
∴△CDE周长=132+132+5=18．
【知识点】等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线
14. 【答案】C
【知识点】命题的概念
15. 【答案】B
【知识点】全等三角形的性质与判定
16. 【答案】B
【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【知识点】勾股定理
17. 【答案】B
【解析】如图，AB 的垂直平分线与直线 相交于点 C1．
，B0,6，
∴AB=6-2=4，
以点 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 的交点为 C2，C3，
，
点 B 到直线 y=x 的距离为 6×22=32，
∵32>4，
以点 为圆心，以 的长为半径画弧，与直线 y=x 没有交点，
∴ 点 C 的个数是 1+2=3．
【知识点】正比例函数的性质、等腰三角形的概念
18. 【答案】A
【知识点】不等式的性质
19. 【答案】A
【解析】A、因为 62+82=102，所以该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项正确；
B、因为 ，所以该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项错误；
C、因为 62+82≠122，所以该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项错误；
D、因为 62+102≠142，所以该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项错误．
故选：A．
【知识点】勾股逆定理
20. 【答案】C
【解析】连接 ，如图所示．
∵ 四边形 是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
，
∴△ABC 是等边三角形．
∴AC=AB=OA=1，
画出第 次、第 次、第 7 次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转 次，图形向右平移 4．
∵2020=336×6+4，
∴ 点 向右平移 1344（即 ）到点 B2020．
∵B4 的坐标为 2,0，
的坐标为 2+1344,0，
的坐标为 ．
【知识点】坐标平面内图形的旋转变换
二、填空题
21. 【答案】 ；
【解析】由题可知，m-2≥0,n-4≥0，
又：m-2+n-4=0，
∴m-2=0，n-4=0，
解得 ，n=4．
因为 △ABC 是等腰三角形，所以分两种情况讨论：
①当以 为腰时， 的边长分别是 2，2， ,
因为 2+2=4，所以此时不满足三角形三边关系；
②当以 为腰时， 的边长分别是 2，4， ,
此时满足三角形三边关系，则 C△ABC=4+4+2=10．
【知识点】等腰三角形的概念
22. 【答案】 ∠B=n∠C
； ，172；8，168；，160；44，；88°，88°
；
【解析】（）；如图所示，
在 △ABC 中，沿 ∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿 ∠B2A2C 的平分线 折叠，点 B2 与点 重合，则 ∠BAC 是 的好角．
证明如下：
∵ 根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，，
∴ 根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180∘，
根据三角形 ABC 的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180∘，
；
由小丽展示的情形一知，当 ∠B=∠C 时，∠BAC 是 的好角；
由小丽展示的情形二知，当 ∠B=2∠C 时，∠BAC 是 的好角；
由小丽展示的情形三知，当 ∠B=3∠C 时，∠BAC 是 的好角；
故若经过 n 次折叠 ∠BAC 是 △ABC 的好角，则 ∠B 与 （不妨设 ∠B>∠C）之间的等量关系为 ∠B=n∠C；
故答案为：．
（）由（）知设 ∠A=4∘，
∵∠C 是好角，
∴∠B=4n∘；
是好角，
，其中 ，n 为正整数得 4+4n+4mn=180，
∴ 如果一个三角形的最小角是 4∘，三角形另外两个角的度数是 ，172；，168；，160；，132；88∘，88∘．
故答案为：4，172；，；，160；44，；88∘，88∘．
【知识点】三角形的外角及外角性质
23. 【答案】①②④；
【解析】令 GF 和 的交点为点 P，如图．
∵E， 分别是 OC，OD 的中点，
∴EF∥CD 且 ，
四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD 且 AB=CD．
∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等）．
点 为 AB 的中点，
．
在 △EFG 和 △GBE 中，
BG=FE,∠FEG=∠BGE,GE=EG,
∴△EFG≌△GBESAS，即②成立；
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行）．
∵BD=2BC，点 为平行四边形对角线交点，
．
∵E 为 OC 中点，
．
．
∴∠APG=∠EPG=90∘．
∵GP∥BE， 为 AB 中点，
∴P 为 AE 中点，即 ，且 GP=12BE．
在 △APG 和 △EGP 中，
AP=EP,∠APG=∠EPG,GP=GP,
∴△APG≌△EPGSAS．
∴AG=EG=12AB．
∴EG=EF，即①成立；
∵EF∥BG，GF∥BE，
四边形 为平行四边形．
∴GF=BE．
∵GP=12BE=12GF，
∴GP=FP．
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90∘．
在 △GPE 和 中，
GP=FP,∠GPE=∠FPE,EP=EP,
∴△GPE≌△FPESAS．
∴∠GEP=∠FEP，
平分 ∠GEF，即④成立．
【知识点】平行四边形及其性质、边角边、三角形的中位线
24. 【答案】 18 ；
【解析】 ∵Rt△ABC 中， 为斜边，BC=3，
∴AB2+AC2=BC2=9，
．
【知识点】勾股定理
25. 【答案】 122+12 或
；
【解析】①如图 1，
当 ∠BʹMC=90∘， 与 A 重合， 是 BC 的中点，
∴BM=12BC=122+12．
②如图 ，当 ，
，AB=AC，
∴∠C=45∘，
∴△CMBʹ 是等腰直角三角形，
∴CM=2MBʹ，
∵ 沿 MN 所在的直线折叠 ∠B，使点 B 的对应点 ，
，
∴CM=2BM，
∵BC=2+1，
∴CM+BM=2BM+BM=2+1，
．
综上所述，若 为直角三角形，则 BM 的长为 122+12 或 1．
【知识点】30度所对的直角边等于斜边的一半、图形成轴对称、勾股定理
26. 【答案】 ；
【知识点】勾股定理、三角形的重心
三、解答题
27. 【答案】
(1) AE=CD．
理由：
由正方形 OABC，可得 BC=BA，，
由等腰直角三角形 ，可得 BD=BE，∠DBE=90∘，
∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD，即 ∠CBD=∠ABE，
∴△CBD≌△ABE，
∴CD=AE．
(2) 点 G 的位置不会发生变化．
理由：如图，过点 作 ，分别交直线 AB，AF 于点 P，Q，
，
∴∠ADB+∠ABD=∠PBE+∠ABD=90∘，
∴∠ADB=∠PBE，
又 ∵DB=BE，
∴△ADB≌△PBE，
∴AD=PB，AB=PE，
∵F 是 的中点，
∴DF=EF，
∵AD∥EQ，
∴∠DAF=∠Q，
又 ，
，
∴AD=QE，
∴AB+BP=PE+EQ，即 AP=QP，
∴∠AQP=45∘，
又 ∵PQ∥OD，
∴∠OAG=∠Q=45∘，
∴△AOG 是等腰直角三角形，
∴GO=AO=2，
∴G0,2，即点 的位置不会发生变化．
【知识点】等腰直角三角形的判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角角边
28. 【答案】
(1)
(2) ①如图所示：△DEF 不是直角三角形，
理由：
，EF=13，DF=17，
∴DE2+EF2≠DF2
不是直角三角形，
② △DEF的面积=3×4-12×1×4-12×2×2-12×2×3=5．
【解析】
(1) S△ABC=3×3-12×1×2-12×2×3-12×1×3=72．
【知识点】三角形的面积、勾股逆定理、勾股定理
29. 【答案】
(1) 如图 ，延长 ED 交 AG 于点 H，
点 是正方形 ABCD 两对角线的交点，
OA=OD，，
OG=OE，
在 和 △DOE 中，

∴ △AOG≌△DOESAS，
∴ ∠AGO=∠DEO，
∵ ，
∴ ∠GAO+∠DEO=90∘，
∠AHE=90∘，
即 DE⊥AG．
(2) i 在旋转过程中，∠OAGʹ 成为直角有两种情况：
a．α 由 增大到 90∘ 过程中，当 ∠OAG=90∘ 时，
∵ ，
在 中，sin∠AGʹO=OAOGʹ=12，
∠AGʹO=30∘，
∵ ，OA⊥AGʹ，
∴ OD∥AGʹ，
，
即 α=30∘;
b．α 由 增大到 180∘ 过程中，当 ∠OAGʹ=90∘ 时，
同理可求 ∠BOGʹ=30∘，
α=180∘-30∘=150∘，
综上所述，当 ∠OAGʹ=90∘ 时，α=30∘ 或 150∘．
ii 如图 ③，当旋转到 ，，Fʹ 在一条直线上时，AFʹ 的长最大．
∵ 正方形 ABCD 的边长为 ，
OA=OD=OC=0B=22，
∵ ，
∴ OGʹ=OG=2，
，
∴ AFʹ=AO+OF'=22+2，
∵ ∠COEʹ=45∘，
此时 α=315∘．
【知识点】旋转及其性质、边角边
30. 【答案】
(1) 设乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程．
∵ 甲队单独施工 天完成该项工程的 13，
∴ 甲队单独施工 天完成该项工程．
根据题意，得13+15190+1x=1,解得经检验，x=30 是所列方程的解．
∴ 乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程．
(2) 设乙队参与施工 y 天才能完成该项工程．
根据题意，得解得y≥18.∴ 乙队至少施工 天才能完成该项工程．
【知识点】一元一次不等式的应用、分式方程的应用
(1) 试判断线段 ， 的数量关系，并说明理由；
(2) 设 DE 的中点为 F，直线 AF 交 y 轴于点 G．问：随着点 D 的运动，点 G 的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点 G 的坐标；若发生变化，请说明理由．
(1) 请你将 △ABC 的面积直接填写在横线上．
(2) 已知 △DEF，，EF，DF 三边的长分别为 ，，17，
① △DEF 是否为直角形，并说明理由．
②求这个三角形的面积．
(1) 求证：DE⊥AG；
(2) 正方形 固定，将正方形 OEFG 绕点 逆时针旋转 角 得到正方形 OEʹF'G，如图 ②．
i 在旋转过程中，当 ∠OAGʹ 是直角时，求 的度数；
ii 若正方形 ABCD 的边长为 ，在旋转过程中，求 AFʹ 长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果不必说明理由．
(1) 若乙队单独施工，则需要多少天才能完成该项工程？
(2) 若甲队参与该项工程施工的时间不超过 36 天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？