备战2025年高考数学二轮复习课件专题4立体几何专题突破练15空间角、空间距离

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1.(15分)(2024河北沧州模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°,E是PB的中点.(1)求异面直线DE与PA所成的角的余弦值;(2)证明:OE∥平面PAD,并求点E到平面PAD的距离.
(1)解 在菱形ABCD中,AC⊥BD,因为∠DAB=60°,所以BD=2OB=2,因为PO⊥平面ABCD,AC,BD⊂平面ABCD,所以PB与底面ABCD所成的角为∠PBO=60°,PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO=OB·tan 60°= ,PO,OB,OC两两垂直.
以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
(2)证明 连接OE.因为点E,O分别是PB,BD的中点,所以OE∥PD.又OE⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以OE∥平面PAD.
2.(15分)(2024山东潍坊一模)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=4 , DD1⊥DC,M为BC的中点.(1)求证:平面CDD1C1⊥平面D1DM;(2)若D1D=4,求直线DM与平面BCC1B1所成的角的正弦值.
(1)证明 在▱ABCD中,由∠ABC=120°,得∠DCM=60°.
所以DM⊥CD.又CD⊥DD1,DD1∩DM=D,DD1,DM⊂平面D1DM,所以CD⊥平面D1DM.又CD⊂平面CDD1C1,所以平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)解 在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4,过点A1作A1E∥D1D,交AD于点E,则AE=4,A1E=4.又AA1=4 ,所以AE2+A1E2= ,所以A1E⊥AD,所以D1D⊥AD.又D1D⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以D1D⊥平面ABCD.以点D为坐标原点,分别以DM,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,4),M(2 ,0,0),所以
3.(15分)(2024湖北襄阳模拟)如图,在四棱锥A-BCDE中,侧棱AB⊥平面BCDE,底面四边形BCDE是矩形,AB=BE=4,点P,M分别为棱AE,AC的中点,点F在棱BE上(不与点B,E重合).
(1)证明 如图所示,取AP的中点N,连接BN,MN.因为M,N分别为AC,AP的中点,所以MN∥PC.又因为MN∩BN=N,MN,BN⊂平面BMN,PC∩PF=P,PC,PF⊂平面PCF,所以平面BMN∥平面PCF.又BM⊂平面BMN,所以BM∥平面PCF.
(2)解 若条件①为已知:因为BC∥DE,BC⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE.又由BC⊂平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直线l与直线
若条件②为已知:以点B为坐标原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
4.(15分)(2024山东青岛一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与BB1的距离为 ,AB=AC=A1B=2,A1C=BC=2 .(1)证明:平面A1ABB1⊥平面ABC;(2)若点N在棱A1C1上,求直线AN与平面A1B1C所成的角的正弦值的最大值.
(1)证明 如图,取棱A1A中点D,连接BD.因为AB=A1B,所以BD⊥AA1.又AA1∥BB1,B∈BB1,D∈AA1,所以BD= .因为AB=2,所以AD=1,所以AA1=2.因为AC=2,A1C=2 ,所以AC2+ =A1C2,所以AC⊥AA1.同理,AC⊥AB.又AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面A1ABB1,所以AC⊥平面A1ABB1.又AC⊂平面ABC,所以平面A1ABB1⊥平面ABC.
(2)解 取AB中点O,连接A1O,则A1O⊥AB.取BC中点P,连接OP,则OP∥AC.由(1)知AC⊥平面A1ABB1,所以OP⊥平面A1ABB1.又A1O,AB⊂平面A1ABB1,所以OP⊥A1O,OP⊥AB.以点O为坐标原点,OP,OB,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
5.(15分)(2024福建三明模拟)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1和正四棱台ABCD-A2B2C2D2中,A2B2=2AB=4,AA2=(1)求证:CA2∥平面ABC1D1;(2)若点M在线段BB1上,直线A2M与平面A2B2C2D2所成的角的正切值为求二面角M-B2C2-B的余弦值.
(1)证明 连接B2D2,延长B1B,由题可知B1B的延长线与B2D2相交,记交点为点H.
在正四棱台ABCD-A2B2C2D2中,因为A2B2=2AB=4,以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),A2(3,-1,-3),
(1)①证明 由椭圆定义可知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△ABF2的周长为4a=8,所以a=2.
因为二面角A-F1F2-B为直二面角,所以平面A'F1F2⊥平面F1F2B',平面A'F1F2∩平面F1F2B'=F1F2,A'O⊂平面A'F1F2,所以A'O⊥平面F1F2B'.又B'F2⊂平面F1F2B',所以A'O⊥B'F2.
②解 以点O为坐标原点,折叠后的y轴负半轴所在直线为x轴、x轴为y轴、y轴正半轴所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.