1.3乘法公式课时3-完全平方公式（课件）2024—2025学年北师大版（2024）数学七年级上册

第一章 整式的乘除课时3 完全平方公式1.3 乘法公式1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 .(a+b)(m+n)=am1234+an+bm+bn思考 计算下列各式:(1) (m+3)2； (2) (2+3x)2.知识点 完全平方公式解：(1) (m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+6m+9；(2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=4+6x+6x+9x2=4+12x+9x2.对比结果和原式你有什么发现?知识点 完全平方公式(m+3)2=m2+6m+9；(2+3x)2=4+12x+9x2.两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍.你能再举一些类似的例子吗？例如：知识点 完全平方公式(x-2)2=(x-2)(x-2)=x2-2x-2x+4=x2-4x+4.(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2；完全平方公式：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的2倍. (a+b) ²=a²+2ab+b²知识点 完全平方公式你能用下图解释上面的公式吗?知识点 完全平方公式aabb知识点 完全平方公式直接求：总面积=(a+b)2 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2(a+b)2 =a2+2ab+b2aabba²b²abab知识点 完全平方公式从运算的角度验证： (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)2 = (a+b)(a+b) 幂的意义 = a2+ab+ab+b2 多项式乘法法则 = a2+2ab+b2 所以 (a+b)2 = a2+2·a·b+b2知识点 完全平方公式思考 (a-b)2 等于什么呢？ (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 所以 ：(a-b)2 = a2-2·a·b+b2知识点 完全平方公式完全平方公式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的2倍. (a-b) ²=a²-2ab+ b² 你能设计一个图形解释这一公式吗？知识点 完全平方公式aabb(a-b)²b²b(a-b)b(a-b)(a-b)2 = a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+b2完全平方公式知识点 完全平方公式（a+b)2= .a2+2ab+b2（a-b)2= .a2-2ab+b2 简记为：“首平方，尾平方， 积的2倍放中间”公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟?图形可以直观解释乘法公式的合理性，有助于理解乘法公式的结构特征，而乘法公式又是对图形的抽象.知识点 完全平方公式例1 运用完全平方公式计算：知识点 完全平方公式(1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 .解:(1) (2x-3)2== 4x2(2x)2-2•(2x) •3+32-12x+9(a-b)2 = a2 - 2ab + b2知识点 完全平方公式解：(2)(4x+5y)2 = 16x2 +40xy+ 25y2 ；例1 运用完全平方公式计算：(1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 .(a+b)2= (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2 知识点 完全平方公式 解：(3) (mn-a)2例1 运用完全平方公式计算：(1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 .(a - b)2= (mn)2-2·mn·a+a2 = m2n2-2amn+a2.例2 运用完全平方公式计算： (1) (-1-2x)2 ； (2) (-2x+1)2 . 知识点 完全平方公式解：(1)方法一 (-1-2x)2=(-1)2-2·(-1)·2x+(2x)2=1+4x+4x2；=[(-1)+(-2x)]2=(-1)2+2·(-1)·(-2x)+(-2x)2=1+4x+4x2；=[-(1+2x)]2=(1+2x)2=1+4x+4x2.方法二(-1-2x)2方法三(-1-2x)2(2) 方法一 (-2x+1)2=(-2x)2 +2·(-2x)·1+12=4x2-4x+1；方法二(-2x+1)2=(2x-1)2=4x2-4x+1.1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）(x+y)2=x2 +y2（2）(x -y)2 =x2 -y2（3）(x+2y)2 =x2 +2xy +4y2 x2+2xy +y2 x2-2xy +y2 x2+4xy +4y2（4） (3x-y)2 =3x2 -6xy +y2 9x2-6xy +y2  3.已知a+b=-3，求2a2+4ab+2b2的值.解:方法一 因为a+b=-3，所以2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b) 2=2×(-3)2=18.方法二 因为a+b=-3，(a+b) 2=a2+2ab+b2，所以a2+2ab+b2=(-3) 2=9，所以2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2×9=18.4.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解：36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，所以m＋1＝±60，所以m＝59或-61.完全平方公式结果是三项，不要漏掉中间项(a±b)2=a2±2ab+b2两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍符号表示注意内容中间项的符号要正确图形变形前后阴影部分面积相等几何解释