安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第四次素质拓展数学试卷（Word版附解析）

合肥一中高三上学期数学素质拓展4命题、审题人：刘斌 陈银科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为，所以，，，因为，所以，故选：B2. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】根据函数过排除A;根据过排除B、D故选C．3. 已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（　　）A. 等边三角形 B. 锐角三角形C. 直角三角形 D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由数量积的运算律化简后得出正确选项【详解】由题意得，故∴，△ABC是直角三角形故选：C4. 已知直线与曲线切于点，则b的值为（ ）A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A【解析】【分析】因为是直线与曲线的交点,所以把代入直线方程即可求出斜率k的值,然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标代入导函数中得到切线的斜率,让斜率等于k列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切点坐标和a的值代入曲线方程,即可求出b的值.【详解】把代入直线中,得到,求导得：,所以,解得,把及代入曲线方程得：,则b的值为3.故选：A.【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题.5. 下列叙述中正确的个数是：（ ）①若，，为平面向量，则；②向量与垂直；③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是④.记，则向量在向量上的投影向量为A 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】对①，举反例说明；对②，由两向量垂直的向量关系运算验证；对③，由向量夹角是钝角，则向量数量积小于0，并挖去共线情况；对④，由投影向量的定义运算判断.【详解】对于①，如，，，所以，，所以，而，所以，故①错误；对于②，因为，故②正确；对于③，由题意，，且与不共线，即，解得且，故③错误；对于④，由，即，所以向量在向量上的投影向量为，故④正确.综上，正确的为②④.故选：C.6. 若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】通过两个一元二次不等式解集的关系，结合充分、必要条件判断即可.【详解】若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，若，则，反之，若，则，例如，不等式的解集与不等式即的解集不一样，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．8. 定义域在R上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得，由指数函数的性质可得在上为减函数，利用函数奇偶性转化不等式，结合函数单调性可解决问题.【详解】∵是定义域在R上的奇函数，∴，解得，检验得时，是奇函数，∴，由指数函数的性质可得在R上为减函数.由得，∴，即存在，使得，记，，则，，∵，∴，∴，∴，∴，即实数k的取值范围为.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.9. 已知 ，则下列不等式一定成立的有（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】选项A，由不等式的性质可得；选项B，利用基本不等式可证明；选项CD，举反例可知.【详解】由，得，则，故A正确；选项B，因为，由基本不等式可得，由，等号取不到，则，故B正确；选项C，当时，则，此时，故C错误；选项D，当时，，此时，故D错误.故选：AB.10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数f(x)的图象关于 对称C. 函数f(x)的图象关于 对称D. 函数f(x)在 上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据图像求出，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由图可知：,且,故，，故，，，故A正确；当时，，故B错误；当时，，故C正确；当时，，故D正确.故选：ACD11 已知实数，满足，则（ ）A. 当时， B. 当时，C. 当时， D. 当时，【答案】ACD【解析】【分析】A选项，，所以，变形为，令，，故，根据函数单调性得到；B选项，时，，变形得到，构造，，则，求导得到的单调性，不单调，故不一定等于，即不一定成立；CD选项，由AB选项知，时，，，令，则有，不妨设，故，先证明出，从而得到，，故，，CD正确.【详解】A选项，由得，因为，所以，两边取对数得，，故，令，，故，由于在0,+∞上单调递增，故，故，A正确；B选项，时，，故，故，令，，则，其中，当时，，当时，，故在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，因为不单调，故不一定等于，即不一定成立，B错误；CD选项，由AB选项知，时，，，令，则有，不妨设，故，下面证明，先证不等式右边，，令，即证，令，，则，故在上单调递减，又，故，所以，即，，故，C正确；再证不等式左边，，即证，令，即证，令，，则，故在1,+∞上单调递减，又，故，故，即，所以，故，所以，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12. 已知是三角形的内角，若，则________．【答案】【解析】【分析】分析可知，，利用二倍角的正弦和余弦公式化简可得出的值.【详解】因为是三角形的内角，则，且，即，所以，，可得，故.故答案为：.13. 已知函数在处有极小值，则实数______．【答案】【解析】【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极小值，可知，解得的值，再验证即可求出的值．【详解】因为，所以，所以，而函数在处有极小值，所以，故，解得或，当时，，令f′x0，，故此时在上单调递增，在上单调递减，此时在处有极大值，不符合题意，排除，当时，，令f′x0，，故此时上单调递增，在上单调递减，此时在处有极小值，符合题意，故答案为：.14. 圆与圆半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆上的动点，，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由题意，建立坐标系，利用向量运算，可得答案.【详解】如图建系，圆，圆  设，则，.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求函数的最小值，及取最小值时的x的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.【答案】（1）当，时， （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式可得的解析式，根据正弦型函数的性质可求最小值.（2）根据图象变换，求出函数的解析式，分析角的范围，结合同角三角函数的基本关系求解即可.【小问1详解】由题意得，令得，，.【小问2详解】由将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位，得到，则，，∵，∴，由得，∴，∴.16. 在平面四边形中，.（1）求的长；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）弦有三角形为锐角三角形求出角的范围，在中，利用正弦定理将用角表示出来，再结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】在中，，由余弦定理可得，即，解得或；【小问2详解】因为，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，在中，因为，所以，由，得，所以，所以.17 已知函数（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号，即可确定对应单调性；（2）由（1）知，应用分析法，将问题转化为证明在上恒成立，构造函数并研究恒成立.【小问1详解】由且，当，即，则，此时在上递减；当，即，则上，上，此时在上递增，上递减；综上，时在上递减；时在上递增，在上递减；【小问2详解】由（1）知：时，要证，即证，只需证在上恒成立，令且，则，当时，递减；当时，递增；所以，即在上恒成立，故时，得证.18. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.（1）问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值.（2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求.（3）求面积的最大值.【答案】（1）时，四边形的面积取得最大值为 （2） （3）【解析】【分析】（1）由余弦定理得，四边形的面积为与的面积和，表示面积即可得到结果.（2）由定理得，取等号时，由余弦定理求出，即可得到.（3）由正弦定理结合辅助角公式可求得的面积最大值.【小问1详解】在中由余弦定理得，所以，，于是四边形的面积为，当，即时，四边形的面积取得最大值为.【小问2详解】因为，且为等边三角形，，，所以，所以，即的最大值为，取等号时，所以，不妨设，则，解得，所以，所以.【小问3详解】设，（，所以为锐角），在中，由正弦定理得，，，当，即时，的面积取得最大值为.19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.（1）求曲线在处的切线斜率；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：（3）（i）证明：当时，；（ii）证明：.【答案】（1） （2） （3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）分析题意，利用导数的几何意义进行计算即可.（2）分类讨论不同种情况，结合导数判断并取舍即可.（3）利用给定定义将目标式子左面合理放缩，结合裂项相消法求和即可.【小问1详解】，则所以，可得在处的切线斜率为【小问2详解】令，则，下面证明：对任意恒成立,先证明：对任意.证明如下：设，则，当时，，函数单调递减，当x∈1,+∞时，，函数单调递增，故，故，继续证明：对任意.证明如下：令，则，因此在0,+∞上单调递增；所以，故当时，对，都有，函数在0,+∞上单调递增，则，解得；当时，对，都有，对，都有，函数Fx在上单调递减，在上单调递增，则对，都有成立，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.【小问3详解】（i），令，则所以Fx在0,+∞上单调递增，所以所以当时，成立；（ii）下面证明：当时，成立，令，则由前问解答过程，对任意成立，所以所以在0,+∞上单调递增，所以所以当时，成立令且，可得，即，由题意，令且，可得，因为所以，由①当时，，所以令且，可得所以，由前面解答过程得，对任意成立，令且，可得，所以，又且，所以，所以所以可得，即可得.【点睛】关键点点睛：本题考查数列与导数新定义结合，解题关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可．