2024-2025学年上学期人教版九年级数学期末考试模拟试题（二）（解析版）-A4

这是一份2024-2025学年上学期人教版九年级数学期末考试模拟试题（二）（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了 抛物线的对称轴是， 点关于原点对称的点B的坐标是， 活动课上进行盲盒摸球等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D．
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题．
【详解】解：在一元二次方程中，
∵，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴是直线，
故选：C．
4. 如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
由圆周角定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
5. 点关于原点对称的点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称，熟练其规律是解决本题的关键．关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可．
【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标是．
故选A．
6. 活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样） 活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据求概率，根据概概率等于所求情况数与总情况数之比，即可解答．
【详解】解：一共有（个），
红球有2个，
∴摸到红球的概率，
故选：B．
7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系．首先根据这是一个一元二次方程，可得二次项系数不为，所以有，再根据方程有两个实根可得，解不等式组即可求出的取值范围．
【详解】解：一元二次方程中，
、、
，
方程有两个实数根，
，
解得：且，
故选：D．
8. 已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征， 根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小．
【详解】解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线，
点、、在函数图象上，
且
∴．
故选：B．
9. 如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可得，设圆的半径为，则有，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，设点为拱桥的圆心，则垂直平分，

∵，，，
∴，
设圆的半径为，
则，
∴，
∴，
∴圆的半径长为，
故选：B．
10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
11. 如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
【详解】解：在正方形中，，，
，，，
，
，
故选：D．
12. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为0,4，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．先求得旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同，如图，旋转第二次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，据此求解，即可得到的坐标．
【详解】解：∵，
∴旋转周期为6个，
，
∴旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同，
如图，旋转第二次得到菱形，
过作轴于，连接交于，
四边形是菱形，
，，，
的坐标是0,4，
，
，
，
，
，
，
，
，
的坐标是．
点的坐标是．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且，
故答案为：且．
14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．则飞机着陆后滑行______才能停下来．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，有最大值为，
∴飞机着陆后滑行才能停下来，
故答案为：．
15. 如图，，是的切线，若，，_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案：．
16. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹．延长至点F，使，证明，得到点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时线段的最小，再根据三角形的性质求解即可得到答案．
【详解】解：如下图所示，延长至点F，使，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，
当时线段的最小，
∵，，，
∴
∴,
∵，
∴,
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9小题，满分98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 解方程．
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法， 熟练掌握基本解法是解题关键．
（1）可采用配方法或者公式法解方程；
（2）先移项，然后因式分解，再利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：方法一：，
，
，
，．
方法二：，，，
，
，
，．
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，或，
，．
18. 某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求区域扇形圆心角的度数；
（3）已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数，
（1）根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出B选项的人数，再补全统计图即可；
（2）求出A选项所占的百分比，再乘以可得答案；
（3）根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
样本的容量为，
则参加B项目的人数为．
补全统计图如下：
【小问2详解】
A区域扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是．
19. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点B0,3．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求出该函数与轴的交点坐标；
（3）画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）
（2），
（3），图见解析
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与轴、轴的交点坐标的求法，是一个基础题．
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）令，即可得到关于的方程，即可得解；
（3）由（1）（2）即可作图，结合图象可得范围．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式是，
则，
解得：．
则抛物线的解析式是，即；
【小问2详解】
解：在中，
令，则，
解得：或3，
则函数与轴的交点坐标，；
【小问3详解】
解：由（1）（2）得，抛物线顶点为1,4，与轴交点坐标为，；
令，则，
与轴交于．
作图如下．
当时，．
20. 在中，是直径，弦，垂足为点E，连结．
（1）求证：．
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，等边三角形的性质和判定；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键．
（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可求解；
（2）连接，根据圆周角定理求出，证出等边三角形，即可求解；
【小问1详解】
证明：∵是直径，弦，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，
∵，
∴等边三角形，
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
（1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点，的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）作图见解析，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图旋转变换、三角形的面积，熟练掌握中心对称性质是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
由图可得，，；
【小问2详解】
的面积为．
22. 某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据平均增长率的等量关系：，列出方程进行求解即可；
（2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意可得，，
解得，（不合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设当商品降价元时，商品获利元，
根据题意可得，，
解得，（不合题意，舍去），
答：当商品降价元时，商场获利元．
23. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论；
（2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键．
24. 小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究；测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若身高的小聪站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，判断小聪的头顶是否接触到水柱，若未接触到水柱，求他的头顶上方到水柱的距离．
【答案】（1）
（2）小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，
（1）由抛物线顶点可设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可；
（2）当时，代入抛物线的解析式求出对应的的值，再和比较即可得出结论；
解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
【小问1详解】
解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
由题意知点在抛物线的图像上，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
当时，，
∵，
∴小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为．
25. 综合与实践
（1）问题情境：如图①，在正方形中，已知，点E，F分别在上，．把绕点A逆时针旋转90°得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程；
（2）问题探究：如图②，若，都不是直角，则当与满足数量关系______时，仍有；
（3）拓展应用：如图③，在中，，点D，E均在边上，且．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，根据（1），要使，需证明，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即；
（3）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，连接，根据已知条件证明，设，则，，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即的长．
【详解】解：（1）如图，
∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，
理由是：
如图，把绕A点旋转到，使与重合，
则，
∵，
∴，
∴F、D、G在一条直线上，
和（1）类似，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵中，，，
∴，由勾股定理得：，
如图，把绕A点旋转到，使和重合，连接．
则，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得： ，
即．