江苏省南通市崇川初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省南通市崇川初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了 若抛物线平移得到，则必须等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. y=3xB. y=x²+（3-x）x
C. y=（x-1）²D. y=ax²+bx+c
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】A．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
C．，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D．，当时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，
顶点坐标，
顶点在第二象限．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案．
【详解】解：A.由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
B.由直线可知，由抛物线开口向下，，故选项不符合题意；
C.由直线可知，由抛物线开口向上，，故选项不符合题意；
D. 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系．
4. 若抛物线平移得到，则必须（ ）
A. 先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B. 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C. 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D. 先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【答案】B
【解析】
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
的顶点坐标为，
抛物线先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
5. 已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴距离对称轴越远，函数值越大，
∵，，，
∴，，，
∴，
故选B
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解当二次函数的开口向上时，距离对称轴越远的点的函数值越大是解本题的关键．
6. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；故A正确，
∵对称轴在y轴的左边，
∴b＜0；故B错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，故C正确；
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，故D正确；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
7. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长，轮子的吃水深度CD为，则该桨轮船的轮子直径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则



在 中，有
，即

解得
则该桨轮船的轮子直径为
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
8. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∵二次函数的对称轴为直线且开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点，
故选：D．
9. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”．已知二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设零和点的坐标为（n，-n），代入y=x2+3x+m得到关于n的一元二次方程，由题意可知此方程有两相等的实数根，即可得到Δ=42-4m=0，解得即可．
【详解】解：∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，
设零和点的坐标为（n，-n），
∴方程-n=n2+3n+m即n2+4n+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=42-4m=0，
∴m=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．
10. 如图，等边的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题可分为两段求解，即B从D点运动到DE的中点和A从DE的中点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【详解】解：设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，
当B从D点运动到DE的中点时，即0≤x≤1时，y=×x×x=x2．
当B从DE中点运动到E点时，即1＜x≤2时，y=-（2-x）×（2-x）=-x2+2x-
由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选D．
二．填空题（共8小题）
11. 二次函数的对称轴是直线 ___．
【答案】
【解析】
【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解，本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键是：熟练应用配方法，将二次函数化为顶点式．
【详解】解：，
，
二次函数的对称轴为：，
故答案为：．
12. 二次函数在范围内最大值为___．
【答案】36
【解析】
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
∵离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
13. 如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
关于的函数解析式为．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14. 古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为___米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为．
【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：，
解得，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米，
故答案为：26．
15. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，当函数值时，自变量x的取值范围是__________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，
自变量x的取值范围是或．
【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为，
由二次函数图象性质可知，
当函数值时，
自变量x的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．
16. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升_______．
【答案】7或17
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可．
【详解】解：如图所示：，
由题意，
根据垂径定理，得，，
∵直径为，半径，
∴在中，，
∴
∴在中，，
∴,
①当在圆心下方时，，
②当圆心上方时，，
故答案为：7或17．
17. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为_________．
【答案】####
【解析】
【分析】先根据二次函数的对称性，可得二次函数解析式为 ，再由点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，可得到 ，从而得到，即可求解．
【详解】解：二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴
，即 ，
二次函数解析式为 ，
点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，
，
，
m-n的最大值为 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性，最值是解题的关键．
18. 对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：，均是“闭函数”．已知是“闭函数”，且抛物线经过点和点，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查求二次函数最值问题，解题关键是先由抛物线经过，得出，进而求出抛物线对称轴为直线，分类讨论与两种情况的函数最值，进而求解．
【详解】解：把，代入得，
由①②得，
①②得，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
当，即时，时取最小值为，
时，取最大值为，
当时，时取最小值，
解得（舍去），
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19. 已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 ；
（2）当时，______；
（3）与x轴的交点_______；
（4）当函数值时，x的取值范围_________．
【答案】（1）
（2）5 （3）和
（4）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，从表格中获取数据是解题的关键．
对于（1），根据对称的点的坐标即可确定；
对于（2），根据对称轴可知对称的点的纵坐标相等；
对于（3），根据表格直接得出答案；
对于（4），根据抛物线与x轴交点的坐标，再结合开口方向可得答案．
【小问1详解】
观察表格可知当时，，当时，，
所以抛物线的对称轴是，顶点坐标是．
故答案为：；
【小问2详解】
因为对称轴是，
所以和时的函数值相等，所以．
故答案为：5；
【小问3详解】
观察表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和．
故答案为：和；
【小问4详解】
当时，，当时，，且抛物线开口向上，
所以当或时，．
故答案为：或．
20. 已知抛物线．
（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为-3或1.
【解析】
【分析】（1）先求得△的值，然后证明△即可；
（2）依据此抛物线与直线一个交点在轴上可得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：（1）令得：①
△
方程①有两个不等的实数根，
原抛物线与轴有两个不同的交点；
（2）令：，根据题意有：，
整理得：
解得或．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据此抛物线与直线的一个交点在轴上得到关于的方程是解题的关键．
21. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键．
（1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证；
（2）由勾股定理得，即可求解；
【小问1详解】
证明：，
是半径，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设的半径是r，
，
，
，
的半径是5．
22. 卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时,足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，建立平面直角坐标系．

（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；
（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？
【答案】（1）
（2）C罗能在空中截住这次吊射
【解析】
【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；
（2）将代入函数表达式，求出y值，然后与2.88相比较即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．
【小问1详解】
由题意可得，足球距离点O米时，足球达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：，
把代入解析式得：，
解得：，
故抛物线解析式为：；
【小问2详解】
当时，
故C罗能在空中截住这次吊射．
23. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现， 销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？
【答案】（1）y=-x+120；（2）当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元； （3）销售单价应定为70元
【解析】
【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式；
（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润；
（3）由w=500推出x2-180x+7700=0解出x的值即可．
【详解】解：（1）设销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b
根据题意得
解得：
∴所求一次函数的表达式为y=-x+120；
（2）由题意知
W=（x-60）•（-x+120）
=-x2+180x-7200
=-（x-90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
（3）如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，
∴500=-x2+180x-7200，
解为 x1=70，x2=110（不合题意舍去）．
∴销售单价应定为70元
【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点．

（1）求该抛物线解析式；
（2）当点在第四象限时，求的最大面积；
（3）当点在第一象限，且时，求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）最大值为4
（3）点坐标为
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标为，把，代入解析式，求解即可；
（2）过点作轴交于点，令，得，求解得；再用待定系数法求出的解析式为，设点，则点，所以，由三角莆面积公式得，然后根据二次函数最值求法求解即可；
（3）根据点在第一象限，所以设交轴于点，根据等腰三角形的判定与勾肌主得，从而求出点．再用待定系数法救是直线解析式为，然后求出直线与抛物线在第一象限的交点坐标即可得解．
【小问1详解】
解：∵，
∴点的坐标为，
把，代入解析式，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：过点作轴交于点，如图：

令，则
解得，，
∴
设的解析式为，把，代入得
解得，
∴的解析式为，
设点，则点，
∴，
∴，
，
∴当时，取最大值，最大值为4；
【小问3详解】
解：∵点在第一象限，
∴设交轴于点，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点．
设直线解析式为，
将点，点代入得
，解得，
∴直线解析式为，
联立解析式得，
解得：或，
∴点在第一象限，
∴点坐标为．
【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键．
25. 某数学兴趣小组对函数y＝|x2＋2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．
（1）根据如表数据填空：m＝ ，n＝ ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整；
（3）观察该函数的图象，解决下列问题．
①该函数图象与直线y＝的交点有 个；
②若y随x的增大而减小，求此时x的取值范围；
③在同一平面内，若直线y＝x＋b与函数y＝|x2＋2x|的图象有a个交点，且a≥3，求b的取值范围．
【答案】（1）3；1 （2）见解析
（3）①4；②x≤－2或－1≤x≤0；③2≤b≤
【解析】
【分析】（1）分别把x=-3和x=-1代入函数解析式求出结果；
（2）根据表格，利用描点、连线画出函数图象；
（3）①画出y=的图象，观察交点个数得出结果；
②观察函数图象得出结果；
③利用一元二次方程根的判别式计算即可．
【小问1详解】
解：当x=-3时，m＝|x2＋2x|=|9-6|=3，
当x=-1时，m＝|1-2|=|-1|=1，
故答案为3，1；
【小问2详解】
如图；
【小问3详解】
①由图象知图象与直线y=有4个交点，
故答案为4；
②由图象知，当x≤－2或－1≤x≤0时，图象从左到右逐渐下降，
故若y随x的增大而减小，此时x的取值范围x≤－2或－1≤x≤0；
③由题意可得，3≤a≤4．
当直线y＝x＋b过点（－2，0）和点（－1，1）时，
该直线与函数y＝|x2＋2x|的图象有三个交点，此时b＝2；
由图象可得在－2≤x≤－1段的函数解析式为y＝－x2－2x，令x＋b＝－x2－2x，
整理得x2＋3x＋b＝0. 当该段函数图象与直线y＝x＋b有交点时，判别式为9－4b≥0，
∴b≤．
综上，b的取值范围是2≤b≤．
【点睛】本题考查画函数图象以及利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．
26. 党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点P为“高质量发展点”．
（1）若点是正比例函数（k为常数，）的图象上的“高质量发展点”求这个正比例函数的解析式；
（2）若函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；
（3）若二次函数（a，b是常数，）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，w有最大值，求t的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）将代入得到关于的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于的另一个方程，解方程组即可；
（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意可得含的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应，即可求出的取值范围；
（3）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为, 将代入,可得含的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等， 即， 得出的关系式，从而由变形为关于的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可.
【小问1详解】
将点代入正比例函数，即，
又∵点是图象上的“高质量发展点”，
∴，
解得：或，
∴y=2x或；
【小问2详解】
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，
依据题意将代入得：，
由函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：
方程有两个不相等的实根，即，解得：，
且由根与系数的关系可知的两根之和为2，两根之积为，
又因为这两点都在第一象限可得：，
解得：，
综上可得：．
【小问3详解】
设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，
可得，
整理得，
根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程两根相等，
即，变形得：，
因为，所以，
故由抛物线性质：开口向下，对称轴为，顶点，
∵当时，w有最大值－t，
∴分情况讨论最值情况：
①当，即时，函数自变量取值在对称轴右侧，图象下降，
故当时w有最大值－t，
即，
化简得：，得：，，
∵，故舍去，
∴，
②当且，即时，函数的自变量取值范围包括了顶点，
即当，w有最大值，
解得：，
③时函数自变量取值在对称轴左侧，图象上升，
此时w最大值当时取得，
即：，
整理得：，
解得，，
∵，
∴，均不合要求，此时无解，
综上可得：或．
【点睛】本题结合新定义综合考查了二次函数的性质，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数，第问运用分类讨论可条理清晰解决问题.
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
0
0
…
销售单价x（元）
65
70
80
…
销售量y（件）
55
50
40
…
x
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
8
m
0
n
0
3
8
15