苏教版（中职）第二册第6章 数列学案

这是一份苏教版（中职）第二册第6章 数列学案，共72页。
1. 等差数列的定义：；.
2. 等差数列的通项：.
3. 等差数列前项和.
1．（2024·广东佛山·一模）记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设等差数列的公差为d，且，
所以，
解得，
所以，，
故选：A
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由，
故，则，
由得，故，故公差为，
故选：C
3．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（ ）
A．11B．12C．20D．22
【答案】D
【详解】设公差为，
由，得，所以，
由，得
故，
则，
因为，
所以，
化简得，解得或（舍去）.
故选：D.
4．（2024·江西新余·模拟预测）我国数学著作《九章算术》中很早就有有关数列问题的记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”，译文为：“现有人分钱（一种单位），要使分得钱数最多的两人所得的钱数和与其他三人所得的钱数和相等，且五人分得的钱数的某种排列成等差数列，问各得多少钱.”在上述问题中随机取一人，这个人得到的钱数可能为： .（写出一种可能即可）.
【答案】或.
【详解】根据题意，设这五人所得钱数从少到多依次为：，
则有
解的：，则这五人所得钱数依次为：.
故答案为：或.
5．（2024·浙江金华·一模）已知数列为等差数列，，，则 .
【答案】11
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：11.
6．（2024·吉林长春·一模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】9
【详解】设等差数列的公差为，
由可得，
化简得，因，解得.
故答案为：9.
考点二 等比数列的定义与特征值的计算
1.等比数列的证明：(1) (2) (3).
2.等比数列的通项公式：.
3.等比数列的前项和公式：.
1．（2024·湖南益阳·一模）已知等比数列中，，，则（ ）
A．26B．32C．512D．1024
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，，
由，则，得，
解得，
所以.
故选：D.
2．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（ ）
A．1B．4C．8D．25
【答案】A
【详解】因为，，所以，
因为是等比数列，所以成等比数列，
所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确.
故选：A.
3．（2024·贵州贵阳·二模）记等比数列的前项和为，则（ ）
A．121B．63C．40D．31
【答案】A
【详解】根据题意，设等比数列的公比为，
若，则有，得，
又由，则，解得，
故，
则.
故选：A.
4．（2024·湖南邵阳·三模）已知是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，，，则，
则，所以.
故选：D
5．（23-24高二下·安徽池州·期中）已知等比数列为递增数列，且，，则 ．
【答案】2
【详解】因为递增的等比数列中，，，且，
可知和是一元二次方程的两个根，
且，解得，，
可得，所以
故答案为：2.
6．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则 .
【答案】255
【详解】设等比数列的公比为，
由题意可得，解得，
所以.
故答案为：255.
考点三 等差数列的性质
1.等差数列通项公式的性质
（1）若，则________________________.
（2）若，则________________________.
（3）若、、为等差数列，则________________________，为、的____________________.
（4）若为等差数列，则、、…依旧是等差数列.
（5）当时，数列单调___________;当时，数列单调___________
2.等差数列前项和的性质
（1） 且 ；
（2）且为等差数列；
（3）等差数列的前项和是一个二次函数，当时，有最_____值, 当时，有最_____值；其中：
= 1 \* GB3 ①若已知和，则当且仅当取最接近对称轴的正整数时，有最值；
= 2 \* GB3 ②若未知和，则需找出的正负交界值；
（4）、、依旧是一个等差数列
3.含有绝对值的求和方法：
（1） 找到的临界值
（2） 若，
若，.
1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足，
所以，
又，故，
故选：B
2．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由等差数列性质可得，即可得；
又，所以；
因此可得数列的公差，且前6项均为负值，
所以的最小值为前6项和，即为.
故选：B
3．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列，
所以，即，解得，
所以.
故选：A.
4．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以．
因为，所以．
另解：设等差数列的公差为，
由，得，
所以，即，得，
所以，
因为，
，
，
，
所以
故选：A．
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【详解】在等差数列中，，由，可得，
，，且数列为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
6．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】A
【详解】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故选：A．
7．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由是等差数列，得，满足充分性；
反之，，只需，得不到是等差数列，
不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件.
故选：A
考点四 等比数列的性质
1.等比数列通项公式的性质
= 1 \* GB3 ①若，则________________________.
= 2 \* GB3 ②若，则________________________.
= 3 \* GB3 ③若、、为等比数列，则________________________，为、的____________________.
= 4 \* GB3 ④若为等比数列，则、、…依旧是等比数列.
= 5 \* GB3 ⑤当且时，数列单调___________;当且时，数列单调___________
2.等比数列前项和的性质
= 1 \* GB3 ①、、依旧是一个等比数列
1．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（ ）
A．8B．±8C．10D．±10
【答案】A
【详解】根据等比中项知道，求得，则.
又，则.
故选：A.
2．（22-23高二下·湖南·期末）“”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【详解】若，满足，但是，，不成等比数列,所以充分性不成立，
若，，成等比数列，则，故必要性成立，
因此“”是“，，成等比数列”的必要不充分条件，
故选：B
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）记等比数列的前项之积为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则有，故充分性成立；
若，即，即，则或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．（2024·河北张家口·三模）已知数列为等比数列，，则（ ）
A．28B．32C．36D．40
【答案】C
【详解】记数列的公比为，由题知，
则，
所以.
故选：C
5．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】C
【详解】因为为等比数列，所以成等比数列，
即成等比数列，可得，所以.
故选：C
6．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．3C．1D．
【答案】B
【详解】设公比为，
当时，不符合题意；
当时，
又，
所以，解得.
故选：B
7．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列是等比数列，且则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】因为为等比数列，所以，
因此，即，
所以，
故选：B.
8．（2024·福建漳州·三模）已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由下标和性质可知，若，则；
记数列是公比为，若，则，即，
因为数列是公比不为1的正项等比数列，所以，得.
综上，则是成立的充要条件.
故选：A
考点五 数列通项公式----累加法
1.累加法：已知或
(1)若已知，则赋值从____到_____，得到______个式子，累加得____________________.
(2)若已知，则赋值从____到_____，得到______个式子，累加得____________________.
(3)可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列.
(4)如论是或，均需注意最后求和的项数.
1．（2024·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】由题意可得，
则可得，
，
，
将以上等式左右两边分别相加得，
，即，
又，所以.
故选：D.
2．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43B．46C．37D．36
【答案】C
【详解】法一：由题得，
所以.
法二：由题，，
所以.
故选：C.
3．（2024·河北保定·三模）设是公差为3的等差数列，且，若，则（ ）
A．21B．25C．27D．31
【答案】D
【详解】由，得，则，
从而.
故选：D
4．（2024·广东·二模）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，所以，
又
因此是以为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，
∴．
（2）．因此
．
5．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【详解】（1）数列中，当时，，即，
则
，而满足上式，
所以数列的通项公式是，．
（2）由（1）知，，则，
因此
，而，则，
所以．
考点六 数列通项公式----累乘法
1.累乘法：已知或
(1)若已知，则赋值从____到_____，得到______个式子，累加得____________________.
(2)若已知，则赋值从____到_____，得到______个式子，累加得____________________.
(3)如论是或，均需注意最后求和的项数.
1．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 .
【答案】
【详解】当时，，即，，
则，即，
则有，，，，
则，
当时，，符合上式，故.
故答案为：.
2．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 .
【答案】
【详解】由可得，
由累乘可得.
故答案为：
3．（23-24高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列bn满足，，记的前项和为，求
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得：
解得：，，
（2）由题意得： ，
由于
所以
4．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为①，所以当时，②，
由①②得到，整理得到，
又，所以，得到，
所以当时，，
当，满足，所以.
（2）由（1）知，
所以，
因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到，
所以实数的最小值为.
考点七 数列通项公式----法
1.法：已知数列的前项和求
(1)，.
(2)若直接得出的解析式，需检验_____________是否成立
(3)若求的解析式，应反向把化为_____________.
(4)表示数列________的前项和.
1．（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【详解】.
故选：C.
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，时，，
两式相减得，，即，，
因为，即，
所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
则．
故选：B．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
当时，，
，
，
；
当时，，解得：，不满足，；
当时，，
又满足，.
故选：D.
4．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和满足,则（ ）
A．272B．152C．68D．38
【答案】B
【详解】，
则.
故选：B.
5．（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为为数列的前项和，且，
当时，则有，解得；
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，.
（2）解：因为，
所以，
.
6．（2024·四川雅安·一模）已知数列的前n项和为，且，其中．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见详解
【详解】（1）当时，，
当时，，
又，两式相减得：
，
所以，
此时，
将代入得，
因此对也成立，
故的通项公式为，
（2）由（1）可知，
所以，又，
所以，
所以
，
因为，所以，
即.
7．（2024·湖北·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，由，得，
则，整理得.
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）证明：由（1）可得，则.
当时，对于，
所以，
从而.
考点八 数列通项公式----构造法
1.构造法
(1)若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得.
(2)若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和.
(3)若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得.
(4)若已知，则构造数列为公差为的等比数列.
(5)若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明.
1．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为，又，
所以，整理得．
由题意得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，
即．
（2）由（1）可，
当时，，
当时，，
所以，
.
当，代入满足公式，
综上，
2．（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列bn的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由，可得,
两式相减得，所以，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，
所以，
数列 bn的前项和为，
可得，
两式相减得，
所以．
3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
【答案】(1)；
(2)10.
【详解】（1）当时，，
所以，则，而，
所以，故是首项、公比都为2的等比数列，
所以.
（2）由，
所以，
要使，即，
由且，则.
所以使得成立的的最小值为10.
4．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，，所以，
由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，
所以，所以，
当时，.
验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知.
设的前项和为，则当为偶数时，
.
当为奇数时，，
设的前项和为，则.
因为，所以
5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知数列中，.
(1)求；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，得，故为常数列.
，故.
（2）
故
6．（2024·广东·模拟预测）已知数列的前项和为，且是以2为公差的等差数列．
(1)若，求证：是等比数列；
(2)对任意，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为是以2为公差的等差数列，且，
所以①．
所以②，
由②-①，得．所以．
因为，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得当时，，
当时，适合上式，所以．
因为对任意，都有成立，
不妨设，则，所以．所以单调递增．
设，
则，
所以，即．
因为单调递减，所以．所以．
综上所述，的取值范围是0,+∞．
考点九 数列通项公式----倒数法
1.倒数法：已知
(1)取倒数得
(2)若，则数列是以__________为首项，__________为公差的等差数列.
(3)若，则进行二次构造等比数列.
1．（2024高三·广东·模拟预测）已知数列的首项，且满足，求．
【答案】
【详解】由，得，
所以，又
故数列为首项、公比均为的等比数列，
则，故．
2．（23-24高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，.
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知，
得，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以当时，，此时，
即是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，所以，
所以，
因为，
则，
即，
解得，
所以的最大值为.
考点十 数列求和-----裂项相消法
1.裂项相消法
(1)
(2)
(3)
(4)常见裂项：， .
，.
1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列bn的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列的首项为1，且，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
2．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意，数列满足，即，
由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列，
因为，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1），可得，
所以数列bn的前项和为：.
3．（2024·四川泸州·二模）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由可得，
解得，
所以；
因此的通项公式为，
（2）由（1）可得；
所以，
因此数列的前n项和;
即可得.
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，．
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∴．
5．（2024·广东·二模）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，所以，
又
因此是以为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，
∴．
（2）．因此
．
6．（2024·新疆·三模）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列是一个二阶等比数列，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由题意得数列是等比数列，，，
则，即，
由累乘法得：，
于是，故.
（2）由（1）得
，
令，则，
∴
.
考点十一 数列求和-----错位相减法
1.错位相减法：且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为.
(1) = 1 \* GB3 ①
(2) = 2 \* GB3 ②
(3) = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得
(4)求和得
(5)化简得最终答案.
(6),则，其中，.（不建议直接用）
1．（24-25高二上·福建·期中）在递增的等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为，因为数列是等差数列，
所以，由解得，
所以，所以.
（2）由（1）可得，
则①，
②，
①-②得
则.
2．（2024·广东肇庆·一模）已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意得，
解得（舍去），
所以.
即数列的通项公式为.
（2）由（1）知①，
所以②.
①－②得
所以.
3．（2024·四川雅安·一模）已知数列满足，（，且）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)令，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）数列中，当时，，则，
而，又，解得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即，，
则，
令，
则，
两式相减得，
则，所以.
（3）由（2）知，，，显然，
则；又，
于是，
所以.
4．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知数列的满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列前项和为，求.
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【详解】（1），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以数列的通项公式为；
（2）由题意，
从而
；
（3），
当时，，
当时，，
当时，
.
5．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知公差为2的等差数列和公比为2的等比数列满足：，.
(1)求和；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
又，所以，即，所以；
设等比数列bn的公差为，则，，
由，得，所以
（2）．
，
．
两式相减可得：
，
．
6．（2024·湖北·一模）在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）设的公差为，因为是与的等比中项，
所以，即，
整理得.
又，，所以，
则.
（2）由（1）可得，，
则①，
②，
①-②得
则.
考点十二 数列求和-----分组求和法
1.分组求和法：
(1)记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为.
(2)分别求与.
(3).
1．（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为为数列的前项和，且，
当时，则有，解得；
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，.
（2）解：因为，
所以，
.
2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列bn满足：，，求数列的前项和.
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列，
得，则，
又，即，解得或.
当时，.
当时，.
所以数列的通项公式为或.
（2）由题意得，当时，，则，
所以数列的前项和
当时，，
则，且，
故bn是以为首项，为公比的等比数列，
则
.
故数列的前项和或.
3．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）由题意及（1），可得，
则
．
4．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列bn的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，由，即，解得：，
所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；
所以，则，
当时，，
当时，满足条件，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，
所以，
故，
即
考点十三 数列求和-----倒序相加法
1.已知数列与其前项和
由定义可知
得
左右两边同时除以__________，可得。
2.使用前提:_______________________________________________________________
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
【答案】B
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
2．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069B．2023
C．2024D．4046
【答案】D
【详解】由数列bn是公比为q（）的正项等比数列，故，
，故，
即有，
由，则当时，
有，
故，
故，
故.
故选：D.
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（ ）
A．-8088B．-8090C．-8092D．-8094
【答案】D
【详解】，
即
设①，
则②
①+②得
，
所以，
又，
所以.
故选：D.
4．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 .
【答案】158
【详解】，则，
所以，整理得，
即是常数数列，又，
所以，，
，
则，
所以，
又，所以，，
所以，
所以．
故答案为：158．
考点十四 奇偶数列
1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为.
思路一：分类讨论
(1)
(2)若为偶数，则
(3)若为奇数，则
思路二：并项求和
(1)记
(2)
(3)若为偶数，则
(4)若为奇数，则
2.常见奇偶数列模型
(1)若，则________________，相减得____________________.
当为奇数时，数列为以_____为首项，_______为公差得等差数列，______________.
当为偶数时，数列为以_____为首项，_______为公差得等差数列，______________.
(2)若，则________________，相除得____________________.
当为奇数时，数列为以_____为首项，_______为公差得等比数列，______________.
当为偶数时，数列为以_____为首项，_______为公差得等比数列，______________.
(3)若，则直接按奇偶分开讨论.
1．（2024·湖南湘西·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前20项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，
∴，
∴等比数列的公比.
当时，由得，即，解得，
∴.
（2）由题意得，当为奇数时，，
当为偶数时，，
∴，
，
∴
.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前100项和．
【答案】(1)证明见解析，．
(2)100.
【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，
而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以
．
3．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设等比数列的公比为，由及，
得，
解得，于是，即，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足 当时，
(1)求和，并证明当为偶数时是等比数列；
(2)求
【答案】(1)3，7，证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 当时，，
所以，.
，，又，
当为偶数时，是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）知，，
设，则 为偶数时，
当为奇数时，
；
设，为奇数时，，
.
5．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，解得或，
因为，所以，则；
（2）由（1）可得，
所以
.
考点十五 数列插项问题
1.插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.
2.常见插项问题
（1）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为，则，整理的_______________________.
（2）在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为，则，整理的_______________________.
（3）在和之间插入个，组成新数列
求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和.
1．（2024·广东广州·二模）已知等差数列的前项和为，且为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为等差数列中，，又，
所以，即①，
因为为等差数列，所以，
令时，，即，则②，
结合①②，解出，则，
所以的通项公式为．
（2）由题设得，即，
所以①，
则②，
由①-②得：，
所以，
因为，所以，所以，即证．
2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 .
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由，所以，
又，所以bn前91项中有87项来自.
所以故
.
3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列bn满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或bn中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，
【详解】（1）由①，当时，②，
得，
当时，，
是首项为1，公比为的等比数列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
bn的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得.
综上可得；
（2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列，
设公差为，则，
则.
⑤
则⑥
⑤-⑥得：，
所以可得
（ii）由（1），又，
由已知，
假设是数列或bn中的一项，
不妨设，
因为，所以，而，
所以不可能是数列中的项.
假设是bn中的项，则.
当时，有，即，
令，
当时，；
当时，，
由知无解.
当时，有，即.
所以存在使得是数列bn中的第3项；
又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；
综上可知，存在正整数使得是数列bn中的第3项.
4．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)14337
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以，.
当时，上式亦成立，
所以：.
（2）由.
所以新数列bn前55项中包含数列的前10项，还包含，，，，，，，，.
且，，， .
所以
.
设
则，
所以.
故：.
所以.
考点十六 数列最值问题
1.求最值的常见方法：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________；
2.求数列单调性的方法：（1）作差法（与_______比较大小） （2）作商法（与_______比较大小）
注意：虽然数列可近似视为函数（定义域为正整数），但是一般不会用导数讨论单调性，因为求导太复杂。
1．（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
【答案】(1)，，
(2)4或5
【详解】（1）∵，∴
当时，，
即，
当时，也满足，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知，
∴，∴
令，
，当时，，当时，
∵
∴的最大值为70，即当或时，取得最大值70，
∴取得最大值时，取4或5.
2．（2024·山东·模拟预测）已知数列，，的首项均为1，为，的等差中项，且．
(1)若数列为单调递增的等比数列，且，求的通项公式；
(2)若数列的前项和，数列的前项和为，是否存在正整数使对恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，正整数的最大值为2024
【详解】（1）若数列bn为单调递增的等比数列，设其公比为，且，
因为，则，解得或（舍去），
所以.
因为，即，
可得，且，
可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，则，
因为为，的等差中项，则，
即，且，
当时，则，
累加可得，
则，
且符合上式，所以.
（2）若数列bn的前项和，
当时，则；
当时，则；
且符合上式，所以.
因为，即，
可得，且
可知数列为常数列，
则，所以，
可知数列为递增数列，则的最小项为，
若存在正整数使对恒成立，则，即，
所以正整数的最大值为2024.
3．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）数列满足①，
当时，有②，
①②可得：，
即，
变形可得，
故数列是以为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列，
若，，成等比数列，则有，
即，解得，
所以，
所以单调递减，又当时，，当时，，当时，，
故当或时，取得最大值，
且．
4．（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列bn是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和bn的通项公式；
(2)设，求使取得最大值时的值.
【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
设等比数列bn的公比为，
则，解得，
所以；
（2）由（1）得，
则，
，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，取得最大值.
考点十七 数列新定义
此类新定义问题看似给出一些高深莫测的定义，本质上依旧在考察数列的基本问题（等差数列、等比数列、数列求通项、数列求和等），所以可以通过赋值找出特例，再通过翻译把新定义问题转化为数列的基本问题.
1．（2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列.
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前n项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差.
【答案】(1)12
(2)
(3)k的最大值是1999，此时公差为
【详解】（1）由题意，得，，，
所以，，
因为是等比数列，所以公比为，由此得，，，
所以，，，
所以，，.
（2）设的二阶和数列的前n项和为，
由题意，得，，
所以.
（3）因为，
所以，解得.
设数列的公差为d，则，
得，
又因为，
所以，得，
所以k的最大值是1999，此时公差为.
2．（2024·河南·模拟预测）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
(3)判断是否存在最大值，若存在，试说明理由.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)存在，理由见解析
【详解】（1）因为，
所以集合，所以.
（2）证明：因为是递增数列，且，
因为是递增数列，所以，
所以且互不相等，所以，
又因为，
所以且互不相等，所以
所以，
所以，
所以，所以为等比数列.
（3）共有个元素，故最多有个，
存在最大值.理由如下：
不妨取，其中均为质数.
因为，
则且互不相同，有个元素；
同理，
且互不相同，共有个元素；
且互不相同，共有个元素；
互不相同，有1个元素.
根据质数的性质知，互不相同，
故.
故有最大值.
3．（2024·江西·一模）记数列中前项的最大值为，数列bn称为的“数列”，由所有的值组成的集合为．
(1)若，且中有3个元素，求的取值范围；
(2)若数列，bn都只有4项，bn为的“数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列bn的个数；
(3)若，的“数列”bn的前n项和为，从，，，…，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求．
【答案】(1)
(2)20
(3)
【详解】（1）因为中有3个元素，故不是单调数列，
因为，
所以，
当时，，当时，
故当时为增函数，时为减数列，
因为中有3个元素，所以，，即，，
所以，解得，所以的取值范围是．
（2）若，则，bn有1个，
①若且，则，有3种可能，bn有3个，
②若且，，则，
若则，若，，的值可能是4或6，
若，则，的值可能是2或4或6，
符合条件的bn有6个．
③若，，均不为8，则，，
，，的值可能分别为：2，2，2；对应的，，的值可为；
，，的值可能分别为2，2，4；对应的，，的值可为；
，，的值可能分别为2，2，6；对应的，，的值可为，
，，的值可能分别为2，4，4；对应的，，的值可为，
，，的值可能分别为2，4，6；对应的，，的值可为，
，，的值可能分别为2，6，6；对应的，，的值可为，
，，的值可能分别为4，4，4；对应的，，的值可为，
，，的值可能分别为4，4，6；对应的，，的值可为，
，，的值可能分别为4，6，6；对应的，，的值可为，
，，的值可能分别为6，6，6；对应的，，的值可为，
故此时符合条件的bn有10个，
综上，符合条件的bn共有，综上得符合条件的bn有20个．
（3）由题意得
所以，，，
所以，能被4整除，
，不能被2整除，
，能被2整除，不能被4整除，
，不能被2整除，
所以，，…，中能被2整除，但不能被4整除的有n个，
，，，，
．
4．（2024·浙江金华·三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)10.
【详解】（1）法一：由题意得：，∴，
∴，，，，，
将以上式子累乘得：，也即成立．
法二：由题意得：，
∴，∴成立．
（2）法一：∵，∴，
∴，
则，
∴，
∴．
法二：考虑反证法，假设，
由得，
∴，∴，
同理：，
∴，∴，
同理可证：，，…，，
综上可得：，与条件矛盾，
∴假设不成立，∴成立．
法三：∵，∴，也即，
同时，由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，
也即，同理可得：
，
，
……
，
将以上式子累加得：，
∴，∴，∴成立．
（3）由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，①
另外，，，…，，
将以上式子累加得：，②
结合①②式可得：，
∴，化简得：，
另外，显然有符合题意，此时，
综上，的最大值为10．
5．（2024·湖北·模拟预测）若项数为的数列满足两个性质：①；②存在，使得，并记是数列的最大项，．则称数列具有性质．
(1)若，写出所有具有性质的数列；
(2)数列具有性质,若，求的最大项的最大值；
(3)数列具有性质,若，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；（ⅱ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得．求满足上述性质的的最小值．
【答案】(1)或或；
(2)
(3)4067
【详解】（1）所有具有性质的数列有三个：或或.
理由如下：
当，即数列有项，且，
条件②由存在，即存在，使得.
故或，或.由，可知或，或，
故满足题意的数列可能有；；；.
（i）令，条件②为存在，使得，
由，数列，满足题意；
数列与，都有，数列，均不合题意；
（ii）再令，条件②为存在，使得，
由，数列，也不合题意；
数列，；数列与，都有；
这3个数列均满足题意；
综上所述，所有具有性质的数列有三种：或或.
（2）当时，．
由，
累乘得①；
又由，
累乘得②；
将①②相乘得，
又，所以．
给出数列，通项公式为.
数列的最大项为.
综上所述，数列的最大项的最大值为.
（3）①讨论满足的项的取值情况：
因为数列满足：当时，则有恒成立.
所以，又因为当，都有，
所以或，
当时，，此时，
这与“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”矛盾，所以，
同理可得，，要使得值要尽量小，则需要每项尽可能大，，
则或，若，，由，
同样不存在项和，使得，故，
验证知，前项满足条件“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”；
再由每项尽可能大的原则，且满足，
且前项也满足条件“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”；
同理，，
由对称性同理可得，
最后6项为，.
当中间各项为公比为2的等比数列时，可使得值最小，
且的最小值为，满足已知条件．
②讨论满足的项的取值情况：
因为数列满足：当时，则有恒成立.
类比①可知
，，，
．
综上所述，的最小值为.
故满足上述性质的的最小值为．
6．（2024·河北张家口·二模）如果项数均为n的数列满足，且为奇数时，；为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和.
(1)若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；
(2)当为“互补交叉数列”时，
（i）证明：取最大值时，存在；
（ii）当为偶数时，求的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）因为，且时，
则满足条件的“互补交叉数列对”分别为.
（2）（i）证明：若取最大值时，存在，使，
由题意知为奇数，不妨设.
①若存在为偶数），使得，则让的值变为初始的值，让的值变为，
这样所得到的新数列也是“互补交叉数列”，
但调整后的的前项和，与题设取最大值矛盾，所以存在；
②若对任意的为偶数），都有，交换让的值变为初始的值，
再让的值变为初始的值，所得到的新数列和bn也是“互补交叉数列”，此时转化为①的情况；
综上可知，存在正整数，使得.
（ii）当为偶数时，令，对任意满足条件的“互补交叉数列对”，
一方面，，
因此①，
另一方面，，
因此，
即②，
记为bn的前项和，由①②得；
又，可得；
又“数列对”是“互补交叉数列对”，
且，
序号
知识点内容
考点一
等差数列的定义与特征值的计算
考点二
等比数列的定义与特征值的计算
考点三
等差数列的性质
考点四
等比数列的性质
考点五
数列通项公式----累加法
考点六
数列通项公式----累乘法
考点七
数列通项公式----法
考点八
数列通项公式----构造法
考点九
数列通项公式----倒数法
考点十
数列求和-----裂项相消法
考点十一
数列求和-----错位相减法
考点十二
数列求和-----分组求和法
考点十三
数列求和-----倒叙相加法
考点十四
奇偶数列
考点十五
数列插项问题
考点十六
数列最值问题
考点十七
数列新定义