河北省石家庄市正定县2024-2025学年上学期期中九年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄市正定县2024-2025学年上学期期中九年级数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A． ，是分式方程，故该选项不符合题意；
B． ，
去括号，移项，合并同类项得，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C． ，
去括号，移项，合并同类项得，是一元二次方程，故该选项符合题意；
D． ，是二元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BD=2AD，
∴，，，
故选B
3. “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）．
A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．
故选:A
【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义．
4. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝13＞0，进而可找出该方程有两个不相等的实数根．
【详解】∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5. 在如图所示的正方形网格中，点，，都在格点上，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，先构造直角三角形，如图所示，在直角三角形中，由正切函数的定义代值求解即可得到答案，熟记三角函数定义，数形结合求解是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
在中，，，，则，
故选：C．
6. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据相似三角形的判定：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2）如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．
【详解】解：∵，
，
，
A、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意；
B、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；
C、不符合两个三角形两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意；
D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；
故选：C．
7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A. 1B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
8. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，水平距离，则斜坡的坡度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，根据坡度的定义知道斜坡的坡度，然后根据已知条件即可确定斜坡的坡度．
【详解】解：在中，
斜坡的坡度，而堤高，水平距离，
斜坡坡度是：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，理解坡度的定义即坡角的正切值．
9. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则AD＝（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3可证明△CBD∽△CAB，由此可得，代入可求得CD，即可得到AD．
【详解】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，即，
∴CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明出△CBD∽△CAB是解题的关键．
10. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A. ﹣30B. ﹣20C. ﹣5D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】x2−10x+5=x2−10x+25−20=(x−5)2−20，
当x=5时，代数式的最小值为−20，
故选B.
11. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（ ）
A. 增加米B. 增加米C. 增加米D. 减少米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．
【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵米，，
∴，
令，则，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，如图，

即，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
∴光源与小明的距离应减少米．
故选：D．
12. 已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 2或3D. 2或4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系，根据，结合“等腰三角形的边长分别是、、1”，根据三角形的三边关系进行分类讨论，求出、，即可作答．
【详解】解：∵、是关于一元二次方程的两根，
∴
∵等腰三角形的边长分别是、、1
∴当时，则，，
解得；，
此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去；
当时，同理可得，不能满足三边关系，故舍去；
当时，则
解得；
此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系，符合题意；
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，16题第1空1分，第2空2分，共12分，请把答案填在题中的横线上）
13. ，则的值等于___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，，，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了利用相似比求面积，平行四边形的性质，理解相似比的特征是解决本题的关键．根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为．
【详解】解：∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出各线段长是解题关键．设河的宽度为，根据已知角用表示出CD，AD，BD的长，进而利用求出即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
设河宽AD为米，在中，，
∴，
在中
，
∴，
∵，
∴，
解得：
所以河的宽度为（）米，
故答案为：。
16. 如图，的面积为4，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点，
（1）的面积为___________；
（2）的面积为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．
【详解】解：（1）连接、、、、，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题52分．解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：．
（2）
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解一元二次方程．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）先代入三角函数值，再进一步计算即可．
【详解】解：（1）∵，
，
则或，
解得，；
（2）
．
18. 某专卖店在盘点某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图（图①）和扇形统计图（图②）．回答下列问题：
（1）的值为___________；
（2）求该月内此商品的日平均销售量；
（3）求商品的日销售量的中位数和众数；
（4）店长在检查数据时发现，此商品在该月的日销售量均不大于件，且其中一天的销售量误记为件了，若更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的销售量为多少件？
【答案】（1）
（2）件
（3）中位数：件，众数：件
（4）件
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息综合、画条形统计图、以及众数、中位数、平均数的相关概念和求法、熟练掌握相关概念并灵活运用是解题的关键．
（1）根据日销售量件天数与占比可求得该月的天数；用总天数减去其他的天数即可求得a的值；
（2）利用求平均数的方法即可求解；
（3）根据众数、中位数的概念求出众数和中位数即可；
（4）根据众数、中位数的概念对销量进行分析，即可解题．
【小问1详解】
由扇形统计图可知日销售量件天数占比，
且日销售量件天数为天，
该月的天数为（天），
，
解得．
【小问2详解】
（件），
该月内此商品的日平均销售量为件．
【小问3详解】
由条形图可知，
从小到大排列，位于中间的两个数值均为，
中位数位，
，
众数为．
【小问4详解】
众数唯一，
该天的销售量不是件，
日销售量这组数据的中位数不变，且原中位数为，
该天的销售量不低于件，
该时段内的日销售量均不大于件，
该天的销售量为件．
19. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为秒．
（1）___________；（用含的代数式表示）
（2）___________；（用含的代数式表示）
（3）当在上运动时，若以点、、为顶点的三角形与相似，求的值；
（4）设点是的中点，当与的一边垂直时，直接写出的值．
【答案】（1）10； （2）或
（3）或
（4）或或
【解析】
【分析】（1）在中，根据勾股定理求出即可；
（2）由线段和差关系可求解；
（3）依题意得，，则．再根据得，当点、、为顶点的三角形与相似时，有以下两种情况：①当时，②当时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出的值即可；
（4）先求出，再分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出的值即可．
【小问1详解】
解：中，，，，
由勾股定理得：，
故答案为：10．
【小问2详解】
解：由题意得，
∴当点在上时，，
当点在上时，，
∴综上所述：为或．
故答案为：或．
【小问3详解】
解：依题意得：，，
则．
∵，
∴当以点、、为顶点的三角形与相似时，有以下两种情况：
当或时，以点、、为顶点的三角形与相似时，
此时点在线段上运动；
当时，如图1所示
∵，
∴，
∴，
解得：
当时，如图2所示：
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴当以点、、为顶点的三角形与相似时，的值为或．
【小问4详解】
解：∵点为的中点，
∴．
依题意有以下三种情况：
当时，如图3所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，如图4所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，如图5所示
∵，
∴，
∴，
．
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：．
综上所述：当与的一边垂直时的值为或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，列代数式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题关键．
20. 瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）应在地面上距点B约远的A处开始斜坡的施工
（2）能，见解析
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
（1）根据坡度的概念，由，即可解答；
（2）过点作于点，由，求出CE，再与货车高度比较即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：，,
∵在中，，
∴
答：应在地面上距点B约远的A处开始斜坡的施工；
【小问2详解】
能，
理由如下
如图，过点作于点，
则,
∴，
在中，
，
∵
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
21. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为．
①直接写出关于的函数关系式；
②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）①，②60元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式；
②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：①依题意，得：
；
②依题意，得：
，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴．
答：该品牌头盔的实际售价应定为60元．
22. 如图，在中，，，点D，E分别是边，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
问题1 当时， _____．
问题2 当时， _____．
问题3 试判断∶当时，的大小有无变化？请根据如图的情形给出证明．
问题4 当旋转至A，D，E三点共线时，求线段的长．
【答案】问题1：；问题2：；问题3：当时，的大小没有变化，见解析；问题4：的长为或
【解析】
【分析】问题1利用勾股定理求出的长，根据三角形中线定义可得：，，即可求出的值；
问题2先根据旋转的性质求出，，即可求出的值；
问题3证明，可得可得答案；
问题4 分两种情况讨论，由矩形的判定和性质以及相似三角形的性质可求的长．
【详解】问题1
当时，
∵，
∴，
∴，
∵点D、E分别是边、的中点，
∴，，，
∴，
故答案为：；
问题2
如图1，
当时，
∵将绕点C按顺时针方向旋转，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
问题3
如图2，
当时，大小没有变化，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
问题4
①如图3，
∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
②如图4，
∵，，，
∴，
∵点D、E分别是边、的中点，
∴，
∴，
由问题3 可得，
∴
综上所述，或