江苏省连云港市新海初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省连云港市新海初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分时间：120分钟）
友情提醒：试卷中所有答案都必须书写在答题卡指定的位置上，答案写在试卷上无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可得出结论．
【详解】解：A、化简后得，是一元一次方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、，当，时是一元一次方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m方程，通过解方程可以求得m的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴m=1；
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：方程、，均为常数且的解是，，
对于关于的一元二次方程的解，
即或，
即，，
关于的一元二次方程的解是，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
4. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
5. 下列说法中正确的说法有（ ）个
①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤圆周角的度数等于圆心角的一半；⑥直径所对的圆周角是直角．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．
【详解】①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误；
④平分弦（不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故④错误；
⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故⑤错误；
⑥直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意．
故正确的是①⑥，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．
6 圆内接四边形中，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补可知，根据可得的值，结合即可得到的度数．
【详解】解：∵内接四边形，
∴
∵，
∴，
∴，
．
等于．
故选：B．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．
7. 如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】D
【解析】
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
8. 如图，已知是的一条弦，直径与弦交于点，且，已知，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于，由相交弦定理可求的长，再由垂径定理可求的长 ，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，相交弦定理，勾股定理，解题的关键是作于，构造直角三角形从而运用勾股定理解决问题．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 方程的根是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】移项后分解因式得出x（3x-1）=0，推出方程x=0，3x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】解：3x2-x=0，
x（3x-1）=0，
x=0，3x-1=0，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解此题的关键是把一元二次方程转化成一元一次方程．
10. 如图，、、是上三点，，则______．

【答案】##65度
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结论．
【详解】解：与是同弧所对的圆心角和圆周角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
11. 建设美图城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，则所列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据利用2021年投入资金金额=2019年投入资金金额，即可得出关于x的一元二次方程
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12. 直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可．
【详解】解：如图，连接、，

直径为，
，
而，
，
为等边三角形，
，
即弦所对的圆心角是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
14. 已知，是方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系和方程的解得到，，，，将原式化简得到，再代入求值即可．
【详解】解：，是方程的两根，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若，是一元二次方程的两根时，，，是解答本题的关键．
15. 图1为一圆形纸片，、、为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点，如图2所示，若为，则的度数______．

【答案】
【解析】
【分析】由折叠的性质得到：，又是圆的直径，即可求出的度数．
【详解】解：由折叠性质可得：，
，
，
为直径，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到．
16. 已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解．
【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，

∵点P为矩形内一点，且，
∴点P在的劣弧上运动，
∵点绕点逆时针旋转到点，
∴，，
∴
∴当最小时，，
连接，交于P，此时，最小，则也最小，
在中，∵，，
∴，
∴，
过点O作于E，交延长线于F，
∴，
∵，，
∴
∵矩形
∴
∴
∴四边形正方形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
【答案】x=1或x= -3
【解析】
分析】移项，利用直接开平方法，求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴x+1=2或x+1=-2，
解得x=1或x= -3．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
18. 解方程：（公式法）
【答案】，
【解析】
【分析】先定系数，再判断判别式，最后代入求根公式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，，
∴，
∴，
∴，；
【点睛】本题考查求根公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握．
19. 解方程：（配方法）
【答案】，
【解析】
【分析】把常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边配方为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】解：
或
，．
【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，利用配方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移项到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
20. 已知：关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）若为方程的一个根，且满足，求整数的值．
【答案】（1）见解析 （2）、、
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可；
（2）利用因式分解法求得、，利用得出，据此求得的取值范围，从而得出答案．
【小问1详解】
证明：
，
无论为何值，方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：
，
或，
即、，
，
，
解得：，
则整数的值为、、．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
21. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，即可解答．
【详解】证明：连接AC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质、圆周角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 如图，在单位长度为的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：

（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为_____；
（2）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过______个格点；
（3）判断点与的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析，
（2）
（3）在圆的外部，理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别作，的垂直平分线，两线交于点，为该圆弧所在圆的圆心；
（2）先求出圆的半径，若在整个平面直角坐标系网格中画出该圆，圆上的点且经过网格点需要满足半径为，故过作平行于轴或轴的直线找到网格点且过该点作平行于轴或轴的直线，能构成两条直角边为和的直角三角形时，即为该圆经过的网格点；
（3）求出的长与圆的半径作比较即可判断
【小问1详解】
解：如图，分别作，的垂直平分线，两线交于点，为该圆弧所在圆的圆心，

，
故答案为：；
【小问2详解】
由图可知，
圆的半径，
若在整个平面直角坐标系网格中画出该圆，圆上的点且经过网格点需要满足半径为，故过作平行于轴或轴的直线找到网格点且过该点作平行于轴或轴的直线，能构成两条直角边为和的直角三角形时，即为该圆经过的网格点，如图共有个，它们为，，，，，，，，

故答案为：；
【小问3详解】
，，
，
点与的位置关系为：在圆的外部．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，直角坐标系中点的坐标．
23. 已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，

（1）求的长；
（2）若，求的度数；
（3）若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是______．
【答案】（1）；
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）过作交于点，根据垂径定理得到，结合勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据得到，结合三角形内角和得到，根据即可得到答案；
（3）根据点到直线距离垂线段最短即可得到答案；
【小问1详解】
解：过作交于点，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，，，
∴；
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，点到直线的距离垂线段最短，求弧长解题的关键是熟练掌握．
24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（3）如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时为多少米？
【答案】（1）能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是：20，或，；
（2）不能围成一个面积为的羊圈；
（3）为米时围成一个面积最大的矩形羊圈；
【解析】
【分析】（1）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案；
（2）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案；
（3）设面积为表示出与出解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得，
，
解得：，，
答：能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是：，或，；
【小问2详解】
解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得，
，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴不能围成一个面积为的羊圈，
答：不能围成一个面积为的羊圈；
【小问3详解】
解：设面积为，由题意可得，
，
∵，
∴当时，最大，，
∴为米时围成一个面积最大的矩形羊圈；
【点睛】本题考查一元二次方程解决应用题及二次函数解决应用题，解题关键是根据题意找到等量关系式．
25. 在花博园附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆元，销售价为每盆元的某盆栽平均每天可售出盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价元，那么平均每天就可多售出盆，设每盆降价元．
（1）现在每天卖出_____盆，每盆盈利_____元（用含的代数式表示）；
（2）求当为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利元，同时又要使顾客得到较多的实惠．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可；
（2）根据题意列出方程，即每盆盆栽的利润销售量总盈利，再求解，把不符合题意的舍去．
【小问1详解】
解：设每盆降价元，
由题意得：每天卖出的盆栽数为：盆，
每盆的盈利数为元，
故答案为：，；
【小问2详解】
设每盆降价元，
由题意得：，
解得：，，
要使顾客得到较多的实惠，应取．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26. 如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点分别从点出发向右移动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒1个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动．

（1）请你在图1中，求出2秒时的线段的长度：
（2）如图2，在动点运动的过程中，当运动时间为何值时，？
（3）在动点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，再根据图形利用勾股定理求解即可．
（2）构建方程求解即可．
（3）分三种情形，分别构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，

由图可得；
【小问2详解】
解：由题意，得，
解得．
【小问3详解】
解：如图2中，作于，则，

在中，，即，
①当时，，；
解得，或8（舍去）；
②当时，，；
解得，；
③当时，，；
整理得，，
∵；
无解．
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，网格与勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27. 【概念回顾】我们知道圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点组成的平面图形．由此可知，如图①，若，则点A、、均在以为圆心，为半径的圆上．

【知识运用】
如图②，在中，．将绕顶点A逆时针旋转，得到，连结、．
（1）若，求的大小．
（2）若，，当时，四边形面积的最大值为______．
【拓展应用】
如图③，将边长为7的等边绕顶点逆时针旋转，得到，点为中点．过点作交于点，当时，则长的取值范围是______．
【答案】（1）；（2）；拓展应用：；
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补直接求解即可得到答案；
（2）根据三角形的面积及直角三角形斜边大于直角边得到当时面积最大，即可得到答案；
（3）连接，取的中点O，连接，，可推出，从而点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上，可推出，点G弧上运动，当是的直径时，最长，当时，最小，解求得的最小值．
【详解】解：（1）∵绕顶点A逆时针旋转，得到，，
∴，
∴、、、在以点A为圆心的圆上，
∴，
∵，
∴；
（2）如图1，
作于，作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵绕顶点A逆时针旋转，得到，
∴，
∵，
又∵，
∴当即与重合时最大，
∴
；
拓展应用：
如图2连接，取的中点O，连接，，

∵，点为中点，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
，
∴点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图3所示，

点G在上运动，当运动时，
，
当时，最小，
作于，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据条件确定共圆．