2024-2025学年人教版九年级上册数学期末测试综合练习题（解析版）-A4

这是一份2024-2025学年人教版九年级上册数学期末测试综合练习题（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了 下列说法中，正确的是， 已知是抛物线等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “打开电视，正在播放电视剧”是必然事件
B. “若a，b互为相反数，则”，这一事件是随机事件
C. “抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是7”，这一事件是不可能事件
D. “泉州明天降雨的概率是”意思是泉州明天有的时间在降雨
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，正确理解各类事件的概念是解题的关键．根据必然事件，随机事件和不可能事件的概念，即可得到答案．
【详解】A、“打开电视，正在播放电视剧”是随机事件，所以选项A错误，不符合题意；
B、“若a，b互为相反数，则”，这一事件是必然事件，所以选项B错误，不符合题意；
C、“抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不可能是7”，所以选项C正确，符合题意；
D、“泉州明天降雨的概率是”，并不意味着泉州明天有的时间在降雨，所以选项D错误，不符合题意．
故选：C．
2. 如图，教室里的水平地面有一个倒地的灰斗，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（将灰斗绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，灰斗柄绕点C旋转了（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，求出的度数，找出旋转角即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，
且，
旋转角为．
故选A．
3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. ≤B. ≥C. D. ≤且
【答案】A
【解析】
【分析】一元二次方程有两个实数根，则Δ≥0根据性质列不等式即可得到答案．
【详解】关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程有实数根，则Δ≥0”是解题的关键．
4. 某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，
∴则A，B两名志愿者被选中的概率为，
故选：B．
5. 若关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间关系，关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
∴四个选项中只有B选项中的数不满足，
故选B．
6. 若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（ ）
A. B. 5C. 或5D. 2或
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．设方程的两根分别为，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由两根互为相反数，可得，即可求解．
【详解】解：设方程的两根分别为，
∴，
∵一元二次方程的两根互为相反数，
∴，
解得：，
当时，原方程为，
此时方程无解，故不符合题意，舍去；
当时，原方程为，
此时，
即两根之积是．
故选：A
7. 如图，矩形在外接圆与水平地面相切于点，已知圆的半径为4，且．若在没有滑动的情况下，将圆向右滚动，使得点向右移动了，则此时与地面相切的弧为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长以及圆转动的周数，根据题意分别求出和的长，比较即可得到答案．
【详解】解：∵圆O半径为4，
∴圆的周长为：，
∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了，
∴，
即圆滚动6周后，又向右滚动了，
∵矩形的外接圆O与水平地面相切于A点，，
∴，，
∴此时与地面相切的弧为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键．
8. 如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．
9. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
10. 如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断；③证明，可作判断；④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断．
【详解】解：①平分，
，
，
是的直径，
是半圆的中点，即点是定点；故①正确；
②是的直径，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为，故②正确；
③，
，
平分， 平分，
，，
，，
，
，
为的外心，故③正确；
④，
，
即的最大值为，故④正确；
综上，正确的结论有4个．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 已知函数的图象是抛物线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 如图，与正六边形的边，分别相切于点C，F．若，则的半径长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点O作于点M，解直角三角形即可得出结论．
【详解】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H，
，
是的切线，
，
多边形是正六边形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
过点O作于点M，
，
，
的半径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则_______．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点作于点F，则，可证，于是，．设，在中，由勾股定理得，解得，于是．
【详解】解：过点作于点F，则，
∵，，
∴．
又，
∴.
∴，．
设，矩形中，，
，
在中，，解得，
∴．
故答案为：2．
15. 如图，已知点，为抛物线上的动点，点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，点，则线段的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接交与点，首先得出当点N运动到点时，有最小值，即的长度，，当的长度最小时，取得最小值，然后根据题意得到，表示出，然后利用二次函数的性质求出当时，取得最小值，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接交与点，
∵点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，
∴当点N运动到点时，有最小值，即的长度，
∵
∴当的长度最小时，取得最小值，
∵点，为抛物线上的动点，
∴
∴
∵，
∴
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∴当时，取得最小值，
∴，负值舍去，
∴此时
∴线段的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质和圆综合题，勾股定理，解题的关键是正确表示出．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
（1）先配方，再直接开平方求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：，
配方得：，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
或，
．
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，．
（1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解；
（2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：的两个实数根为，
，，
与的函数关系式为：．
18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．

（1）将向下平移3个单位长度得到，画出；
（2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出；
（3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，、，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可；
（3）证明为等腰直角三角形，求出，，根据旋转过程中扫过的面积等于的面积加扇形的面积即可得出答案．
【小问1详解】
解：作出点A、B、C平移后的对应点，、，顺次连接，则即为所求，如图所示：
【小问2详解】
解：作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为．
【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．
19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）图中阴影部分的面积
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
【小问2详解】
解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
20. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1），见解析；
（2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）利用画树状图法求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；
小问3详解】
解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）销售单价为40元或60元
（3）销售单价为50元时，利润最大，最大利润为800元
【解析】
【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质．
（1）运用待定系数法求解即可，设y与x之间的函数关系式为，将点，代入，求出k，b的值，即可解答；
（2）由题意，利润，将代入，求解即可解答；
（3）根据二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
∵该函数的图象过，，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意，设利润为w，则，
∴当时，，
解得，，
∴销售单价为40元或60元．
【小问3详解】
解：由（2）得到，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元．
22. 在中，，，为平面内的一点．
（1）如图1，当点在边上时，，且，求的长；
（2）如图2，当点在的外部，且满足，求证：；
（3）如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将沿折叠，得到，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可；
（2）过作，且，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可；
（3）连接交于G，证明出，得到，然后证明出为直角三角形，点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，然后利用三角形中位线和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，将沿折叠，得到，连接，

∵，
∴，
将沿折叠，得到，
∴
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，为等腰直角三角形
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，过作，且，连接，

∵
∴，
又∵，
∴
∴
又∵，
∴，，即
，，
∴
∴；
【小问3详解】
如图3，连接交于G点
∵绕A点旋转
∴，，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴为直角三角形
∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，
当时，点P到直线的距离最大，
∵
∴A、P、B、C四点共圆
∵，
∴N是的中点
∵M是中点
∴
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴点P到所在直线的距离的最大值为 ．
∴的面积最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键．
23. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．

（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点G的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
【小问2详解】
解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．

∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下图，

抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，
设，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
【小问3详解】
解：存在，点的坐标为或．
如下图，连接，，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，，，
∴，，点与点关于对称轴x=1对称，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
如下图，连接，，，

同理可证：是等边三角形，是等边三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．