安徽省六安市金安区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省六安市金安区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共24页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质直接计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
设
∴，
故选：A．
2. 当时，下列函数中，随的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可得解，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、在中，，则当时，随的增大而减小，故不符合题意；
B、在中，，则当时，随的增大而减小，故不符合题意；
C、在中，，对称轴为直线，则当时，随的增大而减小，故不符合题意；
D、在中，，对称轴为直线，则当时，随的增大而增大，故符合题意；
故选：D．
3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP的长为（ ）
A. B. 3﹣C. ﹣1D. ﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度．
【详解】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．
4. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识；根据题意得，利用一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：令，
由于抛物线与轴只有一个公共点，
所以方程有两个相等的实数根，
即，
解得：；
故选：A．
5. 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系左面抛物线可以用表示，则右面抛物线的表达式是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线开口方向和大小不变，顶点坐标关于轴对称，即可求解．
【详解】解：∵左面抛物线可以用表示，
∴顶点坐标为
则右面抛物线的顶点坐标为
∴右面抛物线的表达式，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握顶点式是解题的关键．
6. 在如图所示的平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为，则与的周长比是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查位似变换，相似三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键．
根据位似变换的概念得到，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：与是以为位似中心位似图形，
与的相似比是，
故与的周长比是，
故选A．
7. 已知反比例函数图像上三点、、，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，先判断，再利用反比例函数的图像与性质可得答案；
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图像在一，三象限，在每一象限内随的增大而减小；
而，
∴，，
∴；
故选：C．
8. 如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：D．
9. 如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，
【详解】解：如图所示，过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，设利用得到三角形相似，对应线段成比例，求出从而得到即可得出结果．
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
设
即
即
即
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形相似，得出对应线段成比例，由线段平行，得出三角形相似是解本题的关键．
10. 如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，其中一个交点在轴上，另一个交点在轴上，则函数的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数综合，根据图象可知，，再结合一次函数与二次函数的交点情况，以及二次函数的平移规律判断出函数的图像特点，即可解题．
【详解】解：由图知，二次函数开口向下，
，
二次函数对称轴在轴左侧，
，
二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，
，即有两个根，
，
开口向上，即函数开口向上，
由图知，与轴交与点，
可看作向上平移2个单位，
函数与轴交点在右侧，
，
函数对称轴在轴左侧，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___．
【答案】a≤2
【解析】
【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上，
∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大，
故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大，
所以a的取值范围为a≤2．
故答案为a≤2．
13. 如图，已知矩形的两点C、D在反比例函数的图象上，点A和点B都在坐标轴上，且B的坐标为1,0，，则_____．
【答案】##
【解析】
分析】如图，过作于，过作于，可得，，证明，可得，，同理可得：，，设，，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，过作于，过作于，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，，
同理可得：，，
∴设，，
∴，，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键.
14. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时．
（1）当时，则______；
（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______．
【答案】 ①. ## ②. 4
【解析】
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
，
即，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵P为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，
∵，，，
∴，
根据垂线段最短可知，当时，此时，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 如图是二次函数的图象，其中．试求该抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查待定系数法求二次函数解析式．根据求出h的值，即可确定出解析式．
【详解】解：由题意，得，
，
∴，
将点代入抛物线解析式，得，
解得：或0（不合题意，舍去），
∴该抛物线的解析式为．
16. 如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米．
（1）求v关于t函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）；
（2）若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．．
（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，得，
∴．
【小问2详解】
解：依题意，（小时），（小时）
∴至时间长为小时，至时间长为6小时，
则将代入得；将代入得．
∴汽车行驶速度v的范围为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为O0,0，，．
（1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为；
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）是，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换．
（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所作图形；
【小问2详解】
解：如图，即为所作图形；
【小问3详解】
解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
（1）若点是“完美点”，则_____；
（2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式．
【答案】（1）1 （2）该“完美函数”的表达式为：或
【解析】
【分析】（1）由定义可得，求出的值即可；
（2）根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点到原点的距离为2求出的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：点是“完美点”，
，即，
解得：，
故答案为：1；
【小问2详解】
解：某“完美函数”的顶点在直线上，
设函数的顶点为，
该函数为“完美函数”，
，
解得：，
，
该函数的顶点为，
设二次函数的解析式为，
令，则，
该函数与轴的交点到原点的距离为2，
，
解得：或，
或
该“完美函数”的表达式为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
20. 在中，，是边上的中线，点D在射线上．
（1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ．
（2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【小问2详解】
解：如图2：过点A作，交的延长线于点F，
设，由得．
∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为
（2）4 （3）或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【小问1详解】
解：将，代入，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入，得，
∴反比例的解析式为；
【小问2详解】
解：对于，
当时，
∴点D的坐标为0,4，
由，解得或，
∴点B的坐标为，
∴的面积；
【小问3详解】
解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或．
七、解答题（本题满分12分）
22. 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．
（1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②求矩形的面积的最大值．
（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由．
【答案】（1）①；②矩形的面积最大为
（2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键；
（1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解；
（2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：①∵的长为，
的长为，
；
②∵甲中的长不超过墙长，
，
由可知：
，
时，随的增大而增大，
当时，矩形的面积最大，最大为；
【小问2详解】
解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下：
乙方案中，设的长为，矩形的面积为，
则，
方案乙中的长大于墙长，
，
，
，
，
当时，矩形的面积最大，最大为，
，
乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图①，在锐角中，D，E分别是、的中点，点F在上，，交于点M．
（1）求证：；
（2）点G在上，且，如图②，求证：；
（3）在图②中，（2）的基础上，取上一点H，使，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和等角对等边证明即可；
（2）根据三角形的中位线性质和平行线的性质证得，再根据已知和三角形外角性质证得，再根据相似三角形的判定即可证的结论；
（3）根据相似三角形的判定与性质证明和证得和，再证明四边形为平行四边形证得，进而得到即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴；
【小问2详解】
∵D、E分别是、的中点，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴；
【小问3详解】
如图，
由①得．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∵，．
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及三角形在外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．