江苏省苏州市姑苏区平江中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省苏州市姑苏区平江中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共25页。
A. 点在圆外B. 点在圆上C. 点在圆内D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此作答．
【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为，
又∵，
∴点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故选：C．
2. 如图所示，⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
A. 150°B. 75°C. 60°D. 15°
【答案】B
【解析】
【详解】∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
3. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．
∴，OC==13，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
4. 如图，点是的优弧上一点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：，，
，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
5. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）
A. 6B. 5C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
【详解】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长=3,故选：C
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
6. 如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出
【详解】切线性质得到
故选D
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
7. 如图，在中，．以为直径的交于点D．E是上一点，且，连接．过点作，交的延长线于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理．连接，先根据圆周角定理得到，再根据弧、弦、圆心角的关系得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
连接，如图，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图，的弦交于点，已知是的中点，，那么的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理．连接，易证，得到，然后利用已知条件即可求出．
【详解】解：如图，连接，则，，

∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴．
故选：B．
9. 如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，
在Rt△BDC中，cs∠BDC=
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cs∠BAC=cs∠BDC=
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
10. 如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. ﹣B. ﹣2C. π﹣D. ﹣
【答案】A
【解析】
【分析】过O作OECD于点E，根据AB是⊙O的切线，得出∠ABO=90°，求出即可．
【详解】如图，过O作OECD于点E，
AB是⊙O的切线，
∠ABO=90°，
∠A=30°，
∠AOB=60°，
∠COD=120°，
OC=OD=2，
，
OE=1，CD=2DE=，
．
故选A．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角形的面积，阴影部分的面积，掌握扇形的面积，三角形的面积，阴影部分的面积世界关键．
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11. 若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4 cm，以点C为圆心，以3 cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是_____
【答案】相交
【解析】
【详解】试题分析：欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径3cm进行比较．若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线于圆相切；若dd,
∴⊙C与AB的位置关系是：相交
故答案为相交
考点：直线与圆的位置关系．
13. 如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则______．

【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理．如图，连接，证明，求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，从外一点引的两条切线、，切点分别是、，若，是弧上的一个动点（点与、两点不重合），过点作的切线，分别交、于点、，则的周长是________．
【答案】
【解析】
【分析】由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB,表示出△PED的周长即可解题.
【详解】解：由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB；
所以△PED的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm．
【点睛】本题考查了圆的切线,属于简单题,熟悉圆的切线长定理是解题关键.
15. 如图，在中，，，，则的内切圆半径______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
16. 如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 过作于，利用正六边形性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 过作于，
正六边形,





故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
17. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是________（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接OD，OE，证明 可得 再证明 可得 再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴





∵与边AB相切于点D，
∴
∴


的长
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=9，BC＝4，，以点C为圆心3为半径作⊙C分别交AC，BC于D，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．
【详解】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴＝，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ＝AP，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，
Rt△BCQ中，BC＝4，CQ=1，
∴QB＝，
∴PA+PB的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，解题的关键是利用三角形相似将PA转化为PQ．
三．解答题（共8小题，共76分）
19. 已知关于的方程．有一个实数根是，求此方程的另一个根以及的值．
【答案】；．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入可求出的值，再利用两根之和等于，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
【详解】解：当时，原方程为，
解得：，
设方程的另一个实数根为，
∵，
∴，
∴方程的另一个根为，的值为．
20. 为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为 ，图①中m的值为 ，众数为 次；
（2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校300名男生中该项目良好的人数．
【答案】（1）50， 22， 5
（2）162人．
【解析】
【分析】本题考查众数、扇形统计图、条形统计图以及样本估计总体，理解众数，掌握样本估计总体的计算方法是解决问题的前提．
（1）将7次的人数除以所占百分比得男生人数，用1减去各部分的百分比可求得m的值，进而求得众数；
（2）求出样本中“良好”所占的百分比，估计总体的百分比，进而求出“良好”的人数
【小问1详解】
解：（名），
，即，
∴，
∴5次出现的次数最多，众数为5次，
故答案为：50，22，5；
【小问2详解】
解：（人），
答：该校300名男生中该项目良好的人数大约为162人．
21. 如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，求CD的长度．
【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明；
（2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得CD即可；
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，
证明过程如下：
为的直径，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
【小问2详解】
解：等腰直角三角形，
，
，
中，，，则，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
22. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【小问1详解】
解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
【小问2详解】
如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
23. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____；
（2）连接、，则的半径长为______，的度数为______；
（3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_______．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）2，90°
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出点位置，结合图形得到点的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【小问1详解】
解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点，
则点即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
圆的半径长，
，
，
，
则，
，
故答案为：；90；
【小问3详解】
设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得，．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
24. 如图，直线与相切于点，为的直径，，是直径右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点作，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）设，．求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当为何值时，取得最大值，最大值为多少？
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）当时，取得最大值，最大值为．
【解析】
【分析】（1）由圆的切线的性质和直径所对的圆周角为直角，得出，再根据，即可证明结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得与的函数关系式；
（3）将代入得到关于的二次三项式，再利用配方法求出最大值即可．
【小问1详解】
证明：直线与相切于点，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：，
，
设，，
，
，
，
即与的函数关系式为；
【小问3详解】
解：由（2）可知，
，
当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
25. 如图，是的直径，是弦，点在圆外，于D，交于点，连接、、，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据可得，再由，可得，从而得到，再根据圆的切线的判定，即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质证明得出，再得出，进而结论可证；
（3）根据题意可得：，设，，则，根据，可得，再证得，可得，即可．
【小问1详解】
证明： ∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线，相似三角形的判定与性质、正切值、圆周角定理等知识．解题的关键在于找出相似三角形，求出边之间的数量关系．
26. 如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动．⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动，已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．
（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；
（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；
（3）如图②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．
【答案】（1）a+2b；（2）20cm；（3）见详解.
【解析】
【分析】（1）由题意可直接求得；
（2）根据圆O移动的距离与P点移动的距离相等，P点移动的速度相等，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据速度与时间的关系，可得答案；
（3）根据相同时间内速度的比等于路程的比，可得的值，根据相似三角形的性质，可得∠ADB=∠BDP，根据等腰三角形的判定，可得BP与DP的关系，根据勾股定理，可得DP的长，根据有理数的加法，可得P点移动的距离；根据相似三角形的性质，可得EO1的长，分类讨论：当⊙O首次到达⊙O1的位置时，当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，根据的值，可得答案．
【详解】（1）∵点P从A→B→C→D，
∴点P移动的长度=AB+BC+CD=（a+2b）cm
故答案a+2b
（2）∵圆心O移动的距离为2（a-4）cm，
由题意，得
a+2b=2（a-4）①，
∵点P移动2秒到达B，即点P2s移动了bcm，点P继续移动3s到达BC的中点，
即点P3秒移动了acm．
∴②
由①②解得
，
∵点P移动的速度为与⊙O移动速度相同，
∴⊙O移动的速度为
=4cm（cm/s）．
这5秒时间内⊙O移动的距离为5×4=20（cm）；
（3）存在这种情况，
设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s，
由题意，得，
如图：
设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，
若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．
易得△DO1G≌△DO1H，
∴∠ADB=∠BDP．
∵BC∥AD，
∴∠ADB=∠CBD
∴∠BDP=∠CBD，
∴BP=DP．
设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm，
在Rt△PCD中，由勾股定理，得
PC2+CD2=PD2，即（20-x）2+102=x2，
解得x=
此时点P移动的距离为10+=（cm），
∵EF∥AD，
∴△BEO1∽△BAD，
∴即
EO1=16cm，OO1=14cm．
①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm，
此时点P与⊙O移动的速度比为=
∵
∴此时PD与⊙O1不能相切；
②当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，⊙O移动的距离为2（20-4）-14=18cm，
∴此时点P与⊙O移动的速度比为==
此时PD与⊙O1恰好相切．