江苏省泰州市靖江市八校联考2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省泰州市靖江市八校联考2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（每题3分，共18分）
1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义 “只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程”，据此逐个判断即可，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断．
【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意；
C、整理为，是一元二次方程，符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2. 如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有选项C错误，符合题意．
故选C．
3. 如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．
【详解】∵，
∴，
、添加，不能判定，此选项符合题意；
、添加，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”能判定，此选项不符合题意；
、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意；
、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意；
故选：．
4. 如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的圆周角定理的应用，弧长的计算；先求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴弧的长，
故选：B．
5. 用配方法解方程时，原方程变形正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，方程移项，配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：方程变形得：，
配方得：，即，
故选：A．
6. 如图，在矩形中，以点A圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式．
首先由正方形的性质得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可．
【详解】解：在矩形中，
，
∵，
是等腰直角三角形，
，，
，
扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长，
圆锥的底面圆的半径为，
，
解得．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共30分）
7. 已知是方程的两个实数根，则式子的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键．
先根据根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：2．
8. 已知a，b，m，n是成比例线段，其中，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查线段成比例的问题． 根据线段成比例，则可以列出比例式，，代入数值求解即可．
【详解】解：∵线段a，b，m，n是成比例线段，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
9. 已知二次函数，当时，的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则当时，函数有最小值为，再计算出当、时的值，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，函数有最小值为，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
10. 黄金分割在我们生活中应用广泛，如主持人站在舞台的黄金分割位置会更自然得体．已知线段长为8，C是上的一个黄金分割点，且，则AC的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．由黄金分割的定义得，即可得出结论．
【详解】为的一个黄金分割点，，且，
，
故答案为：．
11. 若一个扇形的半径是4，圆心角是，则这个扇形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查计算扇形面积，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：这个扇形的面积是：，
故答案为：．
12. 如图，的中线和中线相交于点G，如果，那么图中阴影部分的面积是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了重心的性质、三角形面积的计算；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，即可得出结果．
【详解】解：连接并延长交于，则为的中线，
的三条中线、，交于点，
，，
，
，，
．
故答案为：4．
13. 在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，若测得坡道的坡度为，则相邻两树间的坡道距离为_________．
【答案】
【解析】
【详解】如图，坡度为，即．
【易错点分析】如果对株距、坡度、坡道距离不理解，就不能正确画出图形，不能够准确地把实际问题转化为解直角三角形的问题．
14. 如图，圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，勾股定理，首先根据底面半径，高，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径，高，
∴母线，
∴，
故答案为：．
15. 如图，，分别与相切于，，切于，已知，的半径为，则的周长是________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理；利用勾股定理求得切线的长，再根据切线长定理可知，，，进而可求出结果．
【详解】解：连接．
∵，与相切，
∴，，
在中，
由勾股定理可得．
根据切线长定理可得，，，
所以的周长．
故答案为：．
16. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据圆周角定理说明当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，再过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M，
，进而得到，然后利用直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．掌握圆周角定理、垂径定理以及正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，
过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M，
∵，
∴，
∵，，
∴,
∵，
∴
设，则，
∴，解得，即，
在中， ．
故答案为：．
三、解答题（共102分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算顺序及运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
18. 先化简再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则将式子化简，再解一元二次方程，选择合适的值，代入化简后的式子进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则以及解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：
，
，
，
解得：，，
当时，，故不符合题意，
当时，原式．
19. 已知关于x方程
（1）求证：无论k取何实数时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）的周长为9．
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式及因式分解法解一元二次方程．
（1）计算方程的根的判别式，若，则方程总是有实数根；
（2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：①若为底边，则为腰长，，，
∴，
解得：，
此时原方程化为，
∴，即，
此时三边为4，1，1不能构成三角形，故舍去；
②若为腰，则中一边为腰，
把代入方程，，
∴，
则原方程化为，
，
∴，，
此时三边为4，4，1能构成三角形，
综上所述：三边为4，4，1，
∴周长为．
20. 学校开展“书香校园征文比赛”活动，为了解学生参与情况，在该校随机抽取了甲、乙、丙、丁四个班级的学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成如图和如图两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）这四个班参与活动的学生共有 人；
（2）请你补全条形统计图，并求出扇形统计图中甲班所对应扇形的圆心角；
（3）若四个班级的学生总数是160人，全校共2400人，请你估计全校参与这次活动的学生大约有多少人．
【答案】（1）100；（2）图详见解析，108°；（3）1500.
【解析】
【分析】（1）根据乙班参赛20人，所占比为20%，即可求出这四个班总人数；
（2）用四班总人数减去甲乙丁班的人数，即可得出丙班参赛得人数，从而补全统计图；根据甲班级所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【详解】（1）这四个班参与大赛的学生数是：20÷20%=100（人）；
（2）100-30-20-35=15（人）
如图，
扇形统计图甲班所对应扇形的圆心角度数为：
（3）2400×＝1500
答：估计全校的学生中参与这次活动的大约有1500人.
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
【答案】（1）2、3两个月的销售量月平均增长率为
（2）这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握增减率模型和总利润=单件利润×数量，是解题的关键．增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设降价y元，
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴这种台灯售价定为（元），
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元．
22. 如图，的斜边在直线l上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上．
（1）画出点的对应点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）已知，点运动到点的位置时，点经过的路线长为______．（结果保留）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，弧长公式．
（1）以点为圆心，长为半径作弧，交于点；过点作直线的垂线；以为圆心，长为半径作弧，在直线上方交直线于点，然后顺次连接即可；
（2）利用补角的性质得到，再利用弧长公式列式计算即可得解．
【小问1详解】
解：如图所示；
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴点经过的路线长为，
故答案为：．
23. 某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，于点B，在C处测得气球A的仰角为，向前走140米到达点D，在D处测得气球A的仰角为，求的高度．
（参考数据：，，）

【答案】的高度约为640米
【解析】
【分析】设，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出，的长度，利用列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设，
在中，
，
．
在中，
，
，
．
，
，
解得：．
的高度约为640米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形的边角关系定理选择恰当的关系式是解题的关键．
24. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
【答案】（1）证明见解析
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，则，由此即可证明结论；
（2）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到阿安；
（3）先根据等边对等角和角平分线的定义得到，进而利用三角形内角和推出，则，求出，，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为3；
【小问3详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵半径为2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求不规则图形的面积，等边对等角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，通过连接，证明切线从而构造直角三角形是解题的关键．
25. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，．
（1）求的面积；
（2）在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标；
（3）在（2）条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）如图1，过点B作，交x轴于点D，可证，，可得，可证，可得，可求的长，即可求点D坐标；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，点B的横坐标为1，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴的面积为；
【小问2详解】
解：如图1，过点B作，交x轴于点D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为：；
【小问3详解】
解：如图2，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：；
如图3，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：；
综上所述：当或时，与相似．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
26. 【教材呈现】（1）如图，直线，与的面积相等吗？为什么？
【基础巩周】（2）如图，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】（3）如图，在半径为5的中，，，．求；
【答案】（1）相等，理由见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，扇形面积，勾股定理等，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．
（1）根据等底等高的三角形面积相等可直接得出答案；
（2）根据，，可得阴影面积等于扇形的面积，由此可解；
（3）连接，作于E，通过导角证明，推出，可得，只需求出即可．
【详解】解：（1）与的面积相等，因为与等底等高；
（2）如图，连接，，
，正方形中，
，
，，
阴影面积等于扇形的面积，
四边形是正方形，
，
扇形的面积为：，
阴影面积与圆面积的比值为：；
（3）如图，连接，作于E，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，