陕西省渭南市华州区咸林中学2024-2025学年高二上学期第三次质量检测数学试题

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（试卷共150分，时长120分钟）
第Ⅰ卷(选择题，共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量若则（ ）
A. B. 1C. D. 1
2. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的动漫书，第3层放有2本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法总数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A. C的实轴长为B. C的渐近线方程为
C. C的离心率为D. C的一个焦点的坐标为
4. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为抛物线C上一点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（ ）

A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 圆
7. 已知，，，为空间中不共面的四点，且若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）

A. B. 2C. D. 3
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则.B. 若，则.
C. 若，则.D. 若，则.
10.下列说法正确的是（ ）
A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.
B. 方程表示双曲线.
C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线
D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁
11. 如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（ ）

A. 最小值为.
B. 平面平面.
C. 若是的中点，则二面角的余弦值为.
D. 若，则直线与所成角的余弦值为.
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若-=则n=_______.
13.(1)已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则2a-b在a方向上的投影数量为 .
14.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是中点，则双曲线的离心率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c.
（1）.若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.
（2）.（1）的条件下，求异面直线EG与BD所成角的余弦值.


16.（15分）求下列问题的排列数：
(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；
(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；
(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端.
17.（15分）已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(-，0)的距离与它到定直线l：x=-的距离之比为常数.
(1)求动点M的轨迹Q的方程；
(2)设点A，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程
18.（17分)如图，在四棱锥中，平面为的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19.设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．