广东省湛江市赤坎区2024届九年级上学期期末核心素养发展调研数学试卷(含答案)

这是一份广东省湛江市赤坎区2024届九年级上学期期末核心素养发展调研数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。
（时间：90分钟，满分：120分）
注意事项：
1．请在答题卡指定的位置填写学校、姓名、班级、试室号、座位号．
2．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水到渠成D．不期而遇
3．的直径为10，圆心到直线的距离为3，下列位置关系正确（ ）
A．B．
C．D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
5．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
7．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．，，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．空地上有一段长为米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木棚栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为平方米．若，，则（ ）
A．有一种围法B．有两种围法
C．不能围成菜园D．无法确定有几种围法
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．若是方程的一个根，则______．
12．如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是______．
13．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是______．
15．如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（为任意实数），其中结论正确的有______．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题8分）用适当的方法解下列一元二次方程：．
17．（本小题8分）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用纯碱溶液（碱性）、柠檬水溶液（酸性）、烧碱溶液（碱性）．
（1）小丽同学从这5瓶溶液中随机取一瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，则滴入酚酞溶液后呈现红色的概率为______；
（2）小明从上述5瓶溶液中随机取两瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，请你用列表或画树状图的方法，求选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率．
18．（本小题8分）在如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将绕点顺时针旋转90°，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
19．（本小题9分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
20．（本小题9分）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，延长，交于点．若为的中点，求证：直线为的切线．
21．（本小题9分）请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数（，且为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求关于的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量?最大产量为多少千克？
22．（本小题12分）
老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．
23．（本小题12分）
如图，已知抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点为第二象限抛物线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转90°后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标．
2023—2024学年第一学期九年级（数学）核心素养发展调研
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．2 12． 13． 14． 15．①④⑥
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．解：移项得，，
配方得，，
，
，．
17．解：（1）；
（2）树状图如下：
一共有20种情况，选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的情况有2种，
选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率为：．
18．（1）如图，即为所求．
（2）．
点旋转的路径长．
19．解：（1）如图所示．
（2）依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为．
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点，，解得，
该抛物线的表达式为；
（3）令，得．
解得，（在正半轴，故舍去）．
点的坐标为，
，
由，可得．
小明此次试投的成绩达到优秀．
20．证明：（1）如图，连接，
是的直径，，
，，
，；
（2）如图，连接，
为的中点，
，，，
，，
，，，
，，，
，，，
，，
，即，
为半径，直线为的切线．
21．解：（1）每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
答：关于的函数表达式为，（，为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为千克，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
22．解：，解得：，，
当第三边长是3时，三角形三边长为3，3，4，
如图，，，点为的外接圆，连接，，交于点，
点为的外接圆，，
垂直平分，，
，
设，
，
，解得：，
这个三角形的外接圆面积为；
当第三边长是5时，三角形三边长为3，4，5，
如图，，，，点为的外接圆，连接，
，，，
，，
点为的外接圆，为圆的直径，
，
这个三角形的外接圆面积为；
综上所述，这个三角形的外接圆面积为或．
23．解：（1）抛物线（）与轴交于点和点
，
，，，
，解得：，
所求抛物线解析式为：；
（2）如图2，过点作轴于点，设（）
，，，
四边形，
，
，，
当时，四边形最大，且最大值为．
此时，点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为，点在抛物线的对称轴上，
设，
线段绕点逆时针旋转90°后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，如图，
，，
如图3，过作对称轴于，设对称轴于轴交于点，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
代入
得：，
解得：，，
，
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
B
B
D
D
D
C
A
A