湖北省潜江市2024届九年级上学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份湖北省潜江市2024届九年级上学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共12页。
九 年 级 数 学 试 题
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。非选择题答案必须使用黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A．B．C．D．
2．下列事件中，属于必然事件的是
A．旭日东升B．守株待兔C．大海捞针D．水中捞月
3．若关于x的一元二次方程x2＋（k2）x1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为
A．±2B．2C．2D．不能确定
4．若反比例函数的图象经过二、四象限，则k的取值范围是
A．k＞5B．k＜5C．k≥5D．k≤5
5．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为
A．x（x＋1）＝1560B．2x（x＋1）＝1560
C．x（x﹣1）＝1560D．
6．将抛物线y＝（x1）2＋1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是
A．（3，4）B．（4，3）C．（2，3）D．（1，4）
7．如图，OE⊥弦AB于点E，若⊙O的直径为10cm，OE＝3cm，则AB长为
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm

（第7题图） （第8题图） （第9题图）
8．如图，点P是反比例函数（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于
A．2.5B．10C．10D．5
9．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
10．抛物线y＝ax22ax1过四个点（1＋，y1），（1，y2），（3，y3），（4，y4），若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为
A．a＜B．a≥C．＜a≤ D．＜a＜
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．二次函数y＝x2＋3x＋n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 ．（填一个值即可）
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，
∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则劣弧DC的长为_______．
13．某校为迎接全国“创文创卫”检查工作，从3名教师（其中，2男1女）中随机选择两名教师负责协调全国“创文创卫”的相关检查工作，则恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为 ．
（第14题图）
（第15题图）
B
O
C
y
x
A
14．如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针
旋转（0°＜＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在
BC上时，连接BE，则∠BED的度数是 ．
15．如图，抛物线y＝x26x＋5与x轴交于点A，B，与y轴交
于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，
若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 ．
三、解答题（共9小题，满分75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x24x＋1＝0；
（2）x（2x＋4）＝10＋5x．
17．（6分）如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点
F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC．
求证：OD垂直平分AB．


18．（6分）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
19．（6分）我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝acbd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×52×1＝13．
（1）求[4，3]*[2，6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
20．（8分）如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC 的中点，CD是△ABC的角平分线．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当∠BCD=30°，BC＝时，求阴影部分的面积．
21．（9分）如图，直线y＝kx＋b与双曲线相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（2，0），
点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
23．（10分）如图1，△ABC与△AEF都是等边三角形，边长分别为4和，连接FC，AD为△ABC的高，连接CE，N为CE的中点．
图1 图2
（1）求证：△ACF≌△ABE；
（2）将△AEF绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx－c的图象与x轴交于点A
（3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x＋3交于点D，若点M是直线AC
上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值；
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
潜江市2023－2024学年度第一学期期末考试九年级数学参考答案及评分说明
说明：本评分说明一般只给出一种解法，对其他解法，只要推理严谨，运算合理，结果正确，均给满分；对部分正确的，参照此评分说明，酌情给分.
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 9．D 10．C．
二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11． ﹣3（答案不唯一）（填一个负值即可）. 12． π ． 13． ． 14．45°．
15． 和 ．（填对一个得2分，填对两个得3分）
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（8分=4分＋4分）
解：（1）2x2﹣4x＋1＝0，
x2﹣2x＝﹣， x2﹣2x＋1＝﹣＋1，
即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝± ，
∴x1＝1＋， x2＝1﹣； ………………………………4分
（2）x（2x＋4）＝10＋5x，
2x（x＋2）﹣5（x＋2）＝0，（x＋2）（2x﹣5）＝0，
∴x＋2＝0或2x﹣5＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝． ………………………………8分
17．（6分）证明：如图，连接OC，
∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE，
∴∠OCF＋∠ECF＝90°，
∵OC＝OD，EF＝EC，
∴∠OCF＝∠ODF，∠ECF＝∠EFC，
又∵∠OFD＝∠EFC， ∴∠ODF＋∠OFD＝90°，
∴∠DOF＝90°， ∴OD⊥AB，
∵OA＝OB， ∴OD垂直平分AB； …………………………6分
18．（6分=2分＋4分）
解：（1）； …………………………2分
画树状图如下：共有6种等可能的结果，
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的
结果有2种，即Aa、Bb，
∴取出的钥匙恰好能打开取出的
锁的概率为． …………………………6分
19．（6分=2分＋4分）
解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝－4×2﹣3×（﹣6）＝10； ………2分
（2）根据题意得x（mx＋1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2＋（1﹣2m）x＋m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，
解得m 且m≠0． …………………………6分
（注：没写出m≠0扣1分）
20．（8分=4分＋4分）
（1）证明：如图，连接OC，OD，OB，
∵点D是劣弧BC 的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC＋∠BCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠OCD＋∠ACD=90°，
即OC⊥AC，
∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；…………………………………………4分
（2）解：由（1）可知，OD⊥BC，
在Rt△BDE中，BE=BC=，
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠OBE=30°，△BOD为等边三角形
又∵BE=，设OB=x，由勾股定理得，
∴OB=1
∴S阴影部分=S扇形OBD－S△OBD
=－=．………………………………8分
21．（8分=3分＋4分＋2分）
解：（1）将A（2，3）代入双曲线，
∴m＝6，∴双曲线的解析式为，
将点B（n，1）代入，
∴n＝6，∴B（6，1），
将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx＋b，
∴，解得，
∴直线解析式为y＝x＋4； …………………………3分
∵直线AB向下平移至CD，
∴AB∥CD，
设直线CD的解析式为y＝x＋n，
将点C（﹣2，0）代入y＝x＋n，
∴1＋n＝0，解得n＝﹣1，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣1，
∴D（0，﹣1）， H（0，4）
S△ABD＝S△HBD﹣S△HAD＝×HD（xB﹣xA）＝×5×4＝10；……7分
（3）由图可知2＜x＜6 或 x＜0时满足条件 ． …………9分
（注：没写出 x＜0扣1分）
22．（10分=3分＋3分＋4分）
解：（1）把（0，）代入抛物线C2：y＝a（x−7）2＋8得，
＝a（0﹣7）2＋8，解得a＝； …………3分
（2）由（1）知，抛物线C2：y＝（x−7）2＋8，
当x＝11时，y＝（11﹣7）2＋8＝×16＋8＝6，
∴小雪在小山坡的落地点坐标为（11，6），
设抛物线C1的解析式为y＝m（x﹣8）2＋k，
把（0，），（11，6）代入y＝m（x﹣8）2＋k得，
， 解得，
∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣8）2＋； …………6分
（3）小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
∵跳台高度增加了米，相当于把抛物线C2向上平移了个单位长度，
∴平移后的解析式为y＝（x﹣7）＋8＋，
令y＝0，则（x﹣7）＋8＋＝0， 解得x1＝16，x2＝﹣2（舍去），
∴小雪落地时距O点16米；
对于抛物线C1：令y＝0，则（x﹣8）2＋＝0，
解得x＝17或x＝﹣1（舍去），
∵17＞16， ∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上． …………10分
23．（10分=4分＋6分）
证明：如图1中，∵△ABC与△AEF是等边三角形，
∴∠BAC＝∠EAF＝60°，AE＝AF，AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）； …………………………………4分
（2）解：如图2中，∵AD为等边△ABC的高，
∴DC＝BC＝2，∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴AD＝，
∵AE＝AF，∠EAG＝∠FAG＝30°，
∴AC⊥EF，EG＝FG，∴CE＝CF，
∵AE＝，∴DE＝，
∴EC＝， ∴CF＝CE＝，
∵∠EAF＝60°，∠DAC＝30°，∴ AG垂直平分EF
∵N为CE的中点， ∴NG＝CF＝； …………10分
24.（12分=3分＋5分＋4分）
解：（1）由题意得，
y＝﹣（x＋3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x＋3； …………3分
（2）方法1：如图1，
作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
抛物线的对称轴是直线：x＝，
∴y＝x＋3＝﹣1＋3＝2，∴D（﹣1，2），
∵C（0，3），∴CD＝，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x＋m，
当直线y＝x＋m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由x＋m＝﹣x2﹣2x＋3得，x2＋3x＋（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，32﹣4（m﹣3）＝0得，m﹣3＝，
∴x2＋3x＋＝0，∴x1＝x2＝﹣，
∴y＝﹣（﹣）2﹣2×＋3＝，
y＝x＋3＝﹣＋3＝，
∴ME＝，∴MQ＝＝，
∴S△MCD最大＝＝； ……………………………8分
K
H
方法2：如右图，
在图中作DH⊥ME于点H，作CK⊥ME于点K.
设点M的坐标为（m,﹣m2﹣2m＋3）,
则点E的坐标为（m,m＋3）.
易得：CK＝0—m ＝—m,
DH＝—1—m ＝—(m＋1),
ME＝（﹣m2﹣2m＋3）—（m＋3）＝﹣m2﹣3m,
∴S△MCD＝S△MCE—S△MDE＝ME（CK—DH）
＝（﹣m2﹣3m）（—m＋m＋1）＝ .
∴当时， S△MCD最大＝. ………………8分
（3）：Q（1﹣，﹣）或（1＋，）． ………………12分
（注：写对1个点的坐标得2分）
附简答：如图2，当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
∵点B和点P关于CQ对称，∴CP＝CB，
设P（t，t＋3），由CP2＝CB2得，
2t2＝10，∴t1＝﹣，t2＝（舍去），
∴P（﹣，3﹣），
∵PQ∥BC，BR=PR，可证△PQR≌△BCR∴CR＝QR，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
易得过点P且平行于BC的直线的解析式，
及过点B 且平行于A C的直线的解析式，
联立两解析式可得：Q（1﹣，﹣）；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3＋），
同理可得：Q（1＋，），
综上所述：Q（1﹣，﹣）或（1＋，）．
如何选择合适的跳台高度？
素材1
跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点O的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距O点水平距离8米处．

素材2
小雪从点O正上方米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
问题解决
任务1
确定滑行路径
求a的值；
任务2
确定山坡形状
当小雪滑行到离A处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线C1的函数表达式；
任务3
选择跳台高度
若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．