湖北省武汉市青山区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市青山区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。
九年级数学试卷
本试卷满分120分 考试用时120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这个事件是（ ）
A．随机事件B．确定性事件C．不可能事件D．必然事件
2．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知的半径是，点P是直线l上一点，且．那么直线l与的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
6．已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值（ ）
A．2B．C．D．
7．如图，在中，，边在x轴上，，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车直行的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为（ ）
A．20mB．30mC．40mD．50m
10．抛物线与x轴交于A，B两点，D是以为圆心，2为半径的上一动点，E为中点，则线段的长可能为（ ）

A．1B．2.5C．4D．5
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置．
11．点P（2，-1）关于原点成中心对称的点Q的坐标是 .
12．某篮球运动员在罚球线上投篮的结果如下表所示：
那么估计这名篮球运动员投篮一次投中的概率是 （结果精确到0.01）．
13．某商品原售价为5000元/吨，经过连续两次降价后，现售价为3000元/吨．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，列出方程为： ．
14．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m．
15．已知抛物线经过点，且满足．下列四个结论：
①抛物线的对称轴是；②b与c同号；
③若，则不等式的解集；
④抛物线上的两个点，，当，且时，．
其中一定正确的是 ．（填写序号）
16．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．
18．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，求证：．
19．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．
(1)随机抽取1张卡片，则取出的卡片上数字为偶数的概率为______．
(2)若一次性抽取两张卡片，请用画树状图法或列表法求两张卡片上的数字和为奇数的概率．
20．如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，．
(1)求证：为的切线；
(2)延长交于点E，连接，若且，求的半径．
21．如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点A，B，C，点D为与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
(1)画圆心O，并过点B作的切线BE；
(2)作弦，并在上画点G，使．
22．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）．
(1)若．
①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度；
②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离；
(2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
23．已知为两对角线的交点，直线过顶点，且绕点顺时针旋转，过点，分别作直线的垂线，垂足为点，．
(1)如图1，若直线过点，求证：；
(2)如图2，若，，求的度数；
(3)如图3，若为菱形，，，，直接写出的长．
24．已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)如图1，过点A作直线交抛物线于点P，连接、，若，求点P的坐标；
(3)如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，若，求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标．
参考答案与解析
1．A
2．C
3．D
4．D
5．C
6．D
7．C
8．C
9．C
10．B
11．(-2,1)
12．0.50
13．
14．
15．①②④
16．##
17．，
解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
∴方程为，
∴
解得：．
18．见解析
证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，．
∵B，C，E三点在同一直线上，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
19．(1)
(2)
（1）解：∵有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，
∴偶数卡片为，
∴设取出的卡片上数字为偶数的结果为事件A．
∴；
（2）解：根据题意列表如下：
，
由上表可知，一次性抽取两张卡片，有20种等可能的结果，其中“两张卡片上数字和为奇数”的结果有12种．
∴P（两张卡片上数字和为奇数）．
20．(1)见解析
(2)
（1）解：连接，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，
则，，，
在和中，和，
即，
解得：，
∴的半径为．
21．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：∵过格点A，B，C，点D为与格线交点，
∴取格点上的点A，B，H，C，连接，相交于点，即为圆心，
∵直径的纵横比为，化简纵横比可为，即切线纵横比应为，
∴取格点，连接交点即为点，连接即为切线，如下图所示：
（2）解：连接，用无刻度直尺平移至点A画直线交于点，
连接，作交于点，则，
∴，
22．(1)①4m；②，；
(2)
（1）解：①∵抛物线的顶点在直线上移动，，
∴抛物线的顶点在直线上移动，
∵抛物线，
∴，
∵发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m，
∴此时抛物线与轴交点为，
∴根据对称性：，
∴该球在运行过程中离地面的最大高度为；
②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，
∴由（1）知：，即：，
∴解得：，，
∴该球运行路线的解析式为：，
∴令，则，解得：或（舍），
∴此球落地点离发球机的水平距离为；
（2）解：若，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∵篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，
又∵距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，
∴将代入中得：，解得：，
∴将代入中得：，解得：，
∴当时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)的长为
（1）证明：点为两对角线的交点，
，
∵直线过顶点，过点分别作直线的垂线，垂足为点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图，连接，并延长交于点，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
∴在中，，
，
，
，
∴在中，，
，
是等边三角形，
．
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，即，
是梯形的中位线，
，即，
解得，
所以的长为7．
24．(1)，，
(2)点P的坐标为或；
(3)证明见解析；定点
（1）解：抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
令，则，
解得：，，
，；
令，则，
；
（2）解：由（1）可知，，，，
，，，
，
如图，令直线与轴交于点，
设点，直线的函数关系式为，
则，解得：，
直线的函数关系式为，
令，则，
，
，
，，
，
，
，
当时，解得；当时，解得，
经检验，和是原方程的解，
点P的坐标为或；
（3）证明：点在直线上，
，
，
直线，
直线交抛物线于点E、F，
联立，
整理得：，
，
点M为线段的中点，
，
将代入直线，则，
，
同理可得：，
设直线的解析式为，
则，解得：，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线必经过一定点，该定点坐标为
投篮次数
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50