第19讲 直角三角形（练习）-2025年中考数学一轮复习练习测试

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156315724" 题型01 利用直角三角形的性质求解
\l "_Tc156315725" 题型02 根据已知条件判定直角三角形
\l "_Tc156315726" 题型03 与直角三角形有关的面积计算
\l "_Tc156315727" 题型04 利用勾股定理求线段长
\l "_Tc156315728" 题型05 利用勾股定理求面积
\l "_Tc156315729" 题型06 已知两点坐标求两点距离
\l "_Tc156315730" 题型07 判断勾股数问题
\l "_Tc156315731" 题型08 勾股定理与网格问题
\l "_Tc156315732" 题型09 勾股定理与无理数
\l "_Tc156315733" 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积
\l "_Tc156315734" 题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系
\l "_Tc156315735" 题型12 勾股定理的证明方法
\l "_Tc156315736" 题型13 以弦图为背景的计算题
\l "_Tc156315737" 题型14 利用勾股定理构造图形解决问题
\l "_Tc156315738" 题型15 利用勾股定理解决实际问题
\l "_Tc156315739" 题型16 勾股定理与规律探究问题
\l "_Tc156315740" 题型17 在网格中判定直角三角形
\l "_Tc156315741" 题型18 利用勾股定理逆定理求解
\l "_Tc156315742" 题型19 利用勾股定理解决实际生活问题
题型01 利用直角三角形的性质求解
1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°，

则∠CED=90°-40°=50°，
∵l∥AB，
∴∠1=∠CED=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
2．（2023·广东中山·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则BC的长为（ ）
A．3B．23C．2D．4
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=12AC=2，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
3．（2021·河南信阳·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为BC中点，AC=6,BD=8．则线段OH的长为：（ ）
A．125B．52C．3D．5
【答案】B
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4
∴△BOC是直角三角形
∴BO2+OC2=BC2
∴BC=5
∵H为BC中点
∴OH=12BC=52
故最后答案为52．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．
4．（2022·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，当B在x轴的正半轴上运动时，A随之在y轴的正半轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变．若∠OAB＝30°时，点A的纵坐标为23，点C的纵坐标为1，则点D到点O的最大距离是（ ）
A．25B．22+2C．22+4D．23+4
【答案】B
【分析】由Rt△AOB中的条件可得AB=4，由△AOB∽△BFC，可得BC=2，再AB上取一点E，利用勾股定理求出OE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出OE，由三角形两边之后大于第三边可求出OD最大值．
【详解】解：取AB中点E，连接DE、OE、OD，过C作CF⊥BF与点F，
在Rt△AOB中，AO=23，∠OAB=30°，
∴AB=4，OE=12AB=2=AE，
由矩形的性质，可得AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴△AOB∽△BFC，
∵C的纵坐标为1，
∴BC=2=AD；
在Rt△ADE中，DE=22，
当O、D、E三点共线时，OD=DE＋OE最大，
此时OD=22+2；
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，根据性质求出相应线段，根据两边之和大于第三边求出最大值是解题的关键．
题型02 根据已知条件判定直角三角形
5．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=3:4:5B．∠C=∠A+∠B
C．∠A:∠B:∠C=1:5:6D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误．
【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=(5k)2 ，
即a2+b2=c2 ，
∴三角形是直角三角形，
正确；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正确；
C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形内角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正确；
D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
错误；
故本题选择D．
【点睛】本题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角．
6．（2022·云南昆明·统考二模）已知实数x，y，z满足(x-5)2+y-12+|z-13|=0，则以x，y，z的值为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】B
【分析】根据平方式、算式平方根和绝对值的非负性求出x、y、z，再根据勾股定理的逆定理判断即可.
【详解】解：∵实数x，y，z满足(x-5)2+y-12+|z-13|=0，
∴x=5，y=12，z=13，
∵52+122=132，∴x2+y2=z2
∴以x，y，z的值为边长的三角形是直角三角形，
故选B.
【点睛】本题考查平方式、算式平方根和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握非负性是解答的关键.
7．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【详解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴是直角三角形，
故①是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
a2+c2＝b2，
故②是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝75°，
故③不是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，
∴32+42＝52，
∴a2+b2＝c2，
故④是直角三角形；
是直角三角形的三角形有3个①②④
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
题型03 与直角三角形有关的面积计算
8．（2023·广东佛山·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．83-4πB．83-2πC．163-8πD．163-4π
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质得到AC=43，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC=82-42=43，
∴阴影部分的面积=S△ACB-S扇形ACD=12×4×43-30π⋅432360=83-4π，
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（ ）
A．13B．916C．23D．34
【答案】D
【分析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=α，则BE=3α，AE=3α，求出AEAC=34，可求出答案．
【详解】∵∠A=30°,∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
由旋转得：BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'=60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠BEA=90°，∠CBE=∠A=30°，
设CE=α，则BC=2α，AC=2BC=4α，
∴由勾股定理得BE=3α，AE=AC-CE=3α，
∴AEAC=34，
∵△ABE与△ABC同高，
∴△ABE与△ABC的面积之比为34．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在 Rt△ABC 中， ∠B=90∘ ， ∠C=30∘ ，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边 AB ， AC 于点 P ， Q ；再分别以点 P ， Q 为圆心，以大于 12PQ 的长为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 AE 交 BC 于点 F .设 △ABF ， △ABC 的面积分别为 S1 ， S2 ，则 S1S2 的值为（ ）
A．12B．13C．13D．14
【答案】B
【分析】根据作图过程可知： AF是∠BAC 的平分线，设 BF=x ，在 Rt△ABC 中， ∠B=90∘ ， ∠C=30∘ ，则在 Rt△ABF 中， FA=2x，分别表示出S1,S2，即可求解．
【详解】解：根据作图过程可知： AF是∠BAC 的平分线，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC ，
∵∠B=90°，∠C=30° ，
∴∠BAC=60°
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30° ，
∴∠CAF=∠C=30°
∴FA=FC
设 BF=x ，则在 Rt△ABF 中， FA=2x
∴FC=FA=2x ， BC=BF+FC=x+2x=3x ，
∴S1=12BF·AB=x2·AB ， S2=12BC·AB=3x2·AB ，
∴S1S2=x2·AB3x2·AB=13 ，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的作图，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2022·浙江金华·统考一模）把一副三角尺如图所示拼在一起，其中AC边长是26，则△ACD的面积是（ ）
A．42B．6C．43D．62
【答案】C
【分析】根据勾股定理得到BC=AC2+AB2=43，根据直角三角形的性质得到CD=33BC＝4，过A作AE⊥CD交DC的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵∠CAB＝90°，∠ACB＝∠ABC＝45°，AC＝26，
∴AC＝AB＝26，
∴BC=AC2+AB2=43，
∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，
∴CD=33BC＝4，
过A作AE⊥CD交DC的延长线于E，
∴∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴AE=22AC＝23，
∴△ACD的面积=12CD•AE=12×4×23=43，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
题型04 利用勾股定理求线段长
12．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
【答案】C
【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为52cm，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得水的最大深度DE的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：AD=12AB=12×48=24cm，
∵⊙O的直径为52cm，
∴OA=OE=26cm，
在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=OA2-AD2=262-242=10cm，
∴DE=OE-OD=26-10=16cm，
∴水的最大深度为16cm，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
13．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则AB的长是（ ）
A．5003B．5035C．60D．80
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB=AC2-BC2=80，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（ ）
A．3B．32C．2D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠OBC=90°，OC=5，BC=1，
∴OB=OC2-BC2=52-12=2
∵∠A=90°，∠AOB=30°，
∴AB=12OB=1，
∴OA=OB2-AB2=22-12=3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
题型05 利用勾股定理求面积
15．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）若直角三角形的两边长分别是方程x2-7x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或372D．6或372
【答案】D
【分析】根据题意，先将方程x2-7x+12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】解方程x2-7x+12=0得x1=3，x2=4
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为12×3×4=6；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为42-32=7，面积为12×7×3=372；
则该直角三角形的面积是6或372，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
16．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm．边BC与FG在同一直线上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s的速度沿直线向右运动，经过 s，此三角形和正方形重叠部分的面积是4cm2．

【答案】4+2或6+42
【分析】分两种情况讨论，当CD交EF于点H和AB交EG于点H时，利用等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵在等腰直角三角形EFG中，
∴∠EFG=45°，
当CD交EF于点H时，

∴∠HFC=∠FHC=45°，
∴设CF=CH=x，
由题意得12x2=4，
解得x=22，即CF=CH=22，
∴点C移动的距离为8+22，
所用时间为8+222=4+2s；
当AB交EG于点H时，

∴∠HGB=∠BHG=45°，
同理，得BG=BH=22，
∴CG=4-BG=4-22，
∵在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm，
∴FG=2EF=102，
∴点C移动的距离为8+102+4-22=12+82，
所用时间为12+822=6+42s；
故答案为：4+2或6+42．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．
17．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点B作BA⊥AC，过点D作DC∥BA，若AC=10，CD=8，求△BDE的面积．

【答案】34
【分析】由等腰直角三角形的性质得出BE=DE，∠BED=90°，证明△AEB≌△CDEAAS，由全等三角形的性质得出CD=AE，求出CE的长，由三角形面积公式可得出答案．
【详解】解：∵△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE，∠BED=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∵BA⊥AC，
∴∠A=90°，
∴∠AEB+ABE=90°，
∴∠ABE=∠CED，
∵DC∥BA，
∴∠C=180°-∠A=90°=∠A，
∴△AEB≌△CDEAAS，
∴CD=AE，
∵AC=10，CD=8，
∴CE=AC-AE=2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE3=EC2+CD2=68，
∴S△BDE=12DE2=34．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△AEB≌△CDE是解题的关键．
题型06 已知两点坐标求两点距离
18．（2022·广东中山·校联考一模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 ．
【答案】13
【分析】根据两点的距离公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知点（3，﹣2）到原点的距离为3-02+-2-02=13
故答案为：13．
【点睛】本题考查了用勾股定理求解两点的距离公式．解题的关键在于熟练掌握距离公式：Ax1,y1、Bx2,y2两点间的距离公式为AB=x1-x22+y1-y22．
19．（2022·宁夏银川·银川市第三中学校考模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2=(x1-x2)2+(y1-y2)2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【答案】(1)AB＝13
(2)AB＝5
(3)△DEF是等腰三角形，理由见解析
【分析】(1)直接套公式(x1-x2)2+(y1-y2)2即可求解；
(2)根据题干中“当两点所在的直线平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|”即可求解；
(3)套公式(x1-x2)2+(y1-y2)2求出三角形三边的长度即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知A、B两点间的距离为(2+3)2+(4+8)2=13，
故A、B两点间的距离为13．
（2）解：由题意可知，直线AB平行y轴，
∴A、B两点之间的距离为4-(-1)=5．
（3）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：
DE=(-2-1)2+(2-6)2=5，
EF=(4+2)2+(2-2)2=6，
DF=(4-1)2+(2-6)2=5，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点之间距离的求法，其本质是勾股定理的应用，读懂题意即可求解．
题型07 判断勾股数问题
20．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17； …，若此类勾股数的勾为10 ，则其弦是 ．
【答案】26
【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m（m为偶数且m≥4），根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m （m为偶数且m≥4 ），则另一条直角边b=m22-1 ，弦c=m22+1 ．
则弦为1022+1=26，
故答案为：26．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
21．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=n2-1，整式C>0．
(1)当n=1999时，写出整式A+B的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式A2-B2；
(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【答案】(1)4×106
(2)(n2-1)2
(3)正确，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得，A+B=n2+1+2n=n+12，把n=1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
（2）把A=n2+1，B=2n，代入A2-B2中，可得n2+12-2n2，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
（3）先计算B2+C2=2n2+n2-12，计算可得n2+12，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【详解】（1）解：A+B=n2+1+2n=n+12，
当n=1999时，
原式=1999+12
=20002
=4×106；
故答案为：4×106；
（2）A2-B2=n2+12-2n2
=n22+2n2+1-4n2
=n22-2n2+1
=(n2-1)2；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
∵B2+C2=2n2+n2-12
=4n2+n22-2n2+1
=n2+12，
∴B2+C2=A2，
∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
22．（2019·安徽马鞍山·校联考二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．
观察下列两类“勾股数”：
第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；
（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．
【答案】（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；（2）当a为奇数时，b=a2-12，c=a2+12；当a为偶数时，b=a24-1，c=a24+1；证明见解析.
【分析】（1）根据勾股数的定义即可得到结论；
（2）当a为奇数时，当a为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论．
【详解】（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；
第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；
（2）当a为奇数时，b=a2-12，c=a2+12；
当a为偶数时，b=a24-1，c=a24+1；
证明：当a为奇数时，a2+b2＝a2+a2-122=a2+122=c2，
∴（a，b，c）是“勾股数”．
当a为偶数时，a2+b2＝a2+a24-12=a24+12=c2
∴（a，b，c）是“勾股数”
【点睛】本题考查了勾股数，数字的变化类﹣规律型，读懂表格，从表格中获取有用信息进而发现规律是解题的关键．
题型08 勾股定理与网格问题
23．（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
A．355B．175C．35D．45
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=5，
∴sin∠ACB=ADAC=45，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A．102B．10C．3102D．310
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AB、BC、AC的长，可得△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得AD的值，继续用勾股定理即可求出BD的值．
【详解】解：由题可知，AB=5，BC=32+42=5，AC=92+32=310，
∴ AB=BC，
又∵ BD平分∠ABC，
∴ AD=12AC=3102，且BD⊥AC,即三角形ABD是直角三角形，
∴ BD=AB2-AD2=52-(3102)2=102．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键．
题型09 勾股定理与无理数
25．（2020·河南·模拟预测）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( )
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.
【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴OB=OA2+AB2=22+32=13，
∴P点所表示的数就是13，
∵9∠DACB．∠BAC