重难点03 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题-2025年中考数学一轮复习提高练习

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\l "_Tc155385608" 题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题
\l "_Tc155385609" 题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题
\l "_Tc155385610" 题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题
\l "_Tc155385611" 题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题
\l "_Tc155385612" 题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题
\l "_Tc155385613" 题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题
\l "_Tc155385614" 题型07 利用二次函数解决图形面积的最值问题
\l "_Tc155385615" 类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题
\l "_Tc155385616" 类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题
\l "_Tc155385617" 类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题
\l "_Tc155385618" 题型08 利用二次函数解决定值问题
题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题
【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：
1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：
①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．
1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3，（-3，0）
(2)94
(3)-3,-32或（-2，1）或0,3-32
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y=0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；
（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；
（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM=BM，PM=PB和BP=BM，结合图象，进一步得出结果．
【详解】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入y=ax2+2x+c得：
c=-3a+2×1+c=0，解得：c=-3a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x-3；
令 y=0，则x2+2x-3=0，
解得：x1=1,x2=-3，
∴点B的坐标为（-3，0）；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，
把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
b=-3-3k+b=0，解得：k=-1b=-3，
∴直线BC的解析式为y=-x-3，
设点Pm,-m+3，则Qm,m2+2m-3，
∴PQ=-m-3-m2+2m-3=-m2-3m=-m+322+94，
∴当m=-32时，PQ最大，最大值为94；
（3）解：存在，
根据题意得：PC=2t,BM=t，则PB=32-2t，
如图，当BM=PM时，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延长NP交y轴于点D，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴，
∴△CDP为等腰直角三角形，
∴CD=PD=PC⋅sin∠OCB=2t×22=t，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x轴，
∴BN⊥x轴，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得t=32，
∴P-32,-32，
∴N-3,-32；
如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四边形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如图，当PB=MB时，
32-2t=t，解得：t=6-32，
∴PN=BP=BM=6-32，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四边形OEPN为矩形，
∴PN=OE，PN⊥y轴，
∵∠OBC=45°，
∴BE=PE=PB⋅sin∠OBC=6-32×22=32-3，
∴OE=OB-BE=3-32-3=6-32，
∴点N在y轴上，
∴N0,3-32，
综上所述，点N的坐标为-3,-32或（-2，1）或0,3-32．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．
2．（2021·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2＋4x＋5；（2）P（52，354）；（3）存在，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2＋4x＋5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH＝PQ2，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x＋5，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），PQ＝﹣（m﹣52）2＋254，故当m＝52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；
（3）抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得M（7，﹣16）．
【详解】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：
0=-1-b+c5=c，解得b=4c=5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝PQ2，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，
设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），
∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣52）2＋254，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝52时，PQ最大为254，
∴m＝52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
∴s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，解得s=3t=-3，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：
∴s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得s=-3t=-21，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：
s+02=2+52-s2+4s+5+52=t+02，解得s=7t=-11，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
3．（2021·山东泰安·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(-4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
【答案】（1）y=-x2-3x+4；（2）y=-158x+158；（3）PQQB有最大值为45，P点坐标为(-2,6)
【分析】（1）将A(-4,0)，B(1,0)代入y=ax2+bx+4(a≠0)中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；
（2）设BP与y轴交于点E，根据PD//y轴可知，∠DPB=∠OEB，当∠DPB=2∠BCO，即∠OEB=2∠BCO，由此推断△OEB为等腰三角形，设OE=a，则CE=4-a，所以BE=4-a，由勾股定理得BE2=OE2+OB2，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；
（3）设PD与AC交于点N，过B作y轴的平行线与AC相交于点M．由A、C两点坐标可得AC所在直线表达式，求得 M点坐标，则BM=5，由BM//PN，可得△PNQ∽△BMQ，PQQB=PNBM=PN5，设P(a0,-a02-3a0+4)(-4