重难点05 二次函数与几何的动点及最值、存在性问题-2025年中考数学一轮复习提高练习

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\l "_Tc155794603" 题型01 平行y轴动线段最大值与最小值问题
\l "_Tc155794604" 题型02 抛物线上的点到某一直线的距离问题
\l "_Tc155794605" 题型03 已知点关于直线对称点问题
\l "_Tc155794606" 题型04 特殊角度存在性问题
\l "_Tc155794607" 题型05 将军饮马模型解决存在性问题
\l "_Tc155794608" 题型06 二次函数中面积存在性问题
\l "_Tc155794609" 题型07 二次函数中等腰三角形存在性问题
\l "_Tc155794610" 题型08 二次函数中直角三角形存在性问题
\l "_Tc155794611" 题型09 二次函数中全等三角形存在性问题
\l "_Tc155794612" 题型10 二次函数中相似三角形存在性问题
\l "_Tc155794613" 题型11 二次函数中平行四边形存在性问题
\l "_Tc155794614" 题型12 二次函数中矩形存在性问题
\l "_Tc155794615" 题型13 二次函数中菱形存在性问题
\l "_Tc155794616" 题型14 二次函数中正方形存在性问题
二次函数常见存在性问题：
（1）等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.
【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.
（2）平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.
（3）求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率之积等于-1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.
（4）“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.
（5）二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.
2.二次函数与三角形综合
(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：
①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;
②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.
(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.
(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.
注：其他常见解题思路有：
①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；
②平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点B得到相应解析式，再联立方程求解．
（4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.
情况一 探究三角形相似的存在性问题的一般思路：
解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：
①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；
②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；
③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．
情况二 探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．
3.二次函数与四边形的综合问题
特殊四边形的探究问题解题步骤如下：
①先假设结论成立；
②设出点坐标，求边长；
③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：
a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．
b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．
c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．
d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.
题型01 平行y轴动线段最大值与最小值问题
1．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
(3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．
(4)在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3
(2)当N的坐标为-32,-154，MN有最大值94
(3)K-1，4，L-1，-4或K-1，12，L-5，12或K-1，12，L3，12
(4)存在，点E的坐标为0,32或0,-72或0,-1或0,-3
【分析】（1）由OA=OC=3求得A-3,0,C0，-3,再分别代入抛物线解析式y=x2＋bx＋c，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可；
（2）求出直线AC的解析式，再设出M、N的坐标，把MN表示成二次函数，配方即可；
（3）根据平行四边形的性质，以AB为边，以AB为对角线，分类讨论即可；
（4）设出E的坐标，分别表示出△ADE的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，点C，且OA=OC=3,
∴A-3,0,C0，-3,
∴将其分别代入抛物线解析式，得c=-39-3b+c=0，
解得b=2c=-3．
故此抛物线的函数表达式为：y=x2+2x-3；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+t，
将A-3,0,C0，-3代入，得t=-3-3k+t=0，
解得k=-1t=-3，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
设N的坐标为n，n2+2n-3，则Mn，-n-3，
∴MN=-n-3-n2+2n-3=-n2-3n=-n+32+94，
∵-1