河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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高二数学试题
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围.、
【详解】当时， .
当时,.
因为在上单调递增，在上也单调递增.
当时，；
当时，.
所以的取值范围是.
故选：C.
2. 已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ）
A. 6或18B. 18
C. 8或20D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得.
【详解】设双曲线的右焦点为，连接.
由题意得，
∵M为线段FP的中点，为线段的中点，
∴，
由双曲线定义得，，故.
故选：B.
3. 设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于椭圆方程（），当时，椭圆的焦点在轴上。在方程中，，，我们需要根据焦点在轴上这一条件列出关于的不等式组求解。
【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得.
同时，解得.
由于焦点在轴上，所以，即.
移项可得，即.解得.
综合前面的条件，和.
所以的取值范围是.
故选：A.
4. 若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果.
【详解】由题知，椭圆的半焦距为，
所以，解得.
故选：D
5. 若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出圆心坐标和半径.然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据圆心到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理求出弦长.
【详解】圆，圆心，半径.
圆，圆的圆心，半径.
两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程.
求圆心到直线的距离.
根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以.
故选：B.
6. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合空间向量基本定理，利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】因为点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，
所以，所以，
因点N为BC中点，所以，
所以.
故选：A
7. 已知动点满足，则动点P轨迹是（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线
【答案】C
【解析】
【分析】我们先将已知等式进行变形，使其符合上述公式的形式，然后判断动点的轨迹.
【详解】已知，
将等式右边的变形为，即.
此时原等式变为，
两边同时除以得到.
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离.
所以点到点的距离等于点到直线的距离.
点不在直线上，
根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，
故动点的轨迹是抛物线.
故选：C.
8. 已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据题意可得直线的方程，进而可得面积的最小值.
【详解】设，
由题意可知切线，即，
可知，
则面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解.
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
10. 设a为实数，直线，，则（ ）
A. 恒过点B. 若，则或
C. 若，则或0D. 当时，不经过第二象限
【答案】BD
【解析】
【分析】对于直线方程，如果要找过定点的情况，可以对含参数的式子进行整理.两直线平行则，两直线垂直则.通过这些定理来判断每个选项的正确性.
【详解】将，代入的方程左边得.
当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点. 故A错误.
对于直线和.
因为，根据两直线平行的判定条件， 则，
整理得，解得或.
当时，，，两直线平行；
当时，，，化简为，两直线平行，所以或. 故B正确.
因为，根据两直线垂直的判定条件，则，
整理得.
利用求根公式，所以C错误.
直线，
当时，，即. ，直线不经过第二象限.
当时，，，直线方程变形为，
则，，所以直线不经过第二象限，故D正确
故选：BD
11. 过抛物线焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ）
A. 的坐标为B. 若，则
C. 若，则的最小值为3D. 面积的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项.
【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，
则由可得，，
所以，所以
而，
当且仅当时等号成立，故，故，
故F1,0，故A正确；
若，则，故，故的斜率为，
其倾斜角为或，故B错误；
若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立，
故的最小值为3，故C正确；
，
当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，则在上的投影向量为________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】设向量、的夹角为，
因为在上的投影向量为：，
又因为，，
所以，，
所以，
所以在上的投影向量为：.
故答案为：
13. 点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为________________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，设，表示直线AM，BM的斜率，利用斜率之积为和点在椭圆上可得结果.
【详解】由题意得，.

设，则，，
∴，
由得，，
∴，即，
∴离心率.
故答案为：.
14. 已知圆，M是圆C上的任意一点，P为直线上任意一点，点，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，找到圆心坐标和半径，然后通过利用圆的性质，将的最小值转化为的最小值，然后利用对称转化为到点关于直线的对称点的距离，再根据距离不等式求出结果.
【详解】圆方程可化为，
所以圆心，半径.
圆心在直线上方，且圆心到直线的距离，
所以圆在直线上方，
所以根据圆的性质，，
所以，当共线且依次顺序排列时取等号.
因为都满足不等式，
所以都在直线的上方.
设关于直线的对称点为，
根据对称点的性质，，且，
解方程组，
由得，代入得：，
则，所以，
则，当共线并依次顺序排列时取等号，
，
所以的最小值为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间中三点，，.设，.
（1）求和；
（2）若与互相垂直，求实数k的值.
【答案】（1），2
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果；
（2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果.
【小问1详解】
∵，，，，，
∴，，
于是，，
，
.
【小问2详解】
∵，
，
且与互相垂直，
∴，
即，
∴，解得：.
16. 已知圆E经过点，，且与y轴相切，直线l恒过.
（1）求圆E的方程；
（2）直线l与圆E相交于M，N两点，且时，求l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆E的方程为，由求解；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用弦长公式求解.
小问1详解】
设圆E的方程为，
由题意知，
解得，，，
故圆E的方程为 ；
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
则，解得，
则直线l的方程为；
综上：直线l的方程为或.
17. 已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程.
（2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围.
【小问1详解】
因为双曲线的离心率，可得，即.
又因为焦点到渐近线的距离为，
根据点到直线距离公式，而，所以，则.
由且，，可得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得.
因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以.
由，解得.
对于，即，解得.
由，（结合），所以，解得.
由，解得，即或.
综合以上条件，取交集得.
则实数k的取值范围为.
18. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是，.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求出，即可得出方程；
（2）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可求出定值.
【小问1详解】
由抛物线定义可知，
所以，则，
所以抛物线C的方程为；
【小问2详解】
由在抛物线上，得，即，
显然，过点的直线斜率不为0，
故设直线方程为，，，
由，得，
，解得或，
则，，
故，
，
又，，
所以
，
故为定值.

19. 动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据题意列式整理即可得轨迹方程；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在，联立方程利用韦达定理整理可得.解法一：换元令，结合二次函数求最值；解法二：利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
设，得，
整理得M的轨迹C的方程为.
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，方程为，此时；
当直线l的斜率存在时，设方程为，，，
联立方程，消y得，
恒成立，故，
则，，
所以，
法一：令，，则，
可得，
当，即，时，取得最大值3；
综上所述，当最大时，所求直线l的方程为；
法二：
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当最大时，所求直线l的方程为.