2025届高中数学一轮复习练习：第三章 限时跟踪检测(10)　幂函数与指、对数式的运算（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第三章 限时跟踪检测(10)　幂函数与指、对数式的运算（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(3,2)
C．－eq \f(2,3)D．－eq \f(3,2)
2．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
3．下列运算正确的是( )
A．2lg eq \s\d8(\f(1,5)) 10＋lg eq \s\d8(\f(1,5)) 0.25＝2
B．lg427×lg258×lg95＝eq \f(8,9)
C．2lg 2－lg eq \f(1,25)＝1
D．lg eq \s\d8((2＋eq \r(3))) (2－eq \r(3))－(lg2eq \r(2))2＝－eq \f(5,4)
4．(2024·山东潍坊模拟)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，c＝lg3π，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>a>bD．c>b>a
5．已知e eq \s\up15(eq \f(1,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(1,2)x) ＝2，则e eq \s\up15(eq \f(3,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(3,2)x) 的值为( )
A．2B．8
C．10D．14
6．(2024·河南新乡检测)已知lg a，lg b是方程6x2－4x－3＝0的两根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(b,a)))2＝( )
A．eq \f(4,9)B．eq \f(13,9)
C．eq \f(14,9)D．eq \f(22,9)
7．(2024·四川成都模拟)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为( )
A．3.6小时B．3.8小时
C．4小时D．4.2小时
8．(2024·河南新乡模拟)已知lg 3＝a，lg 5＝b，则lg212的值为( )
A．eq \f(2b－a＋2,1－b)B．eq \f(2b－a＋2,b－1)
C．eq \f(a－2b＋2,1－b)D．eq \f(a－2b＋2,1＋b)
9. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq \f(1,b)＝( )
A．0B．1
C．eq \f(1,2)D．2
二、多项选择题
10．下列关系中，根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－eq \r(x)＝(－x) eq \s\up15( eq \f (1,2)) (x>0)
B．eq \r(6,y2)＝y eq \s\up15( eq \f (1,3)) (y>0)
C．x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) y eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)
D．x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝－eq \r(3,x)(x>0)
11．若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2B．b－a＝1
C．ab>8(lg 2)2D．b－a>lg 6
三、填空题与解答题
12．(2024·山西模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
13．(1)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
(2)若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝________.
14．计算：(1)lg535＋2lg eq \s\d8(\f(1,2)) eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514；
(2)eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64).
高分推荐题
15．(1)若a4＋a3＋a2＋a＋1＝0(a∈C)，则a100＝________.
(2)(2024·湖北武汉质检)设eq \f(1,3－\r(7))的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋eq \r(7)xy＋eq \f(3,y)的值．
解析版
一、单项选择题
1．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(3,2)
C．－eq \f(2,3)D．－eq \f(3,2)
解析：由幂函数y＝xα的图象关于y轴对称知，函数y＝xα是偶函数，排除B，D选项；再根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内从左到右下降，可得α0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
解析：∵函数f(x)＝(m2－m－5)x m2－6是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m2－6>0，∴m＝3，∴f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A．
答案：A
3．下列运算正确的是( )
A．2lg eq \s\d8(\f(1,5)) 10＋lg eq \s\d8(\f(1,5)) 0.25＝2
B．lg427×lg258×lg95＝eq \f(8,9)
C．2lg 2－lg eq \f(1,25)＝1
D．lg eq \s\d8((2＋eq \r(3))) (2－eq \r(3))－(lg2eq \r(2))2＝－eq \f(5,4)
解析：对于D，lg eq \s\d8((2＋eq \r(3))) (2－eq \r(3))－(lg2eq \r(2))2＝lg eq \s\d8((2＋eq \r(3))) eq \f(1,2＋\r(3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝－1－eq \f(1,4)＝－eq \f(5,4)，故D正确．
答案：D
4．(2024·山东潍坊模拟)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，c＝lg3π，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>a>bD．c>b>a
解析：∵a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) a，c>b，又∵幂函数y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) 为增函数，∴b>a，∴c>b>a，故选D．
答案：D
5．已知e eq \s\up15(eq \f(1,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(1,2)x) ＝2，则e eq \s\up15(eq \f(3,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(3,2)x) 的值为( )
A．2B．8
C．10D．14
解析：∵e eq \s\up15(eq \f(1,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(1,2)x) ＝2，
∴两边同时3次方，得(e eq \s\up15(eq \f(1,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(1,2)x) )3＝8，
化简得e eq \s\up15(eq \f(3,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(3,2)x) －3(e eq \s\up15(eq \f(1,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(1,2)x) )＝8.
又∵e eq \s\up15(eq \f(1,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(1,2)x) ＝2，∴e eq \s\up15(eq \f(3,2)x) －e eq \s\up15(－eq \f(3,2)x) ＝8＋6＝14.
答案：D
6．(2024·河南新乡检测)已知lg a，lg b是方程6x2－4x－3＝0的两根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(b,a)))2＝( )
A．eq \f(4,9)B．eq \f(13,9)
C．eq \f(14,9)D．eq \f(22,9)
解析：由已知得lg a＋lg b＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，lg a·lg b＝－eq \f(3,6)＝－eq \f(1,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(b,a)))2＝(lg b－lg a)2＝(lg b＋lg a)2－4lg a·lg b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(22,9).故选D．
答案：D
7．(2024·四川成都模拟)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为( )
A．3.6小时B．3.8小时
C．4小时D．4.2小时
解析：由题意可得，N0e－4k＝eq \f(4,5)N0，可得e－4k＝eq \f(4,5)，设N0e－kt＝0.64N0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2N0，可得e－kt＝(e－4k)2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C．
答案：C
8．(2024·河南新乡模拟)已知lg 3＝a，lg 5＝b，则lg212的值为( )
A．eq \f(2b－a＋2,1－b)B．eq \f(2b－a＋2,b－1)
C．eq \f(a－2b＋2,1－b)D．eq \f(a－2b＋2,1＋b)
解析：lg212＝lg2(3×4)＝lg23＋2＝eq \f(lg 3,lg 2)＋2＝eq \f(lg 3,lg 10－lg 5)＋2＝eq \f(a,1－b)＋2＝eq \f(a＋2－2b,1－b).故选C．
答案：C
9. 幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq \f(1,b)＝( )
A．0B．1
C．eq \f(1,2)D．2
解析：∵BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝lg eq \s\d8(\f(1,3)) eq \f(2,3)，b＝lg eq \s\d8(\f(2,3)) eq \f(1,3)，∴a－eq \f(1,b)＝lg eq \s\d8(\f(1,3)) eq \f(2,3)－eq \f(1,lg eq \s\d8(\f(2,3)) \f(1,3))＝0.
答案：A
二、多项选择题
10．下列关系中，根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－eq \r(x)＝(－x) eq \s\up15( eq \f (1,2)) (x>0)
B．eq \r(6,y2)＝y eq \s\up15( eq \f (1,3)) (y>0)
C．x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) y eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)
D．x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝－eq \r(3,x)(x>0)
解析：对于A，－eq \r(x)＝－x eq \s\up15( eq \f (1,2)) (x>0)，故A错误；对于B，eq \r(6,y2)＝y eq \s\up15( eq \f (1,3)) (y>0)，故B正确；对于C，x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) y eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)，故C正确；对于D，x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝eq \f(1,\r(3,x))(x>0)，故D错误．
答案：BC
11．若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2B．b－a＝1
C．ab>8(lg 2)2D．b－a>lg 6
解析：由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)>lg 6且lg eq \f(25,4)4lg 2·lg 4＝8(lg 2)2，故C正确．故选ACD．
答案：ACD
三、填空题与解答题
12．(2024·山西模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
解析：由题意得m2－m＝3＋m，
即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，定义域[－3－m，m2－m]为[－6，6]，f(x)在x＝0处无意义，故舍去．
当m＝－1时，f(x)＝x3，定义域[－3－m，m2－m]为[－2，2]，满足题意，
∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
13．(1)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
(2)若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝________.
解析：(1)∵5x＝4，∴52x＝16，∴52x－y＝52x÷5y＝16÷2＝8.
(2)∵100a＝5，∴102a＝5，又10b＝2，∴102a＋b＝10.∴2a＋b＝1.
答案：(1)8 (2)1
14．计算：(1)lg535＋2lg eq \s\d8(\f(1,2)) eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514；
(2)eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64).
解：(1)原式＝lg535－lg5eq \f(1,50)－lg514＋lg eq \s\d8(\f(1,2)) (eq \r(2))2＝lg5eq \f(35,\f(1,50)×14)＋lg eq \s\d8(\f(1,2)) 2＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
(2)原式＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋lg6\f(6,3)·lg66×3,lg64)
＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋1－lg632,lg64)
＝eq \f(21－lg63,2lg62)＝eq \f(lg66－lg63,lg62)＝eq \f(lg62,lg62)＝1.
高分推荐题
15．(1)若a4＋a3＋a2＋a＋1＝0(a∈C)，则a100＝________.
(2)(2024·湖北武汉质检)设eq \f(1,3－\r(7))的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋eq \r(7)xy＋eq \f(3,y)的值．
(1)解析：显然a≠1，且a≠0.
由题意得，eq \f(1－a5,1－a)＝0，∴a5＝1，∴a100＝(a5)20＝1.
答案：1
(2)解：∵eq \f(1,3－\r(7))＝eq \f(3＋\r(7),2)＝eq \f(4－1＋\r(7),2)＝2＋eq \f(\r(7)－1,2)，且0