03（新高考八省专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
3．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：）
A．8分钟B．9分钟C．10分钟D．11分钟
4．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A．B．C．D．
6．已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．现有十个点的坐标为 ，它们分别与 关于点对称.已知 的平均数为，中位数为 ，方差为，极差为，则 这组数满足（ ）
A．平均数为 B．中位数为
C．方差为D．极差为
10．在中，内角所对的边分别为且，则（ ）
A．B．若，则
C．若，则面积的最大值为D．若，则
11．已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ）
A．B．为偶函数
C．为奇函数D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中，其中不含x的项为 ．
13．已知，，则 .
14．如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）等差数列an的前项和为，已知，.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点．
(1)若是的中点，求证：直线平面；
(2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积
17．（15分）已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)若，，求实数k的取值范围．
18．（17分）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.
19．（17分）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S.
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小.