05（新高考八省专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，A错；，B错；
，D错，C正确．
故选：C．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当时，同号，显然有成立，
当时，两边平方得到，
即，所以，即，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
3．有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．576种
【答案】C
【解析】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列，
故不同排列方式共有（种）.
故选：C
4．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，
又，即，
所以，
则，解得，
所以圆锥的表面积为.
故选：B．
5．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：，）
A．36.9%B．41.5%C．58.5%D．63.4%
【答案】C
【解析】由题意可知，，即，
所以，解得.
故选：C
6．设函数；若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】作出函数的图象，如图：

可知函数在R上为单调递增函数，
故由可得，即，
解得或，
即实数a的取值范围是,
故选：A
7．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设，
则，
故，
，
即；
故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，
所以的最大值为.
故选：D.
8．已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，
设，

因为，则，可得，
由椭圆定义可知：，即，
整理可得；
又因为，则∥，且，
则，可得，
由椭圆定义可知：，即，
整理可得；
即，可得，
所以椭圆C的离心率.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】ACD
【解析】易知，其最小正周期为，
所以，即，显然，故A正确；
令，
显然区间不是区间的子区间，故B错误；
令，则是的一个对称中心，故C正确；
将的图象向右平移个单位得到
，
故D正确.
故选：ACD
10．设函数，则（ ）
A．有三个零点
B．是的极大值点
C．曲线为轴对称图形
D．为曲线的对称中心
【答案】BD
【解析】对于A，令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处有极大值，为，
在处有极小值，为，
又，
的大致图象如下

所以有两个零点，故A错误；
对于B，由A选项可知是的极大值点，故B正确；
对于C，由A选项可知，当时，，当时，，
所以曲线不是轴对称图形，故C错误；
对于D，
，
所以为曲线的对称中心，故D正确.
故选：BD.
11．如图，曲线过原点，其渐近线方程为，则（ ）

A．曲线关于直线对称
B．点位于曲线围成的封闭区域（阴影部分）外
C．若在曲线上，则
D．曲线在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为
【答案】ACD
【解析】若把的解析式中的互换，则方程不变，
故C的图象关于直线对称，A正确；
点在第一象限，且，故点位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）内，B错误；
曲线在渐近线的上方，故，即，
又当在第一象限内时，
由，得
故，当且仅当时，等号成立，
故,C正确；
因为曲线C在第一象限内的点满足，故，
即，当且仅当时，等号成立，
故曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为，D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数满足，则 .
【答案】
【解析】，，
，
.
13．已知，，则 .
【答案】/
【解析】由题意可知，
所以，
由题意可知，，
由可得，
所以.
14．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令函数，
因为，时，所以，
所以函数在上单调递减，
又因为，
所以函数，所以为偶函数，
根据偶函数的对称性，可得在上单调递增，
若
则，
整理得，所以，
两边平方可得，解得，即实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
【解】（1）因为， ………………………3分
在中，，即. ………………………5分
（2）由（1）知，，
所以， ……………………7分
即，所以， ………………………8分
又， ………………………10分
即， ………………………12分
所以的周长为. ………………………13分
16．(本小题满分15分）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性．
【解】（1）. ………………………1分
所以或时，，时，， ………………………3分
则在上递减，在递增， ………………………4分
所以的极小值为，极大值为 .………………………6分
（2），
当时，，所以在上递增， ………………………8分
当时，或时，；时，，
所以在上递增，在上递减， ………………………12分
当时，或时，；时，，
所以在上递增；在上递减． ………………………15分
17．设(本小题满分15分）抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.
【解】（1）易知点的坐标为，
所以，解得. ………………………2分
又圆的圆心为， ………………………3分
所以圆的方程为. ………………………4分
（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
代入的方程，得. ………………………6分
令，得，
所以，解得. ………………………9分
将代入的方程，得，
即点的坐标为 ………………………11分
所以，，
. ………………………14分
故. ………………………15分
18．(本小题满分17分）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
【解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
． ………………………2分
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以
， ………………………4分
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. ……………………5分
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，……………………6分
相应的概率为：
，，
，， ………………………8分
随机变量的分布列为：
所以的数学期望. ………………………10分
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
. ………………………13分
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大. ………………………17分
19．(本小题满分17分）定义：已知数列为有穷数列，①对任意（），总存在，使得，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意（），总存在 ，使得，则称数列为“除法封闭数列”，
(1)若，判断数列是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列，为“除法封闭数列"，求和 .
(3)已知数列是以1为首项的递增数列，共有项，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式.
【解】（1）由题意知，数列为：. ……………………1分
由，不是数列中的项， ………………………3分
故数列不是“乘法封闭数列”； ………………………4分
（2）由题意数列递增可知，
则，且， ………………………5分
又数列为“除法封闭数列”，
则都是数列中的项， ………………………7分
所以，即①；
且，即②，
联立①②解得，； ………………………9分
（3）数列是等比数列 ………………………10分
证明：当时，设数列为，
由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”， ………………………12分
则这个数都是数列中的项，
所以有，
则有，③；
同理由，可得，
则有，即④；
由③④可得，，故是等比数列. ………………………14分
当时，由题意数列递增可知，
则有， ………………………15分
由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
则，即⑥，
联立⑤⑥得，，
则，所以有，
所以，故数列是等比数列.
综上所述，数列是等比数列. ………………………17分
0
1
2
3