广东省广州市第六中学2024--2025学年九年级数学上学期12月月考试卷+

这是一份广东省广州市第六中学2024--2025学年九年级数学上学期12月月考试卷+，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝3B．x2+3x＝0
C．D．2x+1＝0
3．（3分）抛物线y＝5（x﹣4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）
4．（3分）将抛物线y＝x2+1向上平移1个单位长度，所得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x+1）2+1
C．y＝x2+2D．y＝x2
5．（3分）如图，圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．50°C．80°D．100°
6．（3分）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（ ）
A．正八边形B．正七边形C．正六边形D．正五边形
7．（3分）若⊙O的半径为4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙P上B．在⊙P内C．在⊙P外D．无法确定
8．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形．若点C恰好落在AB上，则∠OCD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．bc＜0
B．c＝3
C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1
D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 ．
12．（3分）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝ ．
13．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到线段A′B′，则端点A′的坐标为 ．
14．（3分）底面半径为2cm，母线为9cm的圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角度数为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD是中线，CD＝3，∠ADC＝∠BAC，则线段AC的长为 ．
16．（3分）△ABC中，∠ACB＝90°，，D在线段AB上运动，以CD为斜边作Rt△CDE，使∠DCE＝30°，点E和点A位于CD的两侧，连接BE，则BE的最小值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（6分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
19．（6分）“广州海珠马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”进行调查．
（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，对参加“广州海珠马拉松”比赛的人群进行了调查，调查结果如下：
已知共有20000人参与“广州海珠马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为 人；
（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．
20．（6分）如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝2m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
21．（8分）已知关于x的方程x2+（k﹣1）x﹣5＝0．
（1）求证：不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为﹣5，求该方程的另一个根．
22．（8分）已知：△ABC．
（1）求作：△ABC的内切圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ABC的内切圆的圆心为O，设∠A为α，求∠BOC与α的数量关系．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts（0≤t≤5），连接MN．
（1）发现：BM＝ cm，BN＝ cm（用含t的式子来表示）
（2）猜想：若BM＝BN，则t的值为 ；
（3）探究：是否存在符合条件的t，使△BMN与△ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．
（1）如图1，m＝3．
①直接写出A，B，C三点的坐标；
②若动点P在抛物线上，且在直线BC下方，求△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；
（2）如图2，设经过A，B，C三点的⊙M交y轴于另外一点E，m＝3OE，经过点M的直线y＝kx+b（k≠0）交抛物线于G，H两点，若GH的长等于⊙M的直径长，求k2的值．
25．（12分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为6，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
2024-2025学年广东省广州六中九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝3B．x2+3x＝0
C．D．2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：A．2x+y＝3含2个未知数，不是一元二次方程；
B．x2+3x＝0是一元二次方程；
C．的分母中含未知数，是分式方程，不是一元二次方程；
D．2x+1＝0的最高次数是1，不是一元二次方程；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
3．（3分）抛物线y＝5（x﹣4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）
【分析】根据抛物线y＝5（x﹣4）2+2，可以写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝5（x﹣4）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（4，2），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3分）将抛物线y＝x2+1向上平移1个单位长度，所得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x+1）2+1
C．y＝x2+2D．y＝x2
【分析】直接运用平移规律解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+1向上平移1个单位长度，所得到的新抛物线的解析式为y＝x2+1+1，即y＝x2+2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．
5．（3分）如图，圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．50°C．80°D．100°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠BAC和∠BOC都对，
∴∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（3分）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（ ）
A．正八边形B．正七边形C．正六边形D．正五边形
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
【解答】解：∵一个圆内接正多边形的中心角是60°，360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6，是正六边形．
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
7．（3分）若⊙O的半径为4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙P上B．在⊙P内C．在⊙P外D．无法确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵OP＝3，r＝4，则OP＜r，
∴点P在圆内．
故选：B．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
8．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形．若点C恰好落在AB上，则∠OCD的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOC＝40°，OA＝OC，∠OCD＝∠A，
∴∠A＝∠ACO＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠OCD＝∠A＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查了性质的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据a的取值范围判断函数图象即可求解．
【解答】解：当a＞0时，一次函数y＝﹣ax的图象经过二、四象限，抛物线y＝ax2﹣a的开口向上，与y轴交点在x轴下方，
当a＜0时，一次函数y＝﹣ax的图象经过一、四象限，抛物线y＝ax2﹣a的开口向下，与y轴交点在x轴上方，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．bc＜0
B．c＝3
C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1
D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4
【分析】由（﹣1，0），（3，0）是函数图象和x轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得x2﹣2x﹣3＝3或 x2﹣2x﹣3＝﹣3，利用根与系数的关系可判断D正确．
【解答】解：∵（﹣1，0），（3，0）是函数图象和x轴的交点，
∴，
解得：，
∴bc＝（﹣2）×（﹣3）＝6＞0，
故A、B错误；
如图，当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，
故C错误；
关于x的方程|x2+bx+c|＝3，即x2﹣2x﹣3＝3或x2﹣2x﹣3＝﹣3，
当x2﹣2x﹣3＝3时，，
当x2﹣2x﹣3＝﹣3时，，
∴关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为2+2＝4，
故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣1，2） ．
【分析】根据对称点的坐标规律作答即可．
【解答】解：点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（3分）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝ 4 ．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，然后解关于c的方程．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，
解得c＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
13．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到线段A′B′，则端点A′的坐标为 （5，5） ．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段A′B′，
∴端点A′的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点A′的坐标为（5，5）．
故答案为：（5，5）．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
14．（3分）底面半径为2cm，母线为9cm的圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角度数为 80° ．
【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【解答】解：∵圆锥的底面半径是2cm，
∴圆锥的底面周长为4π，
设圆心角为n°，根据题意得：＝4π，
解得n＝80．
故答案为：80°．
【点评】考查了圆锥的计算，关键掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD是中线，CD＝3，∠ADC＝∠BAC，则线段AC的长为 ．
【分析】根据中线得到BC＝2CD＝6，由题意易得△ADC∽△BAC，最后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：在△ABC中，AD是中线，CD＝3，
∴BC＝2CD＝6．
∵∠ADC＝∠BAC，∠ACD＝∠BCA，
∴△ADC∽△BAC，
∴，
∴AC2＝BC•DC＝6×3＝18，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，理解相似三角形的判定和性质是解答关键．
16．（3分）△ABC中，∠ACB＝90°，，D在线段AB上运动，以CD为斜边作Rt△CDE，使∠DCE＝30°，点E和点A位于CD的两侧，连接BE，则BE的最小值为 ．
【分析】作∠ACF＝30°，过点A作AF⊥CF于F，连接FE，证明△ACD∽△FCG得到∠CFE＝∠CAD＝45°，则点E在直线FE上运动；设直线FE交AB于G，CF，AB交于K，过点B作直线FE的垂线，垂足为H，连接CG，证明△AKC∽△FKG，进而证明△AKF∽△CKG，得到∠CGK＝∠AFK＝90°，则可求出BG＝1；再证明∠BGH＝∠AGF＝30°，得到，由垂线段最短可知，当点E与点H重合时，BE有最小值，最小值为．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，，如图，作∠ACF＝30°，过点A作AF⊥CF于F，连接FE，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝2AF，
在直角三角形ACF中，由勾股定理得：，
∴，
同理可得，
∴，
∵∠ACF＝∠DCE＝30°，
∴∠ACD＝∠FCG，
∴△ACD∽△FCG，
∴∠CFE＝∠CAD＝45°，
∵F为定点，
∴点E在直线FE上运动，
设直线FE交AB于G，CF，AB交于K，过点B作直线FE的垂线，垂足为H，连接CG，
∵∠AKC＝∠FKG，∠KFG＝∠KAC＝45°，
∴△AKC∽△FKG，
∴，
又∵∠AKF＝∠CKG，
∴△AKF∽△CKG，
∴∠CGK＝∠AFK＝90°，
∴△BGC是等腰直角三角形，
∴；
∵∠CAF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CAK＝15°，
∴∠AGF＝180°﹣15°﹣90°﹣45°＝30°，
∴∠BGH＝∠AGF＝30°，
∴，
由垂线段最短可知，当点E与点H重合时，BE有最小值，最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确推出点E的轨迹是直线是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
18．（6分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能熟记经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线是解此题的关键．
19．（6分）“广州海珠马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”进行调查．
（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，对参加“广州海珠马拉松”比赛的人群进行了调查，调查结果如下：
已知共有20000人参与“广州海珠马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为 6000 人；
（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．
【分析】（1）由表格可知，随调查总人数的增加，参加“半程马拉松”频率接近0.30，根据用样本估计总体，列式计算即可
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的结果有2种，即AB，BA，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由表格可知，随调查总人数的增加，参加“半程马拉松”频率接近0.30，
∴本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为20000×0.30＝6000（人），
故答案为：6000；
（2）将2名初中生分别记为A，B，1名高中生记为C，1名大学生记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的结果有2种，即AB，BA，
∴恰好录取2名初中生志愿者的概率为＝＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及用样本估计总体．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）如图，小亮想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高CD＝2m，又测得地面部分的影长BD＝4.8m，请你帮助小亮求树高AB．
【分析】延长AC，交BD延长线于点E，根据同一时刻物体与影长成正比可得，根据AB∥CD可得△ABE∽△CDE，于是可得，进而可得，于是可求出DE的长，再由BE＝BD+DE可求出BE的长，然后根据求出AB的长即可．
【解答】解：如图，延长AC，交BD延长线于点E，
则DE就是树影长的一部分，
∵在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为1.2m，
∴，
由题意可知：AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝BD+DE＝4.8+1.68＝6.48m，
∴．
答：树高AB为5.4m．
【点评】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，等式的性质2等知识点，利用相似三角形的性质正确求出树影长BE是解题的关键．
21．（8分）已知关于x的方程x2+（k﹣1）x﹣5＝0．
（1）求证：不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为﹣5，求该方程的另一个根．
【分析】（1）证明Δ＞0即可求证；
（2）设方程的另一个根为m，利用根和系数的关系可得﹣5m＝﹣5，据此即可求解；
【解答】（1）证明：∵x2+（k﹣1）x﹣5＝0，
∴Δ＝（k﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝（k﹣1）2+20，
又∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+20＞0，即Δ＞0，
∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为m，
根据根与系数关系得，﹣5m＝﹣5，
解得m＝1，
∴方程的另一个根为1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
22．（8分）已知：△ABC．
（1）求作：△ABC的内切圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ABC的内切圆的圆心为O，设∠A为α，求∠BOC与α的数量关系．
【分析】（1）分别作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，过点O作BC的垂线交BC于点D，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O即为△ABC的内切圆；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作；
（2）∵∠A＝a，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BO、CO平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣α，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+α．
【点评】本题考查了复杂作图——作角平分线以及作垂线，三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，掌握基本作图方法是解题关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts（0≤t≤5），连接MN．
（1）发现：BM＝ 2t cm，BN＝ （5﹣t） cm（用含t的式子来表示）
（2）猜想：若BM＝BN，则t的值为 （10﹣15） ；
（3）探究：是否存在符合条件的t，使△BMN与△ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用路程等于速度乘以时间即可得出结论；
（2）利用BM＝BN建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AC＝5cm，
∴AB＝2AC＝10cm，BC＝＝5cm，
由运动知，BM＝2t cm，CN＝t cm．
∴BN＝BC﹣CN＝（5﹣t）cm，
故答案为：2t，（5﹣t）；
（2）∵BM＝BN，
∴2t＝5﹣，
∴t＝＝（10﹣15），
故答案为：（10﹣15）；
（3）存在符合条件的t，使△BMN与△ABC相似；理由如下：
∵△MBN与△ABC相似，分两种情况讨论：
当△MBN∽△ABC时，
∴＝，
∴＝，
∴；
当△MBN∽△CBA时，
∴＝，
∴＝，
∴，
即：满足条件的t的值为或．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．
（1）如图1，m＝3．
①直接写出A，B，C三点的坐标；
②若动点P在抛物线上，且在直线BC下方，求△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；
（2）如图2，设经过A，B，C三点的⊙M交y轴于另外一点E，m＝3OE，经过点M的直线y＝kx+b（k≠0）交抛物线于G，H两点，若GH的长等于⊙M的直径长，求k2的值．
【分析】（1）①当m＝3时，该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3，把y＝0和x＝0代入，求出对应的x和y的值，即可得出点A、B、C的坐标；
②求出直线BC的解析式，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，设P（t，t2﹣2t﹣3），则G（t，t﹣3），则S△BCP＝（t﹣）2+，再求解即可；
（2）连接AE，BC，易得∠ABC＝∠ECB，根据圆周角定理推出∠AEO＝∠EAO，则OA＝OE＝1，得出m＝3OE＝3，进而得出该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3，求出M（1，﹣1）．过点M作MR⊥x轴于点R，连接BM，根据两点之间距离公式求出，则，推出直线y＝kx+b表达式为y＝kx﹣k﹣1，联立得出x2﹣（k+2）x+k﹣2＝0，则xH+xG＝k+2，xH•xG＝k﹣2，yH＝k•xH﹣k﹣1，yG＝k•xG﹣k﹣1，进而得到HG2＝（k2+1）（k2+12），列出方程求解即可．
【解答】解：（1）①A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；理由如下：
当m＝3时，该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3，
把y＝0代入得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
把x＝0代入得：y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
②设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
如图1，作P⊥x轴，交CB于点H，
设点（t，t2﹣2t﹣3），则H（t，t﹣3），
∴PH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S△BCP＝×3（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△BCP的值最大，最大值为，
此时P（，）；
（2）如图2，连接AE，BC，
由y＝x2+（1﹣m）x﹣m可得A（﹣1，0），B（m，0），C（0，﹣m），
∴OB＝OC＝m，OA＝1，
∴∠ABC＝∠ECB，
∵点A、C、B、E四点共圆，
∴∠AEO＝∠ABC，∠EAO＝∠ECB，
∴∠AEO＝∠EAO，
∴OA＝OE，
∴OE＝1，
∴m＝3OE＝3，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），E（0，1），
∵点M为圆心，
∴点M横坐标与AB中点横坐标相等，点M纵坐标与CE中点纵坐标相等，
∴，即M（1，﹣1）．
过点M作MR⊥x轴于点R，连接BM，
∴，
∴，
∵把M（1，﹣1）代入y＝kx+b得：﹣1＝k+b，
整理得：b＝﹣k﹣1，
∴直线y＝kx+b表达式为y＝kx﹣k﹣1
∴联立，
x2﹣（k+2）x+k﹣2＝0，
∴xH+xG＝k+2，xH•xG＝k﹣2，
∴（xH﹣xG）2＝（xH+xG）2﹣4xH•xG＝（k+2）}2﹣4（k﹣2）＝k2+12，
∴yH＝k•xH﹣k﹣1，yG＝k•xG﹣k﹣1，
∴HG2＝（xH﹣xG）2+（yH﹣yG）2＝（xH﹣xG）2+k2（xH﹣xG）2＝（k2+1）（k2+12），
∴（k2+1）（k2+12）＝20，
∴，
∵k2＞0，
∴．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，圆周角定理，垂径定理，两点之间的距离公式，一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
25．（12分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为6，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，圆周角定理可得∠ADC＝∠BDC＝60°，可得结论；
（2）将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，可证△DCH是等边三角形，可得四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，即可求解；
（3）作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，由轴对称的性质可得EM＝DM，DN＝NF，可得△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，即最小值为EF＝t，由轴对称的性质可求CD＝CE＝CF，∠ECF＝120°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EF＝2PE＝EC＝CD＝t，则当CD为直径时，t有最大值为12．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线；
（2）解：四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数；理由如下：
如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD•CD＝CD2，
∴S＝x2；
（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴EM＝DM，
同理DN＝NF，
∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
∴当E，M，N，F四点共线时，△DMN的周长有最小值，
则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，
∴△DMN的周长最小值为EF＝t，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，
∵点D，点F关于直线BC对称，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，
∴EF＝2PE＝EC＝CD＝t，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值12，
∴t的最大值为12．调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
7
17
31
58
150
参加“半程马拉松”频率
0.35
0.34
0.31
0.29
0.30
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
C
B
C
B
D
D
D
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“半程马拉松”人数
7
17
31
58
150
参加“半程马拉松”频率
0.35
0.34
0.31
0.29
0.30