江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．B．2．B．3．A．4．C．5．D．6．D．7．B．8．D．
二．填空题（共8小题）
9．﹣1． 10．m＞﹣4且m≠0．
11．3． 12．124．
13．． 14．8．
15．﹣4． 16．1≤y＜37．
三．解答题（共11小题）
17．（1）x1＝1，x2＝2； （2．
18．（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）
＝k2+4k+4﹣8k+4
＝k2﹣4k+4+4
＝（k﹣2）2+4，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为3，
∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝3，x1＝1，
∴另一个根为1，k＝2．
19．解：（1）设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x，
20（1+x）2＝28.8，解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
答：从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为20%；
（2）20+20×（1+20%）+28.8+28.8×（1﹣20%）＝95.84（万元），
答：从第1个月到第4个月的销售利润之和为95.84万元．
20．解：（1）60，68；
（2）乙组的方差为×[（50﹣68）2+3×（60﹣68）2+4×（70﹣68）2+（80﹣68）2+（90﹣68）2]＝116；
（3）选择乙组同学代表学校参加复赛，
理由如下：∵两组平均数相同，甲组的方差376大于乙组的方差116，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组同学代表学校参加复赛．
21．解：（1）．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种，
∴《红楼梦》被选中的概率为＝．
22．解：（1）15；375π；
（2）设扇形卡纸的圆心角的度数为n°，
由题意得，
解得n＝216，
所以所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度．
23．（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵C是的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC．
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图，
则AF＝FD＝AD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
∴∠FAO＝45°，AF＝FO＝OA＝．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴OA•OD＝＝2，
S＝π，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD＝π﹣2．
24．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴函数图象的顶点坐标（1，4）；
函数图象如图所示；
（2）①由图象可知，函数最大值是4；
②当﹣2＜x＜2时，
当x＝﹣2时，y＝﹣5，
函数值y的取值范围：﹣5＜y≤4．
25．解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
解得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图，设直线BC的解析式为：y＝kx+b
将点B（3，0），C（0，﹣3）的坐标代入上述解析式，得
∴k＝1，b＝﹣3．
直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
因MN平行于x轴，且点N在直线BC上，点M在抛物线上，
故设点M（a，a2﹣2a﹣3），N（a，a﹣3），
MN＝（a﹣3）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
当时，MN的值最大，
最大值为：．
26．解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
27．解：（1）③④，
（2）二次函数y＝x2﹣x﹣c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，
∴当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）＝﹣4；
当x＝4时，y＝2×4＝8；
∴2x＝x2﹣x﹣c，
整理得x2﹣3x﹣c＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣c）＝9+4c＞0，
∴，
当x＝﹣2时，二次函数y＝（﹣2）2﹣（﹣2）﹣c＝6﹣c，
当x＝4时，二次函数y＝42﹣4﹣c＝12﹣c，
∴，
解得c＜4，
∴c的取值范围是，
（3）抛物线y＝（a﹣1）x2+bx+2（a≠1）对于任意的常数b恒有两个二倍点，把y＝2x代入得：
（a﹣1）x2+bx+2＝2x，
整理得（a﹣1）x2+（b﹣2）x+2＝0，
∴Δ＝（b﹣2）2﹣4×（a﹣1）×2＞0，即Δ＝b2﹣4b+12﹣8a＞0，
∵对于任意的常数b恒有两个二倍点，
∴设关于b的二次函数y＝b2﹣4b+12﹣8a与b轴无交点，
∴（﹣4）2﹣4×（12﹣8a）＜0，
解得a＜1．
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