北师大版（2024新版）七年级下册数学第一章 整式的乘除 素养提升测试卷（含答案）

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北师大版（2024新版）七年级下册数学第一章 整式的乘除 素养提升测试卷考试时间：120分钟；试卷满分120分一、选择题（每题3分，共30分）1．计算a3⋅a3结果正确的是（ ）A．2a3 B．a6 C．2a6 D．a92．[2024广元]下列计算正确的是（ ）A．a3+a3=a6 B．a6÷a3=a2C．(a+b)2=a2+b2 D．(ab2)2=a2b43．母题教材P8随堂练习T2 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000 037毫克，已知1克=1 000毫克，那么0.000 037毫克可用科学记数法表示为（ ）A．3.7×10−5克 B．3.7×10−6克C．3.7×10−7克 D．3.7×10−8克4．计算：(−2xy3)2=(−2)2⋅x2(y3)2=4x2y6，其中第一步运算的依据是（ ）A．幂的乘方法则 B．乘法分配律C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则5．若x2−2x−m=(x+n)(x−3)，则m+n的值为（ ）A．4 B．8 C．−4 D．66．[2024河北]若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋯+2a8个2a相加=2b×2b×⋯×2b8个2b相乘，则a与b的关系正确的是（ ）A．a+3=8b B．3a=8b C．a+3=b8 D．3a=8+b7．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，例如图①可以用来解释(a+b)2−(a−b)2=4ab.那么通过图②面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A．(a−b)(a+2b)=a2+ab−2b2 B．a2−b2=(a+b)(a−b)C．(a+b)2=a2+2ab+b2 D．(a−b)2=a2−2ab+b28．若m=275，n=345，则m,n的大小关系正确的是（ ）A．m>n B．m0且a≠1)，则m=n.设5m=3，5n=15，5p=75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n；②m+n=2p−1；③n2−mp=1.其中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．如图，长为y cm，宽为x cm的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其宽为5 cm，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的长为(y−15) cm；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为(x−y+5) cm；③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；④当x=15 时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值.A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④二、填空题（每题3分，共15分）11．计算：(−x3y)2=____________.12．计算:−3−2+(−78)0=________13．母题教材P11习题T18 “先看到闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声音快.科学家发现，光在空气里的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气里的传播速度大约为3×102米/秒.在空气中光速约是声速的__________倍.14．设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a∗b=(a+b)2−(a−b)2，则下列结论：①a∗b=0，则a=0或b=0；②不存在实数a，b，满足a∗b=a2+4b2；③a∗(b+c)=a∗b+a∗c；④a∗b=8，则(10ab3)÷(5b2)=4.其中正确的是____.15．若(x−3)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，则a+b的值为__.三、解答题（共75分）16．（6分）计算：（1） 9957×(−10027)；（2） 1 2342−1 234×268+1342.17．（9分）计算：（1） 2a2⋅a4+(−2a2)3−a8÷a2;（2） 2x(x−3y)+(5xy2−2x2y)÷y；（3） (2x−3y−1)(2x+3y−1).18．（10分） 已知关于x的二次三项式A满足A−(x−1)(x+1)=(x+1)2.（1） 求整式A；（2） 若B=3x2+4x+2，当x=−12时，求B−A的值.19．（10分）如图，某小区有一块长为(3a+b)米，宽为(a+3b)米的长方形空地，计划在中间边长(a+b)米的正方形空白处修建一座文化亭，左边空白部分是长为a米，宽为b10米的长方形小路，剩余阴影部分用来绿化.（1） 请用含a，b的代数式表示绿化面积（结果需化简）.（2） 若a=3,b=2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？20．（12分）用图①中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图②所示的正方形. ① ②（1） 根据图②中阴影部分的面积关系，直接写出代数式(a+b)2,a2+b2,2ab之间的数量关系：__________________________________;（2） 根据完全平方公式的变形，解决下列问题.① 已知m+n=5,mn=4，求m2+n2和(m−n)2的值;② 已知(x−98)2+(100−x)2=34，求(98−x)(100−x)的值.21．（12分）观察下列各式：(x−1)÷(x−1)=1；(x2−1)÷(x−1)=x+1；(x3−1)÷(x−1)=x2+x+1；(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1；…(x8−1)÷(x−1)=x7+x6+⋯+x+1.（1） 根据上面各式的规律填空：① (x2 026−1)÷(x−1) = ____________________________________；② (xn−1)÷(x−1)（n为正整数）=____________________________；（2） 利用（1）中①的结论，求22 025+22 024+⋯+2+1的值；（3） 若1+x+x2+⋯+x2 024=0，求x2 025的值.22．（16分）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：(12x+4)(2x+5)(3x−6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： 12x⋅2x⋅3x=3x3，常数项为：4×5×(−6)=−120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.根据尝试和总结，他发现：一次项系数就是：12×5×(−6)+2×(−6)×4+3×4×5=−3，即一次项为−3x.请你认真领会小东同学解决问题的思路和方法，仔细分析上面等式的结构特征.结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题.（1） 计算(x+2)(3x+1)(5x−3)所得多项式的一次项系数为________；（2） 计算(12x+6)(2x+3)(5x−4)所得多项式的二次项系数为____；（3） 若计算(x2+x+1)(x2−3x+a)(2x−1)所得的多项式不含一次项，求a的值；（4） 若(x+1)2 026=a0x2 026+a1x2 025+a2x2 024+⋯+a2 025x+a2 026，请直接写出a2 025的值.【参考答案】一、选择题（每题3分，共30分）1．B2．D3．D4．C5．A6．A7．D8．A9．B【点拨】因为5m=3，所以5n=15=5×3=5×5m=51+m，5p=75=52×3=52×5m=52+m.所以n=1+m，p=2+m.所以p=n+1.①m+p=n−1+n+1=2n，故此结论正确；②m+n=p−2+p−1=2p−3，故此结论错误；③n2−mp=(1+m)2−m(2+m)=1+m2+2m−2m−m2=1，故此结论正确；故正确的是①③.故选B.10．A【点拨】①因为大长方形的长为y cm，小长方形的宽为5 cm，所以小长方形的长为y−3×5=(y−15) cm，说法①正确；②因为大长方形的宽为x cm，小长方形的长为(y−15) cm，小长方形的宽为5 cm，所以阴影A的较短边为x−2×5=(x−10) cm，阴影B的较短边为x−(y−15)=(x−y+15) cm，所以阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−10+x−y+15=(2x+5−y) cm，说法②错误；③因为阴影A的较长边为(y−15) cm，较短边为(x−10) cm，阴影B的较长边为3×5=15(cm)，较短边为(x−y+15) cm，所以阴影A的周长为2(y−15+x−10)=2(x+y−25) cm，阴影B的周长为2(15+x−y+15)=2(x−y+30) cm，所以阴影A和阴影B的周长和为2(x+y−25)+2(x−y+30)=2(2x+5) cm，所以若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，说法③正确；④因为阴影A的较长边为(y−15) cm，较短边为(x−10) cm，阴影B的较长边为15 cm，较短边为(x−y+15) cm，所以阴影A的面积为(y−15)(x−10)=(xy−15x−10y+150) cm2，阴影B的面积为15(x−y+15)=(15x−15y+225) cm2，所以阴影A和阴影B的面积和为xy−15x−10y+150+15x−15y+225=(xy−25y+375) cm2，当x=15时，xy−25y+375=375−10y，说法④错误.综上所述，正确的说法有①③.故选A.二、填空题（每题3分，共15分）11．x6y2 12．89 13．106 14．①③④【点拨】①因为a∗b=0，所以(a+b)2−(a−b)2=0.所以a2+2ab+b2−(a2−2ab+b2)=0.所以4ab=0.所以a=0或b=0.故①正确；②因为a∗b=(a+b)2−(a−b)2=4ab，a∗b=a2+4b2，所以a2+4b2=4ab.所以a2−4ab+4b2=(a−2b)2=0，所以a=2b，所以存在实数a，b，满足a∗b=a2+4b2.故②错误;③因为a∗(b+c)=(a+b+c)2−(a−b−c)2=4ab+4ac，a∗b+a∗c=4ab+4ac,所以a∗(b+c)=a∗b+a∗c.故③正确;④因为a∗b=8，所以4ab=8.所以ab=2.所以(10ab3)÷(5b2)=2ab=4.故④正确.15．12【点拨】原式=x3+ax2+bx−3x2−3ax−3b=x3+(a−3)x2+(b−3a)x−3b，由积中不含x的二次项和一次项，得到a−3=0，b−3a=0，解得a=3，b=9，则a+b=3+9=12.三、解答题（共75分）16．（1） 【解】9957×(−10027)=−(100−27)×(100+27) =−[1002−(27)2] =−(10 000−449) =−9 9994549.（2） 1 2342−1 234×268+1342 =1 2342−2×1 234×134+1342 =(1 234−134)2 =1 1002 =1 210 000.17．（1） 【解】2a2⋅a4+(−2a2)3−a8÷a2=2a6−8a6−a6 =−7a6.（2） 2x(x−3y)+(5xy2−2x2y)÷y =2x2−6xy+5xy−2x2 =−xy.（3） (2x−3y−1)(2x+3y−1) =[(2x−1)−3y][(2x−1)+3y] =(2x−1)2−(3y)2 =4x2−4x+1−9y2.18．（1） 【解】因为A−(x−1)(x+1)=(x+1)2,所以A=(x+1)2+(x+1)(x−1)=x2+2x+1+x2−1=2x2+2x.（2） 因为B=3x2+4x+2，A=2x2+2x,所以B−A=3x2+4x+2−(2x2+2x)=3x2+4x+2−2x2−2x=x2+2x+2.当x=−12时，B−A=(−12)2+2×(−12)+2=54.19．（1） 【解】依题意,得(3a+b)(a+3b)−(a+b)2−a×b10=3a2+9ab+ab+3b2−a2−2ab−b2−ab10=2a2+2b2+79ab10.所以绿化面积是(2a2+2b2+79ab10)平方米.（2） (2×32+2×22+79×3×210)×100=7 340（元）.所以完成绿化共需要7 340元.20．（1） a2+b2=(a+b)2−2ab （2） ① 【解】因为m+n=5,mn=4，所以m2+n2=(m+n)2−2mn=25−2×4=17，所以(m−n)2=m2+n2−2mn=17−2×4=9.② 因为98−x−100+x=−2，(98−x)2+(100−x)2=(x−98)2+(100−x)2=34,所以[(98−x)−(100−x)]2=34−2(98−x)(100−x)，即4=34−2(98−x)(100−x)，所以(98−x)(100−x)=15.21．（1） ① x2 025+x2 024+⋯+x+1 ② xn−1+xn−2+⋯+x+1 （2） 【解】因为(x2 026−1)÷(x−1)=x2 025+x2 024+⋯+x+1，所以22 025+22 024+⋯+2+1=(22 026−1)÷(2−1) =22 026−1.（3） 因为(x2 025−1)÷(x−1)=x2 024+x2 023+⋯+x+1=0，因为x−1≠0，即x≠1.所以x2 025−1=0.所以x2 025=1.22．（1） −11 （2） 63.5（3） 【解】由题意可得1×a×(−1)+(−3)×1×(−1)+2×1×a=a+3=0,所以a=−3.（4） a2 025=2 026.