2025上海奉贤区高三上学期一模数学试题含答案

2024学年第一学期奉贤区高三学科质量调研数学 （完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1~6题每个空格填对得4分，7~12题每个空格填对得5分．1．设全集，集合，则_______．2．若直线：与直线：互相垂直，则_______． 3．已知，则不等式的解集为_______．4．设若，则_______．5．若，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法共_______种．6．的二项展开式中的常数项为_______．（用数字作答）7．已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为_______．8．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为、，其中为虚数单位，则的大小为 _______． 9．、两人下棋，每局两人获胜的可能性一样．某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛胜，后因为有其他要事中止比赛．为求公平，则应该分得______元奖金．10．申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章 由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中 ，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，，外接圆的半径是，则该图形的面积为 _______．（用含的表达式表示） 11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（左图1）的屋檐下常系挂风铃（中间图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成．为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量．因此我们需要作出一些合理的假设：假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．截面图如下（右图3），其中，， ，则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要_______千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 12．已知集合，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集,集合,其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列,当时，计算符合条件的点集的个数为____________．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14选对每个得4分，15-16选对每个得5分，否则一律零分．13．在中，“”是“”的（    ）A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；C．充要条件； D．既非充分又非必要条件．14．函数，则下列命题正确的是（   ）A．函数是偶函数； B．函数定义域是；C．函数最大值； D．函数的最小正周期为． 15．在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ）A．； B．； C．； D．．16．已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①若各项均为正整数的等差数列满足：，则是“可控数列”；②若等比数列是“可控数列”，则其公比为．则下列判断正确的是（    ）A．①与②均为真命题； B．①与②均为假命题；C．①为假命题，②为真命题； D．①为真命题，②为假命题．三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分）17．已知函数，其中．（1）若函数的图像过点，求关于的不等式的解集； （2）存在，使得数列、、是等比数列，求实数的取值范围． 18．某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）求频率分布直方图中的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．19．如图为正四棱锥，为底面的中心．（1）求证：∥面，平面⊥平面；（2）设为上的一点，．在下面两问中选一个，若都选，只按第 = 1 \* GB3 ①问阅卷，第 = 1 \* GB3 ①问满分5分，第 = 2 \* GB3 ②问满分7分 = 1 \* GB3 ①若，求直线平面所成角的大小． = 2 \* GB3 ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长．20．椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点 ．（1）若椭圆的离心率，求的值；（2）若，，求；（3）若，过点的直线与椭圆交于、两点，且，则当 时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？21．若函数的图像上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质．（1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）；（2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由；（3）设，证明：对任意的，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程.参考答案一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．（或） 9． 10． 11．120（119也可以） 12．二、选择题 13．A 14．C 15．A 16．D 三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分）17．解：（1）将点代入函数解析式，得：，因为，所以. …………………………2分因为在上是严格增函数， 所以， …………………………3分解得或，所以原不等式的解集为. …………………………2分由题意，数列、、是等比数列，得：， …………………………2分即：，化简得 …………………………1分，所以 …………………………1分因为在上是严格减函数， …………………………1分所以，所以的取值范围是. …………………………2分若，化简得的解法最多扣一分 …………………1分18． 解：（1）由题意，解得： . …………………………3分乙型芯片该项指标的平均值为 ………3分（2）由题意：甲型芯片根据分层抽样取1件，取1件； ……………2分乙型芯片根据分层抽样取3件，取1件. ……………2分从6件中任取2件的情况有 ……………2分则至少有一件为航天级芯片的概率为. ……………2分19．解：（1）证明：∥，平面，不在平面内，…………2分由线面平行判定定理得∥面 …………………………1分由题意：四棱锥为正四棱锥，为底面的中心 所以底面， 所以， …………………………1分， 又因为（这一步必需有） …………………………1分由线面垂直的判定定理得平面 …………………………1分又因为平面 所以由面面垂直的判定定理得平面平面. …………………………1分 （2）选 = 1 \* GB3 ①若，求直线与面所成角的大小． 由（1）知道平面，点在上，所以面与面是同一个平面连，则是直线与面所成的角 ……………1分 ，可以计算 ，可以计算 ，可以得到 ， 利用余弦定理得： ……………3分所以直线与面所成角的大小 …………………………1分选 = 2 \* GB3 ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为， ，可以计算 …………………………1分在平面内过点作交于点根据底面得，所以∥ …………………………1分所以底面 …………………………1分过点作交于点连，根据三垂线定理得到： …………………………1分是平面与平面所成的二面角的平面角 …………………………1分 ，可以得到， 所以平面 …………………………1分 …………………………1分 ，可以计算 …………………………1分在平面内过点作交于点根据底面得，所以∥ …………………………1分所以底面 …………………………1分过点作交于点连，根据三垂线定理得到： …………………………1分是平面与平面所成的二面角的平面角 …………………………1分 ，可以得到， 所以平面 …………………………1分 …………………………1分第（2）问另解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.选 = 1 \* GB3 ①若，求直线与面所成角的大小．点，点 因为， …………………………1分由（1）可得平面所以平面的一个法向量 …………………………1分 所以 …………………………2分 所以直线与面所成角的大小 …………………………1分若选 = 2 \* GB3 ②已知平面与平面所成二面角的大小为点，点，设因为，得 …………………………1分易得，设平面的一个法向量为得：，求得： …………………………2分又平面的一个法向量为所以， …………………………2分又因为平面与平面所成二面角的大小为所以，解得 …………………………1分 …………………………1分20．解：（1）椭圆的离心率 …………………………2分所以 …………………………2分（2）显然直线的斜率是存在的， …………………………1分 …………………………1分直线，过点的直线方程为， ……………………1分它与椭圆联立得到， ……………………1分 …………………………1分 …………………………1分时，椭圆方程为斜率不存在时，过任意点的唯一的直线：与椭圆交于、两点坐标，此时恒成立 …………………………………2分斜率存在时，设过任意点的直线的方程为联立它与椭圆联立得到 ……………………………1分 …………………………………1分 时，方程方程无解…………………………………1分时， 当时，存在直线斜率为的直线，使得使得 ………………1分 当时，即存在的两条直线，使得 ………………………………………1分所以：存在3条直线，使得存在2条直线，使得 ………………………1分或存在1条直线，使得21．解：（1）函数，是偶函数 …………………………2分其一条点切线方程为： …………………………2分（2）因为，所以. …………………………2分记，则由，知函数在上为严格增函数. ……………………2分因此，对于函数的图像上任意两点，，，，所以其切线斜率不相等，切线不可能重合，因此函数不具有点切线性质. …………………………2分（3），，…………………………1分故函数在处的切线方程为：，即……………1分一方面取个点、、、…、，在该个点处的切线方程均为： 所以该函数具有点切线性质.…………………………2分另一方面，若在点()处的切线重合.则有.由可以知道角与终边相同或关于轴对称、角与终边相同或关于轴对称、角与终边相同或关于轴对称，因中至少2个角终边相同，不妨设角与终边相同，则（）.此时，且，则，故，则或……………2分此时切线方程为或.…………………………2分