江苏省连云港市灌云县2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省连云港市灌云县2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了 下列变量具有二次函数关系的是， 定义， 有甲､乙两组数据，如表所示等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题）
1. 下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A. 正方形的周长y与边长xB. 速度v一定时，路程s与时间t
C. 正方形的面积y与边长xD. 三角形的高一定时，面积y与底边长x
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键．
【详解】解：A、，是一次函数，错误；
B、，v一定，是一次函数，错误；
C、，是二次函数，正确；
D、，h一定，是一次函数，错误；
故选C．
2. 为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，河南某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照：：的比例确定最终成绩，学生甲各项成绩百分制如下表，则学生甲最终的综合成绩为（ ）
A. 分B. 分C. 分D. 分
【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数的公式计算即可．
【详解】解：学生甲最终的综合成绩为（分）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算公式．
3. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移方法即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为，
故选：B．
4. 若关于x的方程kx2﹣x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≤12B. k≤C. k≤12且k≠0D. k≤且k≠0
【答案】B
【解析】
【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【详解】解：当k＝0时，﹣x＋3＝0，解得x＝3，
当k≠0时，方程kx2﹣x＋3＝0是一元二次方程，
根据题意可得：△＝1﹣4k×3≥0，
解得k≤，k≠0，
综上k≤，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5. 如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的圆周角定理的应用，弧长的计算；先求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴弧的长，
故选：B．
6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，
故选：C．
7. 二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下B. 当时，y随x的增大而增大
C. 当时，D. 二次函数的最小值是
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可．
【详解】解：将点代入到二次函数中，
得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
A． ，抛物线开口向上，A不正确；
B． ，当时，y随x的增大而增大，B不正确；
C．抛物线过点且开口向上，所以当时，，故C正确；
D． ，二次函数的最小值是，D不正确．
故选：C．
8. 定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（ ）
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将变形为，再利用“同族二次方程”定义列出关系式，得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定代数式的最小值．理解“同族二次方程”的定义是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
即，
∵与是“同族二次方程”，
∴与是“同族二次方程”，
∴，，
解得：，，
则
，
当时，取最大值2024，
故选A．
二．填空题（共8小题）
9. 有甲､乙两组数据，如表所示：
甲､乙两组数据的方差分别为，则______________（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．
【详解】解：由题意得：
，，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为＞．
【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．
10. 二次函数的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
11. 圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面积为____．
【答案】
【解析】
【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
12. 如图，转盘中阴影部分扇形的面积为，转盘所在圆的半径为2，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，先求出圆的面积，再利用几何概率计算方法即可求解，熟练掌握几何概率计算方法是解题的关键．
【详解】解：圆的面积为：，
则指针落在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
13. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
则：该品牌头盔销售量的月增长率为．
故答案为：．
14. 二次函数的图象如图所示，则关于的方程的一根为，则另一根______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标，抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点为，则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点坐标为，
则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，
则关于的一元二次方程的解为或，
故答案为：．
15. 如图，在圆内接正六边形中，，交于点G，已知半径为，则的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接、、，则经过O点，且O是的中点，
∵六边形正六边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∴，
解得：或（舍去）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质，圆周角定理，勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用各知识点．
16. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①，②，③，④（m为任意实数）．以上正确的结论有_______．（请把正确结论的序号填在横线上）
【答案】②④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数的关系，二次函数与轴的交点问题等知识．根据二次函数图象和系数的关系，即可判断①结论；根据二次函数与轴的交点情况，即可判断②结论；根据二次函数的对称性，即可判断③结论；根据二次函数的最值，即可判断④结论．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴的负半轴，
、同号，
，
抛物线与轴交点在负半轴，
，
，①结论错误；
抛物线与有两个交点，
，
，②结论正确；
二次函数与x轴一个交点坐标为，对称轴为直线，
二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
，③结论错误；
当时，；
抛物线对称轴为直线，且开口向上，
时，为最小值，
当时，，
，
（m为任意实数），④结论正确，
故答案为：②④．
三．解答题（共10小题）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球． 其中红球3个， 白球5个， 黑球若干个， 若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出个白球 (其他颜色球的数量没有改变)， 使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率；
（2）由红球概率可得关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【小问1详解】
解：球的总数（个），
黑球个数（个） ，
∴任意摸出一个球是黑球的概率为；
【小问2详解】
由题意得：，
解得，
经检验：是方程的解，
∴m的值为3．
【点睛】本题考查了求简单事件的概率，清楚所有可能结果数及事件发生时的可能结果数是解题的关键．注意概率公式的变形运用．
19. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89
抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86
抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图 抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图

七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_______________________，____________．
（2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）．
（3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？
【答案】（1）82，85，24
（2）八年级学生的劳动能力更强；理由见解析
（3）该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩，由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个，即可求出a；根据抽取的八年级学生成绩在、组共有17人，求出八年级B组和C组学生人数所占百分比，即可求出m；求出八年级A、D两组组学生人数，根据题意可得：成绩为85分的有7人，即可求出b；
（2）根据表格中的数据进行分析即可；
（3）用该校七、八年级总人数乘以抽取的七八年级学生中成绩为优秀的人数所占百分比即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可得：七年级抽取25名学生的测试成绩，
∴七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩，
由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个，
将抽取的七年级学生成绩在组的全部数据排序为：81、81、82、83、84、84、86、87、88、89，
∴七年级第13名学生测试成绩为82，即；
根据题意可得：抽取的八年级学生成绩在、组共有17人，
∴八年级B组和C组学生人数所占百分比为：，
∴八年级D组学生人数所占百分比为：，则；
∴八年级A组学生人数为：（人），八年级D组学生人数为：（人），
根据抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可得：成绩为85分的有7人，是B、C两组中出现次数最多的，且大于A、D两组人数，
∴八年级学生测试成绩众数为85，即；
故答案为：82，85，24；
【小问2详解】
解：八年级学生的劳动能力更强，理由：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强；
【小问3详解】
解：（人）
答：该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀．
【点睛】本题主要考查了根据统计图获取信息，求中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是掌握中位数和众数的定义，用样本估计总体的方法．
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据m的范围可知m＝1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
（2）∵为正整数，且，
∴．
当时，方程为，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
21 抛物线．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，；x取何值时，；x取何值时，．
【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线
（2）
（3）当或时，；当时，；当或时，
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用．
（1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴；
（2）由对称轴，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；
（3）判断函数值的符号，可以令，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系．
【小问1详解】
∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
【小问2详解】
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；
【小问3详解】
令，即，解得或3，抛物线开口向下，
∴当或时，；
当时，；
当或时，．
22. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？
【答案】寸
【解析】
【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵
∴，
设圆O的半径的长为x，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：
所以（寸）．
23. 如图，已知二次函数图象经过点和．

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1），顶点坐标为；
（2）
【解析】
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
【小问2详解】
当时，，
∴
解得：，，

如图，当时，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
24. 如图，是的直径，C是圆上一点，过C的直线与的延长线交于点D，于E，平分．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：
（1）连接，由，得，则，所以，即可证明是的切线；
（2）由勾股定理得，而，所以，求得，则．
【小问1详解】
连接，则，

∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
解得，
∴，
∴的长是
25. 某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另三边及中间的隔断用总长为的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有两扇宽的门．设边的长为，矩形花圃的总面积为．

（1）求与之间的函数关系式；
（2）求自变量的取值范围；
（3）求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，有最大值，最大值为600
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，
（1）设边的长为，则，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（2）根据的长度及边的篱笆的长度列出不等式即可求解；
（3）将配成顶点式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求最大值即可．
掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：设边的长为，则，
根据题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
由题意可知，边的篱笆：，
即：，
∴；
【小问3详解】
由（1）（2）知：，
∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又∵
∴当时，有最大值，最大值为600．
26. 已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，求四边形面积最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】26.
27. 51 28. 存在这样的点，使得点P到和两边的距离相等
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接，过点P作轴交于D，先求出直线的解析式，设，则，则，求出的最大值，再由可知当最大时，最大，由此即可得到答案；
（3）如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，先证明，进而得到平分，则直线上的点到的距离相等，由此即可知点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴可设抛物线解析式为，
又∵当时，，即，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过点P作轴交于D，设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴

，
∵，
∴当时，最大，最大为27，
∵，，
∴，
∴当最大时，最大，最大为；
【小问3详解】
解：如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∵F是的中点，
∴平分，
∴直线上的点到的距离相等，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为．
笔试
面试
实际操作
x
…
0
…
y
…
4
0
0
4
…
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78．9
79
八年级
78．9
85