江苏省南通市崇川区南通田家炳中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省南通市崇川区南通田家炳中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A. -2B. 2C. ±2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据形如y=a+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【详解】解：∵y=（m+2）+2是y关于x的二次函数，
∴|m|=2且m+2≠0，
解得m=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换．先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的图象的顶点坐标为，
所以，所得图象的解析式为，
故选：A．
4. 二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A. 有1个交点B. 有2个交点C. 无交点D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答．
【详解】解：令，
，
∵，
∴，
∴，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程的判别式，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程的解的问题．
5. 二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，，则该二次函数图象开口向下，且当时，，故其过原点，由此分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，，则该二次函数图象开口向下，
且当时，，故其过原点，
分析选项可得，只有C符合，
故选：C．
【点睛】题目主要考查二次函数图象，解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质如开口方向、对称轴、顶点坐标等与系数的关系．
6. 如图，四边形是的内接四边形，点是的中点，点是上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形性质．点是的中点，则，通过圆内接四边形对角互补求出即可．
【详解】解：∵，点是的中点，
，
∴，
∴，
故选：B．
7. 下列语句中正确的是（ ）
A 经过三个点一定可以作一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识，解答本题一定要死扣定义、定理内容，一些限制条件是必不可少的．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确；
D、三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确．
故选：D．
8. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数性质，根据函数图象以及二次函数的性质逐项分析可得解．
【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：，，，
则①当时，，正确；
②当时，，正确；
③，正确；
④对称轴，则和时取值相同，则，错误；
⑤对称轴，，又时，，代入，则，正确．
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
故选C
9. 抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象及性质；根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看作与函数的图象有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看作与函数的图象有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最大值4；
．
故选：B．
10. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，ACD都是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．
如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，
作PE⊥AB于E，
∴，
∴，
故D选项不正确；
如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，
作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，
∴，
，
∴，
故B选项不正确；
当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，
∴PQ=x-2，
作AG⊥CD于G，
∴，
∴，
故C不正确．
故选：A
【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 抛物线与轴的交点坐标是______．
【答案】．
【解析】
【分析】把代入，即可求出与y轴的交点坐标．
【详解】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题是对二次函数与坐标轴交点考查，熟知令y=0，可求抛物线与x轴的交点坐标；令x=0，可求抛物线与y轴的交点坐标．
12. 已知二次函数的图象的顶点在轴上，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在轴上时，其函数关系式为．据此求解即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点在轴上，
，
解得，
故答案为：2
13. 一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间（秒）与滑下的路程（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程为_________米．
【答案】
【解析】
【分析】把代入即可得到答案．
【详解】解：当时，，
即滑下的路程为米．
故答案为：.
【点睛】此题考查了求函数值，准确计算是解题的关键．
14. 如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外； ②点在圆上；③点在圆内是解题的关键．根据勾股定理求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案．
【详解】解：如图，连结，，
四边形是矩形，
，
，
以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内，
，
至少有一点在圆外，
，
半径的取值范围是：．
故答案为：．
15. 某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径的长为______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：由题意可得
∵且经过点O，
∴，
∵，
∴，
在中根据勾股定理可得，
，
解得，
故答案为：．
16. 已知，是抛物线上两点，则__．
【答案】2020；
【解析】
【分析】由，是抛物线上两点，可得，，当时，.
【详解】解：∵，是抛物线上两点
∴，
当时，.
故答案为2020.
【点睛】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
17. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为___．
【答案】24
【解析】
【详解】∵直线必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．
∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5．
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0）．
∴圆的半径为13．∴OB=13．∴BD=12．
∴BC的长的最小值为24，
故答案为24．
18. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式．
（1）已知抛物线顶点为，且过点；
（2）已知抛物线与轴交于点，且经过点．
【答案】（1）二次函数解析式为．
（2）二次函数解析式为．
【解析】
【分析】本题主要考查了运算待定系数法求函数解析式，根据题意正确设出解析式成为解题的关键．
（1）设二次函数解析式为．将点代入求得a的值即可解答；
（2）设二次函数的解析式为，将点代入求得a的值即可解答．
【小问1详解】
解：设二次函数解析式为．
二次函数的图像经过点，
，解得：．
二次函数解析式为．
【小问2详解】
解：设二次函数的解析式为，
二次函数的图像经过点，
，解得，
二次函数解析式为．
20. 如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．
（1）如图：作，垂足为E，由垂径定理可得，，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到的值，即可解答．
【小问1详解】
解：如图：作，垂足为，
由垂径定理知，点是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：如图：连接，
在中，，，
．
在中，
，，
,即小圆的半径为．
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）；
（2）如果点都在该抛物线上，比较与大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
（1）把一般式化为顶点式，即可作答．
（2）分别代入，整理与的式子，即可作答．
【小问1详解】
解： ，
抛物线顶点坐标为；
【小问2详解】
解：，
∵点都在该抛物线上
，
22. 如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交 于点.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）36°
【解析】
【分析】（1）连接OP，由已知条件证明，可推出；（2）设，因为OD=DC推出，由OP=OC推出，根据三角形内角和解关于x的方程即可；
【详解】（1）证明：连接OP.
∵，
∴PA=PC，
在中，

∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
【点睛】本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键.
23. 如图，抛物线与轴交于，交轴于．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是直线上方的抛物线上的一个动点，设的横坐标为，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值及点的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）的最大值，此时点的坐标
【解析】
【分析】（1）本题考查待定系数法求二次函数的解析式，将点代入求解即可得到答案；
（2）本题考查二次函数动点围城最大面积问题，过作轴交于点，设直线的表达式为：，，表示出点，根据列出函数关系式，结合性质求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，交轴于，
，
，
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：设直线的表达式为：，代入得，，
，过作轴交于点，设，，
，
，
当时，的最大值，此时点的坐标．
24. 在平面直角坐标系内，设二次函数（为常数）．
（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式；
（2）若二次函数在时，有最小值2，求的值．
【答案】（1）函数的表达式为或
（2）的值为或3
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、运用待定系数法求函数解析式等知识点．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将点代入解析式中，求出a值即可即可；
（2）根据在对称轴的左侧、右侧以及在对称轴两侧进行分类讨论求解即可．
【小问1详解】
解：把代入得：
，解得或．
函数的表达式为或．
【小问2详解】
解：抛物线开口向上，对称轴是直线，
当时，时取最小值2，
，解得（舍去）或；
当时，时取最小值2，
，解得：，
当时，时取最小值2，
，方程无实数解．
综上所述，二次函数在时，有最小值2，的值为或3．
25. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨元，（为正整数）每个月的销售量为件．
（1）与的函数关系式为：______；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元
（3）的取值范围为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，不等式组的应用，一次函数的应用，二次函数的图象和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意列关系式即可；
（2）月利润等于销售量乘以单价利润，据此列出二次函数，化为顶点式求最值即可；
（3）先表示出月利润，再写出其对称轴为直线，根据当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，列不等式组求解即可．
【小问1详解】
由题意得，与的函数关系式为，
∵每件售价不能低于50元且不得高于65元，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
设月利润为W，由题意得
，
∵，
∴当时，W有最大值2402.5，
∵且x为正整数，
∴当时，，；
当时，，；
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
【小问3详解】
由题意得，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵售价每件不低于58元，且x为正整数，
∴时，每月的销售利润随的增大而减小，
∴，
解得．
26. 在平面直角坐标系中，我们定义：点的“变换点”为，且规定：当时，点为．当．点为．
（1）分别写出各点的“变换点”；______；______；______；
（2）当点的“交换点”在函数的图象上，求的值；
（3）已知直线与坐标轴交于两点，将直线上所有的“变换点”组成一新的图形，记为．当抛物线与图形的交点个数2个或3个时，求出对应的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）当或此时抛物线与图形M有2个交点，当或时，抛物线与图形M有3个交点．
【解析】
【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；
（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；
（3）先求得直线与直线l的交点坐标，然后分为当和两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线与M的函数关系式组成方程组，再利用数形结合的方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：由变换点的定义可得的变换点为；
的变换点为；
的变换点为；
【小问2详解】
①当时，点A的变换点为，
把代入，
解得；
②当时，A的变换点为，
把代入，
解得；此时不符合题意；
∴综上：；
【小问3详解】
设直线l的解析式为，
将点、代入得：，
解得，
∴直线l的解析式为，
当时，，
解得，
∴直线点的坐标为，点的变换点的坐标为，
点的变换点的坐标为，
点的变换点的坐标为，
当时，所有变换点组成的图形是以为端点，过的一条射线，即：，
当时，所有变换点组成的图形是以为端点，过的一条射线，即，
所以新的图形M是以为端点的两条射线组成的图形，
由和，
得：和，
如图，
当抛物线与图形有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
如图，当抛物线与有1个交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当抛物线过时，
∴，
解得：，
如图，
综上，当或此时抛物线与图形M有2个交点，当或时，抛物线与图形M有3个交点．