江苏省徐州市丰县七校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省徐州市丰县七校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A 、、、B. 、、、
C. 、、、D. 、、、
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
A，，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B，，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C，，所以四条线段不成比例，故C选项不符合题意；
D，，所以四条线段成比例，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义．
2. 如图所示的三个矩形中，其中相似形是
A. 甲与乙B. 乙与丙C. 甲与丙D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．
【详解】甲：矩形宽与长比为：；
乙: 矩形宽与长比为：;
丙: 矩形宽与长比为：,
所以乙和丙的宽与长的比相等，故这两个矩形相似.
故选B.
【点睛】考查相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形．
3. 如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A. ：B. 2：3C. 4：9D. 16：81
【答案】B
【解析】
【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果.
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为：=.
故选B.
【点睛】本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.
4. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的意义，先根据已知条件推出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
．
5. 如图，下列条件中不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
【详解】解：A、∵，，∴，故A不符合题意；
B、∵，，∴，故B不符合题意；
C、当且时，，故C不能判断，符合题意；
D、∵，∴，又∵，∴，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A （﹣3，﹣1）B. （﹣1，2）
C. （﹣9，1）或（9，﹣1）D. （﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【解析】
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
7. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.
【详解】∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB=，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．
8. 如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质，折叠的性质可得，设AB＝2x，则，，根据计算求解即可．
【详解】解：∵，
设AB＝2x，则，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 如图，在中，G是重心．如果，那么线段的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质．连接，并延长交于点E，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，并延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴点D，E分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
故答案为：3
10. 已知是线段的黄金分割点，，若，则的长为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】利用黄金分割比的定义求解即可．
【详解】由题意得：，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
11. 如图，在中，若，，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先根据线段之间的关系得到，再证明得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
12. 如图，是中线，是上一点，，的延长线交于，为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取的中点H，连接，则是的中位线，可得，再证明得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，取的中点H，连接，
∵是的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m．
【答案】
【解析】
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14. 在中，若、满足，则__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【详解】
如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=;
即DC2=EDFD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为4.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.
16. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，在下方作，过点P作于E，则由含30度角的直角三角形的性质得到，故当当三点共线，且时最小，即此时最小，由矩形的性质得到，，则可证明是等边三角形，则，，，再求出，得到，则的最小值为．
【详解】解：如图所示，在下方作，过点P作于E，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时最小，即此时最小，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定当三点共线，且时，最小是解题的关键．
三、计算题
17. 计算：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，零指数幂，有理数的乘方进行化简计算即可得答案；
本题考查了特殊角三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练的化简格式并熟记特殊角三角函数值是解题关键．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 求满足下列条件的锐角α．
（1） ；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，即可得答案；
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
【小问1详解】
解：
锐角
【小问2详解】
解：
四、解答题
19. 如图，在中，，点D在上，，．求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解得到，再解可得．
【详解】解：中，，，
∴，
在中，，，
∴．
20. 如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）的周长为
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得，由外角的性质可得，由等腰三角形的性质，可得，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得，，即可求解．
详解】证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21. 已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．

（1）求的正切值；
（2）求的值．
【答案】（1）的正切值为，详见解析
（2），详见解析
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数值求的长，由勾股定理得的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设，分别表示和的长，代入可得结论．
【小问1详解】
∵，
∴，
在中， ，
∴，
由勾股定理得：，
∵E是的中点，
∴，
∴的正切；
【小问2详解】
过D作交于G，

∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是考查了解直角三角形，平行线截线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
22. 如图，吕梁阁为徐州园博园的地标性建筑．一架无人机飞到与吕梁阁顶端B等高的点P处，测得吕梁阁底部A的俯角为，当其飞至点Q时，测得点A的俯角为．若点Q在线段BP上，，求吕梁阁的高度．
参考数据：，
【答案】吕梁阁的高度为
【解析】
【分析】由题意可知，，进而可得，，再结合即可求得吕梁阁的高度．
【详解】解：由题意可知，，
在中，，则，
在中，，则，
则，
∴，
即：吕梁阁的高度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义及锐角三角函数的定义．
23. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．
（1）求这个正方形零件的边长；
（2）如果把它加工成矩形零件如图，问这个矩形的最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【小问1详解】
解：∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴这个正方形零件的边长是；
【小问2详解】
解：设，同（1）可得，则
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形面积，
∵，
当时，此时矩形面积最大，最大面积是，
即：矩形面积最大是．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出．