江苏省徐州市徐州经济技术开发区徐州东湖实验学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省徐州市徐州经济技术开发区徐州东湖实验学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 计算的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将的值代入进行计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
2. 已知线段，则线段的比例中项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8，
∴x2=ab=32，∴x=±4，即a、b的比例中等于4．
故选D.
3. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，可得再代入求值即可．
【详解】解： ，
设，


故选：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数法解决比例问题是解题的关键．
4. 如图，，若，，，则的长度是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得，
故选：C
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握相关性质，正确列出式子．
5. 如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．连接，由中，，，为中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得，再利用勾股定理，求得的长，那么在直角中根据三角函数的定义求出，然后根据同角的余角相等得出，于是．
【详解】解：连接，
中，，，为中点，
，，
，
．
，，
，，
，
．
故选：C．
6. 已知点C是线段的黄金分割点，且，则AC长是（ ）
A. 2B. C. 2或D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值为是解题的关键．
【详解】解：当为较长线段时，
则，
∴，
当为较短线段时，
，
∴，
∴，
故选C．
7. 如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠C相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【详解】∵，
∴，
①作，可得．
②作，可得．
③作∠APG=∠C，由于∠A是公共角可得，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定方法,熟练运用平行法和非平行线法构造三角形的相似三角形是解题的关键．
8. 如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边上的点F处．已知，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的翻折问题，勾股定理，锐角三角函数等知识．根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决．
【详解】解：根据题意可得：在中，有，，，
在中，由勾股定理可得，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得，
故．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共32分）
9. 若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是______千米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地间的实际距离是，根据题意可得方程，解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案．
【详解】解：设两地间的实际距离是，
∵比例尺为，量得两地间的距离为，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴两地间的实际距离是千米，
故答案为：．
10. 某一时刻太阳光下身高的小明的影长为，同一时刻旗杆的影长为则旗杆的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行投影以及相似三角形的性质；根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案．
【详解】解∶设旗杆高度为，根据题意得，
解得．
故答案为：．
11. 如图，四边形四边形，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可．
【详解】∵四边形四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 在锐角中，，，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．根据，可求出的度数，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：在锐角中，，
，
，
，
故答案为：．
13. 如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是______（请填写序号）
① ② ③ ④
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键．
【详解】解：∵，
∴
即：
①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）；
④，不能判定；
故答案为：①②③
14. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得：，
，
，
故答案为：20．
15. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是矩形得AB＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，由BC＝6，E是BC的中点得BE＝EC＝3，再证明△ABE∽△ECF，求出CF的长，再求DF的长．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，
∵BC＝6，E是BC的中点，
∴BE＝EC＝3，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝4﹣＝ ，
故答案为：．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
16. 如图，在中，，于D，，，则______．
【答案】
【解析】
分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解得到，则可利用勾股定理求出，再解得到．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
中，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17. （1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．
（1）根据零指数幂的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标．
（2）若已知点在内，请直接写出经过（1）变化后点D的对应点的坐标．
（3）若四边形是矩形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）作图如图，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了由位似的性质作位似三角形，位似变换点的坐标规律，正方形的性质，矩形的判定；
（1）分别连接、、并反向延长使、、，即可求解；
（2）图形上任一点关于坐标原点进行反向位似变换，相似比为，则对应点的坐标为，据此即可求解；
（3）取格点，由正方形的性质可证四边形是矩形，由图即可求解；
掌握位似图形的作法，位似变换中坐标变换规律及同向变换和异向变换的区别是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
是所求作的图形；
由图得：；
【小问2详解】
解：与在位似中心的异侧，
且相似比为，
；
【小问3详解】
解：如图，取格点，
，
，
由图得：是边长为的格点正方形的对角线，
，
，
同理可得：，
四边形是矩形，
．
19. 在平行四边形中，点在边上，，交于点．
（1）求的值；
（2）与的面积的比为______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
（1）根据四边形是平行四边形，可得，由平行线的性质可证明，结合，即可求解；
（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
即，
；
【小问2详解】
由（1）知，，
与的面积的比为，
故答案为：．
20. 小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的点处用测角仪测得楼房顶端点的仰角为，向楼房前行在点处测得楼房顶端点的仰角为，已知测角仪的高度是（点，，在同一条直线上），根据以上数据求楼房的高度．（，结果保留一位小数）

【答案】楼房的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，再在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得．
【详解】解：由题意得：，，，，，
，
，
，
在中，，
，
答：楼房的高度约为．
21. 如图所示，矩形，，E为边上一点，．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（）．

解答下列问题：
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似：
（2）设五边形的面积为S（），求S与t之间的函数关系式；
（3）连接，取中点F，连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）当或时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似；
（2）
（3）存在某一时刻t,使，t的值为．
【解析】
【分析】（1）分或两种情形，分别利用列出方程即可；
（2）作于H，将五边形面积转化为梯形面积减去的面积即可；
（3）根据平行线的性质得，再利用直角三角形斜边上中线的性质得，再利用三角函数列出方程即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∵,,
∴,,
当时，，
∴，
解得，
当时， ，
∴，
解得，
综上所述，当或时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似；
【小问2详解】
，
如图，作于H，

则， ，
∴，
，
∴；
【小问3详解】
存在某一时刻，使得， 如图，作于M，

同理可得：，，，
∵，，
∴，
∵为的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即存在某一时刻t,使，t的值为．