安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市石化第一中学2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解．
【详解】解：∵主视图是直角三角形，
故A，C，D选项不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．
2. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握正多边形的性质和n边形的内角和公式为是解题关键．先计算正五边形的内角和正五边形的中心角，再作差即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴．
故选D．
3. 已知线段如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，再把a、b、c用k替换后约分即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴可设，
∴，
故选：C．
4. 已知反比例函数解析式为，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.
【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.
5. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. ：B. 2：3C. 2：5D. 4：9
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质，即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，
∴ ，
∴四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为 ．
故选：B
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
6. 如图，在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
∴，
故选：A．
7. 若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线与轴有交点，说明，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数 （，，是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
8. 如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=．
【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
9. 如图，是的内切圆，，为三个切点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．根据切线的性质可得出，根据圆周角定理可得出，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，．
∵是的内切圆为三个切点，
∴，，点E在上，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将ΔABC沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
二、填空题（共4小题）
11. 二次函数图象的顶点坐标为___________．
【答案】1,0
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案．
【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
12. 已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为2，则此圆锥的侧面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可．
【详解】解：依题意知母线长，底面半径，
则由圆锥的侧面积公式得．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式，是解题的关键．
13. 如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上一点，则为_________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了圆心角，圆周角，弧之间的关系，勾股定理，锐角三角函数．连接，根据圆周角所对的弦是圆的直径，确定，根据勾股定理计算，根据同弧上的圆周角相等，计算即可．
【详解】解：连接，
因为，
所以为直径，即，
因为，
所以，
在中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：．
14. 如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．
（1）___________；
（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴，
∵是中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过斜边的中点．
∴；
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，
将点代入中，解得，
∴直线解析式为，
由（1）得反比例数解析式为，
联立，
解得：或，
当时， ，
当时， ，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
16. 如图，点、、分别在的边、上，已知，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】由，，推出，代入数据，计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17. 为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）
【答案】33.1米
【解析】
【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．
【详解】解：
过点D作DF⊥AB，如图所示：
在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°
∴AF=DF=21米
在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°
∴EF=DF×tan30°=米
∴AE=AF+BF=+21≈33.1米．
答：条幅的长AE约是33.1米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．
18. 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围．
【答案】（1）
（2）或者
【解析】
【分析】（1）根据A、B点在一次函数上，即可出A、B点坐标，再将A点坐标代入到反比例函数解析式中即可求出k值，则问题得解；
（2）依据图象以及A、B两点的坐标可知找出一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围，则问题得解．
【小问1详解】
∵A、B点是一次函数与反比例函数的交点，
∴A、B点在一次函数上，
∴当x=-4时，y=1；当y=-4时，x=1，
∴A(-4,1)、B(1,-4)，
将A点坐标代入反比例函数，
∴，即k=-4，
即反比例函数的解析式为：
【小问2详解】
一次函数值小于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∵A(-4,1)、B(1,-4)，
∴一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为：或者．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量x的取值范围等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
19. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.
【解析】
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3，
解得：m=2，
∴y=+2x+3=，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
【点睛】
20. 如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，内心的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据内心的性质可得平分平分，可得，．从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求证．
【详解】证明：如图，
连接，
∵为内心，
∴平分平分，
∴．
∴和所对的圆心角相等．
∴，，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
21. 亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/kg）与时间t（天）的函数图像如图，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系是：（其中天数t为整数）
（1）当0≤t≤40天，求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在前20天中，超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫“对象，而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1）；（2）第10天时，最大日销售利润为1250元；（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数的中w的最大值，即可求解；
（3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间t的关系式，由二次函数的性质列出不等式组，可求解．
【详解】解：解：（1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=kt+30，
∴40=40t+30，
∴t=，
∴p=t+30，
当t＞40时，p=40，
综上所述：p=；
（2）设日销售利润为w元，
当0≤t≤40时，w=（p-20）•y=（t+10）（（-2t+120）=-（t-10）2+1250，
∴当t=10时，w有最大值为1250元，
当t＞40时，w=（p-20）•y=20（-2t+120）=-40t+2400＜800，
∴第10天时，最大日销售利润为1250元；
（3）∵w=（p-20-n）（-2t+120）=-t2+（2n+10）t+1200-120n，
∴a=-，对称轴为x=2n+10，
∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴，
∴5≤n＜9
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练运用二次函数的性质是本题的关键．
22. 如图，中，，，为内部一点，且.
(1)求证：；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，进而得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论.
【详解】证明：（1）∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．
23. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点P为线段上的动点（不与点B，O重合），连接并延长交边于点G，交的延长线于点H．
（1）求线段的长；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）如图2，作线段的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，在点P的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或；
（3）的度数是定值，
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理进行列式即可求解；
（2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求，，的长，通过证明，可得，即可求解；
（3）先证点，点，点三点共线，由直角三角形的性质可得，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【小问1详解】
解： 四边形是菱形，
，，，，
，，
；
【小问2详解】
解：当时，
四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
∴，
，
；
当时，
，
，
，，
，
∴，
，
；
综上所述：或；
【小问3详解】
解：的度数是定值，理由如下：
如图，取的中点，连接，，，
是的垂直平分线，
，，
，
又点是的中点，
，
点是的中点，，
，
点，点，点三点共线，
点是的中点，，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
．