江苏省苏州市苏州文昌实验中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省苏州市苏州文昌实验中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填写在答题卷相应位置上．
1. 方程的解是（ ）
A. 0B. 3C. 0或–3D. 0或3
【答案】D
【解析】
【分析】运用因式分解法求解.
【详解】由得x(x-3)=0
所以，x1=0,x2=3
故选D
【点睛】掌握因式分解法解一元二次方程.
2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝ ，分别计算△的值，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.△＝1﹣4=-3＜0，方程没有实数根；
B.△＝﹣4＜0，方程没有实数根；
C.△＝4﹣4＝0，方程有两个相等实数根；
D.△＝9﹣4＝5＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4. 若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据：抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大.
【详解】因为，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，-3>-4,
所以，y1>y2
故选C
【点睛】理解二次函数的基本性质.
5. 2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，把相关数值代入计算求得合适解即可．
【详解】设月增长率为x，根据：等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，得
50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故选D
【点睛】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；得到第二季度的总销售额的等量关系是解决本题的关键．
6. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为(－1, 0)，则关于的一元二次方程的两实数根是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），可以求得该函数的对称轴，再根据该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），从而可以求得该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得到方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该函数的对称轴是直线x＝＝1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，
故选C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、函数与方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7. 抛物线的部分图像如图所示，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为(4，0).下列结论中:①;②;③方程有两个不相等的实数根;④抛物线与轴的另一个交点坐标为(–1，0);⑤若点在该抛物线上，则.其中正确的有（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ①③⑤D. ①④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】从抛物线的图象开口，对称轴，与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程的解等知识进行分析.
【详解】因为抛物线的对称轴是直线x=1，(a≠0)
所以，，整理得：2a+b=0,故②错误；
设抛物线与x轴的另一个交点横坐标是x,则，
所以，x=-2,故抛物线与x轴的另一个交点是（-2，0），
所以，④错误；
因为由图象可知，c>0,aa,故①正确；
因为当x=1时，函数点最大值是+c,
当x=m时，函数值是+c,
所以，+c≤+c,
所以，,故⑤正确.
当y=1时，x有两个值与之对应，
所以，有两个不相等的实数根;故③正确；
故选C
【点睛】理解二次函数的基本性质，数形结合分析问题.
8. 函数经点．时，x的取值范围为或．m可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．
【详解】解：∵当时，，
∴，
∵当，x的取值范围为或，
∴或是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
∴是函数的对称轴，
又∵，x取值范围为或，
∴，
∴，
∵函数经点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴m可能取值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
二、填空题：（本大题共8小题．每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卷相应的横线上．
9. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到△≥0，即(-2)2-4×（m-3）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0，即(-2)2-4×（m-3）×1≥0，解得m≤4，
∴m的取值范围是 m≤4．
故答案为:m≤4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10. 将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移1个单位可得到抛物线，再根据上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位得到的抛物线.
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移1个单位可得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位可得到抛物线．
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
11. 已知二次函数的表达式为：，将表达式化成的形式_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键．
12. 抛物线的顶点在轴正半轴上，则t=_________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上，可以得到，，从而可以求得t的值，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣（t+2）x+1的顶点在x轴正半轴上，
解得，t＝0，
故答案为0．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13. 已知三角形的边长是1和2，第三边的数值是方程的根，那么这个三角形的周长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形三边的关系求出第三边的长，由此即可利用三角形周长公式求出答案．
【详解】解：解方程得或，
∵三角形的边长是1和2，
∴第三边长，
∵第三边的数值是方程的根，
∴第三边的长为，
∴这个三角形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
14. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过第______象限．

【答案】一、二、三
【解析】
【分析】根据二次函数图象可知，由此根据一次函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．
【详解】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y=x2+x，
当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），
当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），
∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
16. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为漂亮点．已知二次函数（）的图像上有且只有一个漂亮点．且当时，二次函数（）的最小值为，最大值为4，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数（）的图象上有且只有一个完美点求出a=-1，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，
设完美点的坐标为(n，n),
∴方程n=an2+6n-即an2+5n-=0有两个相等的实数根，
∴∆＝0，
∴a=-1，二次函数的解析式为: y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
当x=3时，函数有最大值为4,
又∵当时，二次函数最小值为，
∴令-x2+6x-5=-12，
则x=7或-1，
∴要使函数最小值为-12，最大值为4，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．
三、解答题：（本题满分82分，共11小题把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）．
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
18. 已知关于的方程，若方程的一个根是–4，求另一个根及的值.
【答案】1，-2
【解析】
【分析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.
【详解】
【点睛】考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.
19. 已知a是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则把原式式子化简为，再根据一元二次方程解的定义求出，由此即可求出答案．
【详解】解：
，
∵a是一元二次方程的实数根，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，正确根据分式的混合计算法则把所求式子进行化简是解题的关键．
20. 如图，抛物线与y轴交于点C，点的坐标为，点P是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，进而得到线段的垂直平分线为直线，再由是以为底的等腰三角形，则点P在直线上，据此求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
∵，
∴的中点坐标为，
∴线段的垂直平分线为直线，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，即点P在线段的垂直平分线上，
∴点P在直线上，
在中，当时，则，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，推出点P在直线上是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，求m的值．
【答案】m＝﹣1
【解析】
【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0两个实数根，
∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，
∴m2﹣2（2m﹣1）＝7，
解得：m1＝5，m2＝﹣1，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝m2﹣4（2m﹣1）≥0，
∴当m＝5时，
Δ＝25﹣36＝﹣11＜0，舍去；
故符合条件的m的值为m＝﹣1．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程根的判别式，熟记公式并正确应用是解题的关键．
22. 某数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，发现自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
（1）补全上表；
（2）根据表中数据，画出函数图象的另一部分；

（3）进一步探究函数图象，回答问题：
①观察图象可以得出，对应的方程有______个实数根；
②关于x的方程有2个实数根时，a的取值范围是______；
③当x取何值时，y随x的增大而增大？
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①3；②或；③或
【解析】
【分析】（1）直接把，带入函数解析式中求出对应的函数值，即可补全表格；
（2）根据表格中的数据，先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
（3）根据（2）所画的函数图象进行求解即可；
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
补全表格如下：
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：①由函数图象可知，有3个实数根，
故答案为：3；
②由函数图象可知，当或时，直线和函数有两个不同的交点，
∴关于x的方程有2个实数根时，a的取值范围是或，
故答案为：或；
③由函数图象可知，当或时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查了求二次函数函数值，画二次函数图象，二次函数的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图像与一次函数的图像的一个交点为，点的横坐标为–2，另一个交点在轴上.

(1)求二次函数的表达式;
(2)当取何值时，一次函数值大于二次函数值?
(3)将点绕点顺时针旋转90º后得到点，请判断点是否在该二次函数的图像上.
【答案】（1）（2）一次函数的值大于二次函数的值；（3）B在二次函数图象上.
【解析】
【分析】（1）先求出C的坐标，再求m;（2）观察图象分析函数值大小；（3）求A的坐标，根据全等三角形性质求B的坐标即可.
【详解】解：（1）令x=0,则y=0+3=3,
所以C(0,3),
所以，3m=3
m=1
所以，
（2）

【点睛】二次函数的综合运用，数形结合分析问题.
24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段上方的抛物线上一动点，当的面积取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】先连接，，，设点，再求出点C，点A，点B的坐标，然后结合得出关系式，再配方讨论最值即可得出答案．
【详解】先连接，，，如图所示．
设点，
当时，，
∴点．
当时，，
解得或10，
∴点，点，
∴，
当时，的面积最大值为，
当时，，
此时点．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求二次函数图像与坐标轴的交点坐标，求二次函数的最值，求三角形的面积等，用割补法表示出三角形的面积是解题的关键．
25. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米．
（1）按如图所示建立平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一辆货运卡车高为4m，宽为2m，如果该隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

【答案】（1）；（2）这辆货车能安全通过．
【解析】
【分析】（1）根据题意可知顶点坐标和点B坐标，设抛物线的函数表达式为顶点式，代入即可求出表达式；
（2）利用宽求出高为，所以可以通过．
本题是二次函数的应用，属于抛物线型隧道或拱桥问题，此类题一般函数表达式求法比较简单，但若货运卡车等是否能通过隧道问题，有两种情况：单向车道或双向车道，要仔细审题，可以利用宽来计算高，也可以利用高来计算宽，把对应的坐标代入即可．
【详解】：解：（1）如图1，由题意得：最高点，，
设抛物线的函数表达式：，把代入得：，
解得：，
∴
（2）如图2，
当时，，
当x=2时，，
∴这辆货车能安全通过．

26. 某网店以每件80元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件;后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低2元，其销售量可增加10件.
(1)该网店销售该商品原来一天可获利润 元.
(2)设后来该商品每件售价降价元，网店一天可获利润元.
①若此网店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元?
②求与之间函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该网店一天所获利润最大?并求最大利润值.
【答案】（1）1000；（2）①8；②95；1125
【解析】
【分析】（1）用每件利润乘以50件即可；
（2）每件售价降价x元，则每件利润为（100﹣80﹣x）元，销售量为（50+5x）件，它们的乘积为利润y，
①利用y＝1080得到方程（100﹣80﹣x）（50+5x）＝1080，然后解方程即可；
②由于y＝（100﹣80﹣x）（50+5x），则可利用二次函数的性质确定最大利润值．
【详解】解：（1）该网店销售该商品原来一天可获利润为（100﹣80）×50＝1000（元），
故答案为1000；
（2）①y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000，
当y＝1080时，﹣5x2+50x+1000＝1080，
整理得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，
答：每件商品的售价应降价2元或8元；
②y＝（100﹣80﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000＝﹣5（x﹣5）2+1125，
当x＝5时，y有最大值，最大值为1125，
则100﹣x＝95，
答：当该商品每件售价95元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为1125元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
27. 如图①，在中，，，动点P以的速度在的边上沿的方向匀速运动，动点Q在的边上沿的方向匀速运动，P、Q两点同时出发，后，点P到达终点B，点Q立即停止运动（此时点Q尚未到达点A），设点P运动的时间为，的面积为，S与t的函数图像如图②所示．

（1）图①中______，点Q运动的速度为______；
（2）求函数S的最大值；
（3）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似？请说明理由．
【答案】（1）8；1 （2）
（3）当或时以、、为顶点的三角形与相似
【解析】
【分析】（1）先根据路程速度时间，求出的长，则由勾股定理氪求得的长，再利用当时，的面积为9，得，代入数值计算即可；
（2）过点P作于H，证明得，求出边长，表示，利用二次函数的性质进行求解即可；
（3）分两种情况讨论当时，当时，证明与相似，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵动点以的速度运动了5秒后，从A运动到B点，
∴，
∵，，
∴，
由图②可知当运动时间为5秒时，的面积为9，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点运动的速度为；
故答案为：8；1；
【小问2详解】
解：如下图，过点P作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，函数有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：分两种情况，当时，如下图，
∵，
∴，
∴，，
解得：；

当时，如下图，
∵
∴，
∴，，
解得：；

综上所述，当或时以、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的综合性质，动点与相似三角形的性质，二次函数与动点问题，难度大，综合性强，熟悉相似三角形的判定与性质，建立边长之间的关系， 用代数式表示出边长是解题关键．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
______
______
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
…