安徽省安庆市桐城市大关区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市桐城市大关区2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（、b、c为常数，）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、函数根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、函数分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 下列函数图象中，不能通过二次函数的图象平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
详解】解：，，均能通过平移得到，
而是一次函数，故不能通过平移得到，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，明确平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是关键，理解二次项系数确定抛物线的形状．
3. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. x=-2B. x=-1C. x=2D. x=1
【答案】B
【解析】
【详解】令 解得x=-1,故选B.
4. 已知点在二次函数的图象上，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点代入计算即可．
【详解】解：将点代入，得，
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确理解图象上点的坐标代入函数解析式计算是解题的关键．
5. 如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．
【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，
∴表面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．
6. 如图，这是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一交点为，则由图象可知，方程的解是（ ）

A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点为，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一交点为，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴由图象可知，方程的解是，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，数形结合的思想是解题的关键．
7. 已知二次函数的图象上有两点，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A和点B的横坐标，结合给出的纵坐标的大小，判断a的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数固象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
8. 函数与函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由的顶点坐标为的位置和开口方向判断出a、b的范围， 再根据函数的图象判断出a、b的范围，根据是否矛盾可得答案．
【详解】解：A．由的顶点坐标为开口向下，可知，，由函数得图象可知，，，矛盾，故选项错误，不符合题意；
B．由的顶点坐标为开口向下，可知，，由函数得图象可知，，，矛盾，故选项错误，不符合题意；
C．由的顶点坐标为开口向上，可知，，由函数得图象可知，，，矛盾，故选项错误，不符合题意；
D．由的顶点坐标为开口向上，可知，，由函数得图象可知，，，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
9. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：

关于此函数下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象开口向下B. 当时，该函数有最大值
C. 当时，D. 若在函数图象上有两点，，则
【答案】D
【解析】
【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】解：由题意可知，抛物线的图象经过点、、，
即：，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴抛物线开口向下，故A正确；
∵，
∴当时，该函数有最大值，故B正确；
当时，，故C正确；
∵当，即，解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：、，
∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，
∴当函数值时，，或，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10. 二次函数的图象如图所示，与轴正半轴的交点坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】先求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线的图象与性质进行一一判断即可
【详解】解：由图象知，抛物线与轴的负半轴相交，
所以，，故①错误；
抛物线开口向上，，
对称轴为直线，
所以，，故②错误；
又抛物线与与轴有两个交点，所以，故③错误；
抛物线与轴正半轴的交点坐标为，且对称轴为直线，
所以，抛物线与轴的另一交点坐标为，
所以，当时，，故④正确，
所以，正确的结论有1个，
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若函数是二次函数，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的一般形式进行解答即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴，
故答案：
【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，形如的函数叫做二次函数，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
12. 抛物线的顶点坐标是_____________．
【答案】（3，2）．
【解析】
【详解】解：∵y=（x﹣3）2+2为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（3，2）．
故答案是（3，2）．
13. 如图，这是用长度为的篱笆围成的矩形菜地，则所围成矩形的最大面积是__________．

【答案】25
【解析】
【分析】设矩形的一边为然后求解面积的表达式，利用二次函数的性质最值即可．
【详解】解：设矩形的一边为，则另一边为，
∴矩形的面积为，
所以，当时，y有最大值为．
故答案为：25．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键，属于基础题．
14. 已知二次函数．
（1）该二次函数的图象的对称轴为直线____________．
（2）若的顶点坐标分别为，，，且此函数的图象与只有两个交点，则的取值范围是_____________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）先根据抛物线的图象判断抛物线的顶点比在三角形的内部或抛物线刚刚过，两种情况进行解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴二次函数的对称轴为直线．
（2）∵，，，
∴点在二次函数的对称轴直线上，且点与点关于直线对称，
∴是等腰三角形．
∵二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为．
∵二次函数的图象与只有两个交点，
∴抛物线的顶点必在三角形内部，
∴，
∴；
当抛物线恰好过点时，
∵二次函数的解析式为，
∴，
∴．
综上所述，的取值范围为或．
故答案为：（1），（2）或．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，抛物线的对称性，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
三、计算题：本大题共1小题，共10分．
15. 如图抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求S△ABC的面积．
【答案】(1) y=x2-2x﹣3；(2)6.
【解析】
【分析】(1)先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标,然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值；
（2）根据(1)中抛物线的解析式可求出C点的坐标,然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】（1）当x=0时，y=x﹣3=﹣3，则B（0，﹣3）；
当y=0时，x﹣3=0，解得x=3，则A（3，0），
把A（3，0），B（0，﹣3）代入y=x2+bx﹣c得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x﹣3；
（2）当y=0时，x2-2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则C（﹣1，0），
∴S△ABC=×（3+1）×3=6．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，二次函数解析式的确定、三角形面积的求法等知识点.考查了学生数形结合的数学思想方法．
四、解答题：本题共8小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
【答案】该二次函数的表达式为
【解析】
【分析】把点代入求出的值即可
【详解】解：把代入，得，
解得，
∴该二次函数的表达式为．
【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，正确求出a的值是解答本题的关键
17. 已知是关于的二次函数．若该函数的图象开口向上，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象及定义可得，解方程及不等式即可求解．
【详解】解：∵该函数为二次函数，且函数的图象开口向上，
∴，
解得：或，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及定义，熟练掌握二次函数的图象及定义是解题的关键．
18. 已知二次函数（为常数）．
求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个不同的公共点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用一元二次方程的判别式证明即可．
【详解】证明：令，则，即．
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴不论为何值，该函数的图象与轴总有两个不同的公共点．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点个数的判定、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数图象的性质，熟练掌握图象的特征是解题的关键．
19. 已知二次函数．
（1）将该二次函数化成的形式．
（2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大？
【答案】（1）
（2）当时，随的增大而增大
【解析】
【分析】（1）利用配方法化成顶点式即可；
（2）根据二次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
20. 如图，函数的图象经过点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象；
（3）结合函数图象，当时，y的取值范围为______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，可以写出A、B、C的坐标，从而可以求得b、c的值；
（2）根据（1）中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象；
（3）根据函数图象，可以写出当时，y的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：由图象可得，
点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
则，
解得，
即b、c的值分别是2，3；
【小问2详解】
由（1）知，，，
，
该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下，
由对称性可知，图象过点，
所画的函数图象如图所示；
【小问3详解】
由图象可得，
当时，y取值范围为，
故答案为：．
21. 由于雾霾天气对人们的健康有不利的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量（台）与销售单价（元）的关系式为．
（1）该公司每月的利润为元，写出利润与销售单价的函数关系式．
（2）求该公司每月的最高利润．
【答案】（1）利润与销售单价的函数关系式为
（2）该公司每月的最高利润为45000元
【解析】
【分析】（1）根据销售利润=每天的销售量×（销售单价-成本价），即可列出函数关系式；
（2）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值．
【小问1详解】
由题意得，
∴利润与销售单价的函数关系式为．
【小问2详解】
．
∵，
∴当时，有最大值，最大值为45000．
答：该公司每月的最高利润为45000元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值．
22. 若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于的两个二次函数，，且，，的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图象的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）求二次函数，的解析式．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据已知新定义和当时，得出，求出即可；
（2）把值代入函数，根据顶点在轴上，横坐标是0，即可求出，再把的值代入求出即可．
【小问1详解】
解： ，，的“生成函数”为：；
，
当时，，
，
解得：，，
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）可知：当时，
又∵二次函数的图象的顶点在轴上，
∴
∴，
∴；．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．
23. 如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）10 （3）存在；，，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设点M的坐标为，则点，利用m的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论；
（3）利用（2）的结论求得点N的坐标，可得点N与点A重合，设点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，利用含n的代数式表示出，利用，求得的面积，利用已知条件得到关于n的方程，解方程即可求得n值；再利用平行线的距离相等，当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论．
【小问1详解】
设二次函数解析式为，
∵二次函数图象过、、三点，
∴，
解得，
即二次函数解析式为．
【小问2详解】
设点的坐标为，则点，
∴，，
矩形的周长，
，
∵
∴当，有最大值，最大值为10．
即矩形周长的最大值为10．
【小问3详解】
由（2）知：当时，矩形的周长有最大值，
∴，
∴当矩形的周长最大时，点N与点A重合，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，如图，

则，
∴，
∴
∵
当矩形的周长最大时，，
∴矩形面积为，
∴的面积为．
∴，
解得：，
∴点P的横坐标为；
此时，
∵平行线之间的距离相等，
∴当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件．
平移后的直线的解析式为．
联立：，
解得：或．
∴点P的横坐标为或．
综上，当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的横坐标为或或．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
0
1
0
…