2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之分式的运算练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之分式的运算练习，共15页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•潍坊期中）若1a−1b=4，则aba−b的值为（ ）
A．14B．−14C．4D．﹣4
2．（2024秋•金湖县期中）某校组织了师生共a人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（ ）
A．a+1bB．ab+1C．a−1bD．ab−1
3．（2024秋•长安区校级期中）若a为正整数，则化简a+1a2−a÷a+1a2−2a+1的结果可以是（ ）
A．0B．12C．32D．2
4．（2024•莘县一模）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式(4a−a)⋅a2a+2的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
5．（2024秋•新邵县期中）已知A=x2−9x2+6x+9÷xx+3，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：A的计算结果为x−3x；
乙：当x＝﹣3时，A＝2；
丙：当0＜x＜3时，A的值为正数．
A．乙错，丙对B．甲和乙都对
C．甲对，丙错D．甲错，丙对
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•房山区期中）计算：3x2y3⋅yx= ．
7．（2024秋•垫江县校级期中）计算：(−15)−2+20= ．
8．（2024•仓山区校级模拟）若1a+1b=3，则a+b2a−ab+2b的值为 ．
9．（2024秋•昌平区期中）计算xx+1+1x+1的结果是 ．
10．（2023秋•潍坊期末）对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n=m+n−6mn，例如：4⊗2=4+2−64×2，若（x﹣1）⊗（x+2）=Ax−1+Bx+2，则A+2B＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024•忠县一模）计算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）x2−xx+1÷(2−2xx+1+x−1)．
12．（2024秋•潍坊期中）先化简(x2x+1−x)÷x2−1x2+2x+1，再从1，﹣1，﹣2中选择合适的x值代入求值．
13．（2024秋•房山区期中）已知a2+3a﹣1＝0，求代数式(a+2−5a−2)÷a−3a2−2a的值．
14．（2024秋•栾城区期中）（1）计算：(14)−1−38+|−5|；
（2）下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)①
＝（m+1）﹣2②
＝m﹣1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
15．（2024秋•正定县期中）先化简x2−4x2−9÷(1+1x−3)，再从不等式2x﹣3＜5的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值．
2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之分式的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•潍坊期中）若1a−1b=4，则aba−b的值为（ ）
A．14B．−14C．4D．﹣4
【考点】分式的加减法；分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】把1a−1b=4，整理得b﹣a＝4ab，则a﹣b＝﹣4ab，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：1a−1b=4，
∴a≠0，b≠0，
整理得：b﹣a＝4ab，
∴a﹣b＝﹣4ab，
∴aba−b=ab−4ab=−14，
故选：B．
【点评】本题考查了分数的加减法以及分式的值，求出a﹣b＝﹣4ab是解题的关键．
2．（2024秋•金湖县期中）某校组织了师生共a人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（ ）
A．a+1bB．ab+1C．a−1bD．ab−1
【考点】列代数式（分式）．
【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】先计算出租用的观光车坐满的人数，即可列出代数式．
【解答】解：由题意可知，租用的观光车坐满的人数为（a+1）人，租用的每辆观光车可乘坐b人，
故租用的观光车的辆数为a+1b．
故选：A．
【点评】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．
3．（2024秋•长安区校级期中）若a为正整数，则化简a+1a2−a÷a+1a2−2a+1的结果可以是（ ）
A．0B．12C．32D．2
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】B
【分析】将原式中分母进行因式分解，然后把除法转化为乘法进行计算，最后根据a为正整数进行判断．
【解答】解：原式=a+1a(a−1)÷a+1(a−1)2
=a+1a(a−1)⋅(a−1)2a+1
=a−1a，
∵a≠0，a+1≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0且a≠﹣1且a≠1，
又∵a为正整数，
∴a﹣1＜a，
即a−1a＜1且a−1a≠0，
∴选项A、C、D均不符合题意，
当a＝2时，
原式=2−12=12，故选项B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查分式的除法运算，理解分式有意义的条件，掌握因式分解和约分的技巧是解题关键．
4．（2024•莘县一模）如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式(4a−a)⋅a2a+2的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】先化简所求的式子，再根据a2﹣2a﹣1＝0，可以得到2a﹣a2＝﹣1，然后代入化简后的式子即可．
【解答】解：(4a−a)⋅a2a+2
=4−a2a•a2a+2
=(2+a)(2−a)a•a2a+2
＝a（2﹣a）
＝2a﹣a2，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴2a﹣a2＝﹣1，
∴原式＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（2024秋•新邵县期中）已知A=x2−9x2+6x+9÷xx+3，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：A的计算结果为x−3x；
乙：当x＝﹣3时，A＝2；
丙：当0＜x＜3时，A的值为正数．
A．乙错，丙对B．甲和乙都对
C．甲对，丙错D．甲错，丙对
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】首先将分式化简即可判定甲，然后将x＝﹣3代入求解即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，
【解答】解：A=x2−9x2+6x+9÷xx+3
=(x+3)(x−3)(x+3)2⋅x+3x
=x−3x，故甲对；
当x＝﹣3时，x+3＝0，故分式无意义，故乙错；
当0＜x＜3时，
x﹣3＜0，
∴A=x−3x＜0，故丙错．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•房山区期中）计算：3x2y3⋅yx= 3xy2 ．
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】3xy2．
【分析】根据分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：3x2y3•yx=3xy2，
故答案为：3xy2．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
7．（2024秋•垫江县校级期中）计算：(−15)−2+20= 26 ．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】26．
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求解即可．
【解答】解：(−15)−2+20=25+1=26，
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2024•仓山区校级模拟）若1a+1b=3，则a+b2a−ab+2b的值为 35 ．
【考点】分式的加减法；分式的值．
【专题】分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】变形已知为a+b＝n的形式，然后整体代入得结果．
【解答】解：∵1a+1b=3，
∴b+aab=3，即b+a＝3ab，
则a+b2a−ab+2b=3ab2(a+b)−ab=3ab6ab−ab=35，
故答案为：35．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是利用整体代入．
9．（2024秋•昌平区期中）计算xx+1+1x+1的结果是 1 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据同分母的分式的加法法则，分母不变，分子相加，据此计算即可．
【解答】解：原式=x+1x+1=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式的加减法运算，解答此题的关键是要明确同分母分式的加法运算法则．
10．（2023秋•潍坊期末）对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n=m+n−6mn，例如：4⊗2=4+2−64×2，若（x﹣1）⊗（x+2）=Ax−1+Bx+2，则A+2B＝ 5 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据定义运算表示出（x﹣1）⊗（x+2）的式子，再将Ax−1+Bx+2进行运算，便得到A和B的值，最后代入A+2B中，求出结果即可．
【解答】解：（x﹣1）⊗（x+2）=x−1+x+2−6(x−1)(x+2)=2x−5(x−1)(x+2)，
Ax−1+Bx+2
=A(x+2)(x−1)(x+2)+B(x−1)(x−1)(x+2)
=A(x+2)+B(x−1)(x−1)(x+2)
=Ax+2A+Bx−B(x−1)(x+2)
=(A+B)x+2A−B(x−1)(x+2)，
∵2x−5(x−1)(x+2)=(A+B)x+2A−B(x−1)(x+2)，
∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣5，
解得A＝﹣1，B＝3，
∴A+2B＝﹣1+2×3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是运用计算法则正确地进行计算．
三．解答题（共5小题）
11．（2024•忠县一模）计算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）x2−xx+1÷(2−2xx+1+x−1)．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）2a2+b2；
（2）xx−1．
【分析】（1）先展开，再合并同类项即可；
（2）先通分算括号内的，再把除化为乘，最后分解因式约分即可．
【解答】解：（1）原式＝a2+2ab+b2+a2﹣2ab
＝2a2+b2；
（2）原式=x(x−1)x+1÷2−2x+x2−1x+1
=x(x−1)x+1•x+1(x−1)2
=xx−1．
【点评】本题考查整式混合运算和分式的化简，解题的关键是掌握整式，分式相关运算的法则．
12．（2024秋•潍坊期中）先化简(x2x+1−x)÷x2−1x2+2x+1，再从1，﹣1，﹣2中选择合适的x值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】−xx−1，当x＝﹣2时，原式=−23．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式=−xx−1，然后根据分式有意义的条件把x＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：原式=x2−x(x+1)x+1•(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx+1•(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx−1，
∵x+1≠0且x﹣1≠0，
∴x可以取﹣2，
当x＝﹣2时，原式=−−2−2−1=−23．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
13．（2024秋•房山区期中）已知a2+3a﹣1＝0，求代数式(a+2−5a−2)÷a−3a2−2a的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a2+3a，1．
【分析】由已知条件得到a2+3a＝1，然后将其代入化简后的分式求值即可．
【解答】解：由a2+3a﹣1＝0得到a2+3a＝1，
(a+2−5a−2)÷a−3a2−2a
=a2−4−5a−2•a(a−2)a−3
=(a+3)(a−3)a−2•a(a−2)a−3
＝a（a+3）．
＝a2+3a
所以，原式＝1．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
14．（2024秋•栾城区期中）（1）计算：(14)−1−38+|−5|；
（2）下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)①
＝（m+1）﹣2②
＝m﹣1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【考点】分式的加减法；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；分式；运算能力．
【答案】（1）7；
（2）②，解题过程见解析．
【分析】（1）根据负整数指数幂的性质、立方根的定义，先算乘方和开方，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后算加减即可；
（2）先观察已知条件中的解题过程，根据同分母分式相加减法则判断错误的步骤，然后写出正确的解题过程即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+5
＝4+5﹣2
＝9﹣2
＝7；
（2）解题过程从②步开始出现错误，正确的解题过程如下：
1m−1−2m2−1
=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)
=m−1(m+1)(m−1)
=1m+1．
【点评】本题主要考查了实数的运算和分式的加减运算，解题关键是熟练掌握负指数幂的性质、立方根的定义、绝对值的性质和分式的通分与约分．
15．（2024秋•正定县期中）先化简x2−4x2−9÷(1+1x−3)，再从不等式2x﹣3＜5的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x+2x+3，34．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，解不等式求出x的范围，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式=(x+2)(x−2)(x+3)(x−3)÷（x−3x−3+1x−3）
=(x+2)(x−2)(x+3)(x−3)÷x−2x−3
=(x+2)(x−2)(x+3)(x−3)•x−3x−2
=x+2x+3，
解不等式2x﹣3＜5，得x＜4，其中正整数有1、2、3，
由题意可知：x≠2、±3，
当x＝1时，原式=1+21+3=34．
【点评】本题考查的是分式的混合运算﹣化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
3．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
4．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
5．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
6．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
7．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
8．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
9．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
10．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
11．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．