2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之最短路径问题练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之最短路径问题练习，共27页。试卷主要包含了，B，P等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•兴宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（8，4），点P是x轴上任意一点，若要使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，0）C．（4，0）D．（6，0）
2．（2024秋•大连期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024秋•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B(0，2)，P(32，0)．若点M在线段AB上，点N在y轴上，则PN+MN的最小值为（ ）
A．5B．55C．255D．455
4．（2024秋•莱芜区期中）四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．80°B．95°C．125°D．110°
5．（2023秋•阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4B．9.6C．10D．10.8
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP＝AQ＝QD＝1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为 ．
7．（2024秋•北京期中）如图，等边△ABC的边长为5，点E在BC上，CE＝2，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF的长为 ．
8．（2024秋•香坊区校级期中）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
9．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
10．（2024秋•北碚区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•孟村县期末）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上．
（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：
（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 ；
（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．
12．（2023秋•长葛市期末）如图，某公路（可视为x轴）的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边（x轴上）建一仓库D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中x轴上标出使送货路线之和最短的点D所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）．
13．（2023秋•宣化区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 ．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
14．（2024春•丰城市校级期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．
15．（2024春•永丰县期末）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之最短路径问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•兴宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（8，4），点P是x轴上任意一点，若要使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，0）C．（4，0）D．（6，0）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】作点A关于原点O的对称点C，连接BC交x轴于点E，连接AE，作BF⊥x轴于点F，因为A（0，4），B（8，4），所以C（0，﹣4），F（8，0），可证明△COE≌△BFE，得OE＝FE=12OF＝4，则E（4，0），当点P与点E重合时，则PA+PB＝BC，此时PA+PB的值最小，所以要使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（4，0），于是得到问题的答案．
【解答】解：作点A关于原点O的对称点C，连接BC交x轴于点E，连接AE，作BF⊥x轴于点F，则∠COE＝∠BFE＝90°，
∵A（0，4），B（8，4），
∴C（0，﹣4），F（8，0），
∴OC＝FB＝4，OF＝8，
在△COE和△BFE中，
∠COE=∠BFE∠OEC=∠FEBOC=FB，
∴△COE≌△BFE（AAS），
∴OE＝FE=12OF＝4，
∴E（4，0），
∵x轴垂直平分AC，且点E在x轴上，
∴AE＝CE，
∴当点P与点E重合时，则PA+PB＝EA+EB＝EC+EB＝BC，此时PA+PB的值最小，
∴要使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（4，0），
故选：C．
【点评】此题重点考查坐标与图形的性质、轴对称﹣最短路线的问题等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2024秋•大连期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【答案】C
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．
故选：C．
【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
3．（2024秋•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B(0，2)，P(32，0)．若点M在线段AB上，点N在y轴上，则PN+MN的最小值为（ ）
A．5B．55C．255D．455
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接PM，作PM'⊥AB于点M'，连接PB，根据两点之间线段最短，垂线段最短可知，PN+MN的最小值为线段PM′的长，再利用三角形的面积的不同算法求出PM'的长即可．
【解答】解：如图，连接PM，作PM'⊥AB于点M'，连接PB，
∵PN+MN≥PM≥PM'，
∴PN+MN的最小值为PM'的长，
∵A（﹣1，0），B（0，2），P（32，0）
∴OA＝1，OB＝2，OP=32，
∴AB=OA2+OB2=12+22=5，AP＝OA+OP＝1+32=52，
∵S△ABP=12AB•PM'=12PA•OB，
∴PM'=PA⋅OBAB=52×25=5，
∴PN+MN的最小值为5，
故选：A．
【点评】本题考查线路最短问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理，三角形面积计算，能够将PN+MN的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．
4．（2024秋•莱芜区期中）四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．80°B．95°C．125°D．110°
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，延长AD至点G，使AD＝GD，延长AB至点E，使AB＝EB，连接GN，EM，则ME＝MA，NG＝NA；AM+AN+MN＝ME+MN+NG，当E，M，N，G四点共线时，ME+MN+NG最小，此时△AMN周长最小；于是∠AMN+∠ANM＝2（∠E+∠G）＝80°．
【解答】解：如图，延长AD至点G，使AD＝GD，延长AB至点E，使AB＝EB，连接GN，EM，则ME＝MA，NG＝NA；
∴AM+AN+MN＝ME+MN+NG，
∠AMN＝∠MAE+∠E＝2∠E，∠ANM＝∠NAG+∠G＝2∠G．
当E，M，N，G四点共线时，ME+MN+NG最小，此时△AMN周长最小；
△AEG中，∠E+∠G+∠EAG＝180°，
∴∠E+∠G＝180°﹣∠BAD＝40°．
∴∠AMN+∠ANM＝2∠E+2∠G＝2（∠E+∠G）＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称（垂直平分线），三角形内角和定理，外角的性质；添加辅助线构造轴对称是解题的关键．
5．（2023秋•阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4B．9.6C．10D．10.8
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D．则AD＝A'D，所以AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E．
【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D.
则AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．
即AD+DE的最小值为A'E．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，AA'＝12，
∵S△AA'B=12AA′⋅BC=12AB⋅A′E，
∴A'E=AA′⋅BCAB=12×810=9.6，
即AD+DE的最小值为9.6．
故选：B．
【点评】此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP＝AQ＝QD＝1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为 3 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】计算题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】在BC上其一点P'，使BP'＝BP＝1，连接PP'，P'Q，EP'，证明出PE+QE的最小值为线段P'Q的长，△CP'Q是等边三角形，即可求出P'Q的长，从而解决问题．
【解答】解：如图，在BC上其一点P'，使BP'＝BP＝1，连接PP'，P'Q，EP'，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，
∴直线BD是△ABC的对称轴，点P'与点P关于BD对称，AC＝2AD，
∴PE＝P'E，
∴PE+QE＝P'E+QE≥P'Q，
∴PE+QE的最小值为线段P'Q的长，
∵AQ＝QD＝1，
∴AC＝2（AQ+QD）＝2×2＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠C＝60°，
∵AQ＝BP'＝1，
∴CP'＝CQ，
∴△CP'Q是等边三角形，
∴P'Q＝CQ，
∵CQ＝AC﹣AQ＝4﹣1＝3，
∴PE+QE的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．
7．（2024秋•北京期中）如图，等边△ABC的边长为5，点E在BC上，CE＝2，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF的长为 3.5 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】3.5．
【分析】作E点关于CD的对称点E′，连接PE'，E'F，过E′作E′F'⊥AB于点F'，可证得EP+FP的值最小时，点F位于F'处，再求出BF'的长即可解决问题．
【解答】解：如图，作E点关于CD的对称点E′，连接PE'，E'F，过E′作E′F'⊥AB于点F'，
则E'P＝EP，
∴EP+FP＝E′P+PF≥E′F≥E'F'，
即当EP+FP的值最小时，点F位于F'处．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵E′F'⊥AB，
∴∠F'E′B＝30°，
∵等边△ABC的边长为5，CE'＝CE＝2，
∴BE′＝BC+CE＝5+2＝7，
∴BF'=12BE'＝3.5，
∴当EP+FP的值最小时，BF的长为3.5，
故答案为：3.5．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，能够确定当EP+FP的值最小时，点F的位置是解题的关键．
8．（2024秋•香坊区校级期中）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 12 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】12．
【分析】连接MA，AD，推出△CDM周长的最小值为AD+2，再求出AD的长即可解决问题．
【解答】解：如图，连接MA，AD，
∵EF是AC的垂直平分线，点M为线段EF上一动点，
∴MA＝MC，
∵BC＝4，点D为BC边的中点，
∴CD＝2，
∴△CDM周长＝MC+MD+CD＝MC+MA+2≥AD+2，
∴△CDM周长的最小值为AD+2，
∵AB＝AC，若点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=12BC•AD，S△ABC＝20，
∴12×4×AD＝20，
解得AD＝10，
∴△CDM周长的最小值为10+2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，能够将△CDM周长的最小值表示成AD+2是解题的关键．
9．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；
【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10．（2024秋•北碚区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是 4.8 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；模型思想．
【答案】4.8．
【分析】作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．推出△DEF的周长的最小值为2CD，从而得到当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，△DEF的周长最小，最后用面积法求出CD的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
则DF＝FM，DE＝EN，CD＝CM，CD＝CN，
∴CD＝CM＝CN，
∵∠MCA＝∠DCA，∠BCN＝∠BCD，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠MCD+∠NCD＝180°，
∴M、C、N共线，
∵△DEF的周长＝DF+DE+EF＝FM+EN+EF≥MN＝2CD，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，△DEF的周长最小，最小值为2CD，
∵CD⊥AB，
∴12AB•CD=12BC•AC，
∴CD=BC⋅ACAB=4×35=2.4，
∴△DEF的周长的最小值为4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是灵活运用轴对称以及两点之间线段最短，垂线段最短解决最短问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•孟村县期末）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上．
（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：
（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 （﹣a，b） ；
（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）图形见解答；
（2）（﹣a，b）；
（3）图形见解答．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可；
（3）连接A'C，与直线l交于点P，连接PA，此时PA+PC最短．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△A′B′C′即为所求；
（2）由题意可得，点A′的坐标为（﹣a，b）．
故答案为：（﹣a，b）；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、作图﹣轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
12．（2023秋•长葛市期末）如图，某公路（可视为x轴）的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边（x轴上）建一仓库D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中x轴上标出使送货路线之和最短的点D所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】见解析．
【分析】作A点关于x轴的对称点A′，再连接A′C，则A′C与x轴的交点即为点D．
【解答】解：两条路线中，AB、BC的长度是固定的，
∴送货路线之和最短，则D到A、C的路径最短，
∴作A点关于x轴的对称点A′，再连接A′C，则A′C与x轴的交点即为点D，
则点D即为所求．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，正确得出点D的位置是解题的关键．
13．（2023秋•宣化区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50° ．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．
【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，
故答案为：50°；
（2）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，△BPM周长的最小值是8+6＝14cm，
【点评】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB＝PA．
14．（2024春•丰城市校级期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称变换．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可；
（2）连接B1C与DE交于点P，则点P即为所求点；
（3）作AC的中垂线与DE交于点Q，则点Q即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）连接B1C，B1C与DE的交点即为点P；
（3）作AC的中垂线，与DE的交点即为所求点Q．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称图形的作法是解答此题的关键．
15．（2024春•永丰县期末）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ 100° ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10；
（2）设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
考点卡片
1．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
7．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
8．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．